浙江大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（电子讲义，第三版）第九讲 二维随机变量的概念及二维离散型随机变量

第九讲二维随机变量的概念及二维离散型随机变量 重点:;二维型随机变量的分布函数;二维离散型随机变量的分布律 难点:二维型随机变量的分布函数 二维随机变量的概念及其分布函数 1.概念 定义1.设Ω是随机试验E的样本空间,X(ω),Y(ω)是定义在Ω上的随机变量,称有序组(X, Y)为二维随机变量或二维随机向量,简记为RV(Xx,Y)。称(石羟,…,n)为n维随机变量或n维随 机向量。 定义2.设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,y,称二元函数 F(xy=P{X≤xY≤y}=PX≤x}n{≤y 为(XY)的分布函数,或称为X与Y的联合分布函数 分布函数F(x,y)的性质 (1)F(x,y)关于x和y单调不减,即当x1<x时,有F(x,y)≤F(x2,y);当y<y时,F(x,y) ≤F(x,y2) (2)F(+∞,+∞)=limF(x,y)=1;F(-∞,y)=F(x,-∞)=0 (3)对任意x1x2,y<y,有 P<x≤x2,y1<y≤y2}=F(x2y2)-F(x,y2)-F(x2y)+F(x12y1) 即遵守“多退少补”准则 (4)F(x,y)关于x或y右连续。 3.边缘分布函数 对于二维随机变量(X,Y,X,Y作为个体为一维随机变量,存在各自的分布函数,称为边缘分 布函数,用Fx(x),Fy(y)表示

第九讲 二维随机变量的概念及二维离散型随机变量 重点：；二维型随机变量的分布函数；二维离散型随机变量的分布律 难点：二维型随机变量的分布函数 一、二维随机变量的概念及其分布函数 1．概念 定义 1. 设Ω是随机试验 E 的样本空间，X(ω)，Y(ω)是定义在Ω上的随机变量，称有序组（X， Y）为二维随机变量或二维随机向量，简记为 R.V.(X,Y)。称(X1,X2,…,Xn)为 n 维随机变量或 n 维随 机向量。 定义 2. 设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数 x,y，称二元函数 F(x, y) = PX  x,Y  y= PX  xY  y 为(X,Y)的分布函数，或称为 X 与 Y 的联合分布函数。 2．分布函数 F(x,y)的性质 （1）F(x,y)关于 x 和 y 单调不减，即当 x1< x2 时,有 F(x1,y)≤F(x2,y)；当 y1< y2 时，F(x,y1) ≤F(x,y2)； 2 ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , ) 0 + + = lim = − = − = →+ →+ F F x y F y F x y x （ ） ； （3）对任意 x1< x2, y1< y2，有  ,  ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 1 P x  x  x y  y  y = F x y − F x y − F x y + F x y 即遵守“多退少补”准则； （4）F(x,y)关于 x 或 y 右连续。 3． 边缘分布函数 对于二维随机变量(X,Y)，X,Y 作为个体为一维随机变量，存在各自的分布函数，称为边缘分 布函数，用 FX(x),FY(y)表示

F(x)=P{X≤x}=P{x≤x,Y≤+∞}=F(x,+∞) Fy)=P≤y}=P(x<+Y≤y}=F(+∞,y) 二维离散型随机变量 1.二维离散型随机变量的分布律 定义1.若二维随机变量(X,Y)的所有可能取值为有限对或可列对,则称(X,Y)为二维离散型随机 变量。设(X,Y的可能取值为(x,y),i产=1,2,…令 Pa=pr=x y=y, i,j=1,2, 则称p(i产=1,2,…)为随机变量(X,Y)的概率分布或分布律,也称联合分布律,该分布律具有如下 性质: (1)pn≥0,j (非负性) (2 P (归一性) (3)F(xy)=∑∑Px=x,=y}=∑∑P sxv,s x≤xyS 由二维离散型随机变量(X,Y)的定义,可知XY为一维离散型随机变量,其分布律如下: P{x=x}=P{x=x,Y+}=∑P{x=x,=y)}=∑P△Pn,1=1 P=y,}=P{x<+y=y}=∑P{x=x,=y}=∑P2△,J=12 称p。P.为x,Y关于XY的边缘分布律。也可将P,P,,P,,j=12,…列在同一表格中,如 下: VI y2 P(r=il

F (x) X = PX  x= PX  x,Y  += F(x,+) ； F (y) PY y Px ,Y y F( , y) Y =  =  +  = + 二、二维离散型随机变量 1. 二维离散型随机变量的分布律 定义 1.若二维随机变量(X,Y)的所有可能取值为有限对或可列对，则称(X,Y)为二维离散型随机 变量。设(X,Y)的可能取值为(xi, yj), i,j=1,2,… 令 pij = PX = xi ,Y = y j i, j = 1,2,  则称 pij (i,j=1,2,…)为随机变量(X,Y)的概率分布或分布律，也称联合分布律，该分布律具有如下 性质： （1）pij  0,i, j = 1,2,  （非负性） （ ） （归一性）  =  = = 1 1 2 1 i j pij           = = = = x x y y x x y y i j ij i j i j （3）F(x, y) P X x ,Y y p 由二维离散型随机变量(X,Y)的定义，可知 X,Y 为一维离散型随机变量，其分布律如下：          = •  = = = =  + = = = =  = 1 1 , , , 1,2, j i j i i i j i j P X x P X x Y P X x Y y p p i     ,   ,  , 1,2, 1 1 = =  + = = = = =  • =  =  = P Y y P X Y y P X x Y y  p p j j i i j j i j i j 称 i• p j p• 为(X,Y)关于 X,Y 的边缘分布律。也可将 ij p ， i• p ， j p• i, j = 1,2,  列在同一表格中，如 下： Y X 1 y 2 y • • • j y • • • PX = i

