第三讲条件概率与全概率公式 重点:条件概率的定义、全概率公式 难点:全概率公式和贝叶斯公式。 条件概率 在许多实际问题中,除了考虑P(B)外,还需要考虑已知事件A发生的条件下,事件B发生的 条件概率,我们称这种概率为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率,记为P(B4) 例如,掷骰子实验中,A表示“点数为偶数”,B表示“点数不超过5”,则P(A)=3/6,P(B)=5/6, P(AB=2/6,若已知事件A发生,样本空间缩减为9A={2,4,6},求P(B4),即在9A中求事件B 发生的概率,此时P(B4)=2/3.而 P(BIA= 2216P(AB),故P(B P(AB) 3/6P(A) 显然P(B)与P(BlA)不同。这个结论虽然是从掷骰子实验中推出,但它适用于一般情形。为此我们定 义 定义1设A、B是随机试验E的两个事件,P(4)>0,则称 P(BA) P(AB) P(A 为事件A发生的条件下,事件B的条件概率。 注1PBA)与P(AB)的区别:前者是在A发生的前提下,计算事件B的发生概率,后者是指二 者同时发生的概率 注2P(B)=P(B9) 注3可以验证条件P(B4)满足概率的公理化定义中的三个公理,即 1)0≤P(B|A)≤1。 2)P(92|A)=1 3)设B,B2,两两互斥,则有PUBM)=∑P(BA
第三讲 条件概率与全概率公式 重点：条件概率的定义、全概率公式。 难点：全概率公式和贝叶斯公式。 一、条件概率 在许多实际问题中，除了 考虑 P(B)外，还需要考虑已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的 条件概率，我们称这种概率为事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率，记为 P(B|A) 例如，掷骰子实验中，A 表示“点数为偶数”，B 表示“点数不超过 5”，则 P(A)=3/6，P(B)=5/6， P(AB)=2/6，若已知事件 A 发生，样本空间缩减为ΩA={2，4，6}，求 P(B|A)，即在ΩA 中求事件 B 发生的概率，此时 P(B|A)=2/3. 而 ( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) 3/ 6 2 / 6 3 2 ( | ) P A P AB P B A P A P AB P B A = = = ，故 = ， 显然 P(B)与 P(B|A)不同。这个结论虽然是从掷骰子实验中推出，但它适用于一般情形。为此我们定 义： 定义 1 设 A、B 是随机试验 E 的两个事件，P(A)>0，则称 ( ) ( ) ( | ) P A P AB P B A = 为事件 A 发生的条件下，事件 B 的条件概率。 注 1 P(B|A)与 P(AB)的区别：前者是在 A 发生的前提下，计算事件 B 的发生概率，后者是指二 者同时发生的概率； 注 2 P(B)=P(B|Ω)。 注 3 可以验证条件 P(B|A)满足概率的公理化定义中的三个公理，即 1 ) 0 P(B | A) 1。 2 ) P( | A) = 1; = = = 1 1 1 2 3 , ,... ( | ) ( | ) i i i ） 设B B 两两互斥，则有 P Bi A P B A
因此概率的一些性质仍适用于条件概率,如对任意的B1,B2有: (1)P(B)=P(B,IA)+P(B,1A)-P(B,IA) (2)若BcA,则P(BA=P(B P(A) (3)若AcB,则P(B|A)=FB)=1。 注4在古典概型中,计算条件概率可以用定义,也可以在缩减的样本空间ΩA=9∩A中计算, 后者更简单。 例1一盒子中装有5只产品,其中3只一等品,2只二等品,从中取产品两次,每次任取一 只,不放回。事件A表示“第一次取到的是一等品”,事件B表示“第二次取到的是一等品”,试用 两种方法求P(B)。 解:1)样本空间改变法: ΩA={从2只一等品,2只二等品中任取一只的所有取法},所以 p(bl4 C2 1 2)定义法: 9={从3只一等品,2只二等品中取两只所有取法},所以9中所含的基本事件数为 AB表示“从3只一等品,2只二等品中取两只,第一次取一只一等品,第二次取到一只一等 品”,所以AB中所含的基本事件为k1=3×2=6 A表示“从3只一等品,2只二等品中取两只,第一次取一只一等品,第二次任取”,所以A中 所含的基本事件为k2=3×4=12,故 P(B|A)=P(4B)=6120=1 P(A) 12/20 例2甲乙两城市位于长江下游,根据以往记录,甲市一天中雨天的比例为20%,乙市为18%, 两市同时下雨比例为12%,求: (1)已知甲市某天下雨,求乙市这天也下雨的概率; (2)已知乙市下雨得条件下,求甲市也下雨的概率; (3)甲乙两市至少有一市下雨的概率
因此概率的一些性质仍适用于条件概率，如对任意的 B1,B2 有： (1) ( | ) ( | ) ( | ) ( | ) P B1 B2 A = P B1 A + P B2 A − P B1B2 A ； ( ) ( ) ( 2 ) ( | ) P A P B 若B A，则 P B A = ； 1 ( ) ( ) ( 3 ) ( | ) = = P A P B 若A B，则 P B A 。 注 4 在古典概型中，计算条件概率可以用定义，也可以在缩减的样本空间ΩA=Ω∩A 中计算， 后者更简单。 例 1 一盒子中装有 5 只产品，其中 3 只一等品，2 只二等品，从中取产品两次，每次任取一 只，不放回。事件 A 表示“第一次取到的是一等品”，事件 B 表示“第二次取到的是一等品”，试用 两种方法求 P(B|A)。 解：1）样本空间改变法： ΩA＝{从 2 只一等品，2 只二等品中任取一只的所有取法}，所以 2 1 ( | ) 1 4 1 2 = = C C P B A 。 2）定义法： Ω={从 3 只一等品，2 只二等品中取两只所有取法}，所以Ω中所含的基本事件数为 5 4 20 2 P5 = = ； AB 表示“从 3 只一等品，2 只二等品中取两只, 第一次取一只一等品，第二次取到一只一等 品”, 所以 AB 中所含的基本事件为 k1 = 32 = 6， A 表示“从 3 只一等品，2 只二等品中取两只,第一次取一只一等品，第二次任取”,所以 A 中 所含的基本事件为 k2 = 34 =12 ，故 2 1 12 / 20 6 / 20 ( ) ( ) ( | ) ＝ ＝ P A P AB P B A = 。 例 2 甲乙两城市位于长江下游，根据以往记录，甲市一天中雨天的比例为 20% ，乙市为 18% ， 两市同时下雨比例为 12% ，求： （1） 已知甲市某天下雨，求乙市这天也下雨的概率； （2） 已知乙市下雨得条件下，求甲市也下雨的概率； （3） 甲乙两市至少有一市下雨的概率
解答略。 、乘法公式 由条件概率的定义,得到P(AB=P(A)P(B)当P(A)>0时; P(ABP(BP(4B)当P(B>0时。 上述两式统称为乘法公式。 注:公式中必须要求PA)>0,P(B>0,否则两个条件概率无意义。 上式乘法公式可以推广到n个事件的情形: P(AA2…A)=P(A4)P(A2|A1)P(43|A42).P(An|A1A2…A-1), 其中P(A1A2An1)>0。 例3设袋中装有r只红球,t只白球。每次取一只观察其颜色并放回,再放入a只同色球,连 续取四次,试求第一次、第二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。 解以A表示事件“第i次取到红球”i=1234,则A3,A4分别表示第三次、第四次取到白球, 由乘法公式所求概率为 P(AA,)=P(AP(A,AP(A3,A2)P(A4 A, A, A3 r+a t+a r+t r+t+a r+t+a+a r+t+a+a+a 三、全概率公式和贝叶斯公式 复杂问题可以转化为一些简单问题,例如一批产品分别来自甲、乙、丙三个厂,要求它的次品 率,可以先求出甲、乙、丙三厂的次品率分别是多少,然后求这批产品的次品率。上述问题的直观 解释是:多“原因”都可能导致某一“结果”发生,求“结果”发生的概率(称此概率模型为“多 原因一结果”型);再如盒子中有黑白两类球,进行不放回摸球两次,求第二次摸到黑球的概率 可先求出第一次取到黑球时,第二次摸到黑球的概率以及第一次取到白球时,第二次摸到黑球的概 率,再求第二次摸到黑球的概率,此问题的直观解释是:试验分为两步:求第二步某个随机事件发 生的概率(称此概率模型为“两步型”)。 对于上述两类问题,从概率上表达它们发生可能性之间关系的一个公式就是全概率公式。 定义2设有样本空间9,A1,A2,…,An是样本空间Ω的n个事件,满足
解答略。 二、乘法公式 由条件概率的定义，得到 P(AB)=P(A)P(B|A) 当 P(A)>0 时； P(AB)=P(B)P(A|B) 当 P(B)>0 时。 上述两式统称为乘法公式。 注：公式中必须要求 P(A)>0 ,P(B)>0，否则两个条件概率无意义。 上式乘法公式可以推广到 n 个事件的情形： ( ... ) ( ) ( | ) ( | )... ( | ... ) P A!A2 An = P A1 P A2 A1 P A3 A1A2 P An A1A2 An−1 ， 其中P(A!A2 ...An−1 ) 0。 例 3 设袋中装有 r 只红球，t 只白球。每次取一只观察其颜色并放回，再放入 a 只同色球，连 续取四次，试求第一次、第二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。 