xI P11P12 PI P1 P21P2 Pi p Pi P W=力}p,P P,=∑P.=∑∑P 例1.一整数X随机地在1,2,3,4中取值,而另一整数γ随机地在1~X取值,求X,Y的分布 律及边缘分布律。 解:P(X=,y=小} ∫/4j≤i ij=1,2,3,4 0j> PiX= 00 00 3 0 16161616 P(Y=j) 2.离散型随机变量的相互独立性 A,B独立等价于P(AB=P(A)P(B) 令A={X=x,B={y=y},此两事件独立的充要条件为P=P,P

1 x 2 x  i x  11 p 12 p • • • j p1 • • • 21 p 22 p • • • j p2 • • •    i1 p pi2 • • • ij p • • •    1• p 2• p  i• p  PY = j •1 p •2 p • • • j p• • • •      =  =  =  = • = • = = 1 1 1 1 1 i i j ij j p i p j p 例 1.一整数 X 随机地在 1，2，3，4 中取值，而另一整数 Y 随机地在 1~X 取值，求 X,Y 的分布 律及边缘分布律。   . 1,2,3,4 0 1 4 , =      = = = i j j i i j i 解：P X i Y j Y X 1 2 3 4 PX = i 1 4 1 0 0 0 4 1 2 8 1 8 1 0 0 4 1 3 12 1 12 1 12 1 0 4 1 4 16 1 16 1 16 1 16 1 4 1 PY = j 48 25 48 13 48 7 48 3 2．离散型随机变量的相互独立性 A,B 独立等价于 P(AB)= P(A)P(B) 令 A={X=xi},B={Y=yj}，此两事件独立的充要条件为 • • =  pij pi pj

定义2.若对离散型随机变量(X,Y)的所有可能取值(x,y),i产1,2,…,有 Pr=x, y=y)=P(X=x, ply=y, i,j=1,2 即Pn=p,P,ij=123 则称随机变量X和Y相互独立 定义3.设F(x,y)及Fx(x),F⑩ν)分别为二维随机变量(X,)的分布函数及边缘分布函数,若对 所有的x,y有F(x,y)=Fx(x)Fr(y)则称随机变量X和y是相互独立的 例2.将一硬币连续抛两次,令 X 当第一次出现正面y-j1当第二次出现正面 0当第一次出现反面-0当第二次出现反面 验证X和Y独立 证明:P{X=,Y=}=1/4,=0,1;户=0,1 而P(x=}=1,1=01Py=}= 0.1 因此,对于任意产=0,1,P{X=i=j}=P{X=}P{Y=}。X,Y独立。 推广:对于n维随机变量(X1,Y,Xn)定义联合分布函数 x)=P{X≤x,X2 X≤x 边缘分布函数Fx(x)=P{X1≤x}=F(+∞…+0,x,+∞…+∞),1=1,2,…,n, 若对任意x1x2…,xn,有F(x1,x2…,xn)=Fx(x1)Fx(x2)…Fx(xn)则称X1,X2…,X相互独立

定义 2.若对离散型随机变量(X,Y)的所有可能取值(xi, yj), i,j=1,2,…，有 PX = xi ,Y = y j= PX = xiPY = y j i, j = 1,2,  即 pij = pi• p j• i. j = 1,2,3,  则称随机变量 X 和 Y 相互独立。 定义 3.设 F(x,y)及 FX(x), FY(y)分别为二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数，若对 所有的 x,y 有 F(x,y)= FX(x) FY(y) 则称随机变量 X 和 Y 是相互独立的。 例 2.将一硬币连续抛两次，令 当第二次出现反面 当第二次出现正面 当第一次出现反面 当第一次出现正面    =    = 0 1 0 1 X Y 验证 X 和 Y 独立。 证明：P{X=i,Y=j}=1/4, i=0,1; j=0,1     , 0,1 2 1 , 0,1; 2 1 而 P X = i = i = P Y = j = j = 因此，对于任意 i,j=0,1，P{X=i,Y=j}= P{X=i} P{Y=j}。X,Y 独立。 推广：对于 n 维随机变量(X1,X2,…,Xn)定义联合分布函数 F(x1 , x2 ,  , xn ) = PX  x1 , X2  x2 ,  , Xn  xn  FX xi PXi xi F xi i n i 边缘分布函数 ( ) =  = (+,  ,+, ,+,  ,+), = 1,2,  , ， 若对任意x1 , x2 ,  , xn，有F(x1 , x2 ,  , xn ) = FX1 (x1 )FX2 (x2 )FXn (xn )，则称X1 , X2 ,  , Xn相互独立