解 以 Ai 表示事件“第 i 次取到红球” i = 1,2,3,4 ，则 3 4 A , A 分别表示第三次、第四次取到白球， 由乘法公式所求概率为： r t a a a t a r t a a t r t a r a r t r P A A A A P A P A A P A A A P A A A A + + + + + • + + + • + + + • + ( 1 2 3 4 ) = ( 1 ) ( 2 | 1 ) ( 3 | 1 2 ) ( 4 | 1 2 3 ) = 三、全概率公式和贝叶斯公式 复杂问题可以转化为一些简单问题，例如一批产品分别来自甲、乙、丙三个厂，要求它的次品 率，可以先求出甲、乙、丙三厂的次品率分别是多少，然后求这批产品的次品率。上述问题的直观 解释是：多“原因”都可能导致某一“结果”发生，求“结果”发生的概率（称此概率模型为“多 原因一结果”型）；再如盒子中有黑白两类球，进行不放回摸球两次，求第二次摸到黑球的概率， 可先求出第一次取到黑球时，第二次摸到黑球的概率以及第一次取到白球时，第二次摸到黑球的概 率，再求第二次摸到黑球的概率，此问题的直观解释是：试验分为两步：求第二步某个随机事件发 生的概率（称此概率模型为“两步型”）。 对于上述两类问题，从概率上表达它们发生可能性之间关系的一个公式就是全概率公式。 定义 2 设有样本空间Ω，A1，A2，…，An 是样本空间Ω的 n 个事件，满足
(1)AA1=Φ,,j=12,3,n,i≠j (2)A1UA2U43J∪An=9; 则称A1,A2,…,An是g的一个有限剖分(完备事件组),且记Q=A1+A2+…+An 注1)一个样本空间剖分方法有多种,每个A1可能是基本事件,也可能不是。在一次试验中, 剖分A1,A2,…,An中有且仅有一个发生。 2)对于多“原因一结果”型的概率问题,常把所有原因作为样本空间的一个剖分;对于两步型, 常把第一步的所有可能结果作为样本空间的一个剖分。 定理1(全概率公式)设A1,A2,…,A是样本空间g的一个剖分,P(A)>0,=1,23,…,n 对任意事件B,有 P(B)=∑P(A)P(B|A) 全概率公式告诉我们怎样在已知“原因”A发生的概率P(An)的情况下求“结果”B的概率 有时需考虑其逆问题:已知“结果”B发生,问在这一条件下,各“原因”发生的条件概率是多少? 下面我们引入求P(AB)的公式一一一贝叶斯( Bayes)公式或逆概率公式 定理2(贝叶斯公式)设A,A,…,An是样本空间9的一个剖分,P(A)>0,=1,2,3…n; 对任意正概率事件B,有 P(AIB)=P( B) P(A)P(B1A) =1,2,n。 PcB P(A)P(BA 例4某保险公司统计认为,人分为两类:一类是易出事故的人,一年出事故的概率为04 另一类人比较谨慎,他们出事故的概率为02。假定第一类人占30%,那么 (1)一个新客户在他购买保险后一年内出事故的概率是多少? (2)如果一个新客户在买保险后一年内出了事故,问他是易出事故的人的概率是多少? 分析:全概率公式:求“结果”发生的概率。 Bayes公式:求已知“结果”发生的条件下,“原因”发生的条件概率。 解设B表“客户在购买保险后一年内出事故”,A表“易出事故的人”,A表“比较谨慎的人”, 显然A和A构成了样本空间的一个剖分 (1)P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=0.3×0.4+0.7×0.2=026
A A i j n i j ( 1 ) i j = , , = 1,2,3,.. , ； ( 2 ) A1 A2 A3 ... An = ； 则称 A1，A2，…，An 是Ω的一个有限剖分（完备事件组），且记Ω=A1+A2+…+An。 注 1）一个样本空间剖分方法有多种，每个 Ai 可能是基本事件，也可能不是。在一次试验中， 剖分 A1，A2，…，An 中有且仅有一个发生。 2）对于多“原因一结果”型的概率问题，常把所有原因作为样本空间的一个剖分；对于两步型， 常把第一步的所有可能结果作为样本空间的一个剖分。 定理 1（全概率公式） 设 A1，A2，…，An 是样本空间Ω的一个剖分，P(Ai)>0, i=1,2,3, …,n 对任意事件 B，有 ( ) ( ) ( | ) 1 i n i P B P Ai P B A = = 。 全概率公式告诉我们怎样在已知“原因” Ai 发生的概率 P(Ai)的情况下求“结果”B 的概率。 有时需考虑其逆问题：已知“结果”B 发生，问在这一条件下，各“原因”发生的条件概率是多少？ 下面我们引入求 P(Ai|B)的公式―――贝叶斯（Bayes）公式或逆概率公式。 定理 2 （贝叶斯公式） 设 A1，A2，…，An 是样本空间Ω的一个剖分，P(Ai)>0，i=1,2,3,…,n； 对任意正概率事件 B，有 i n P A P B A P A P B A P B P A B P A B n j j j i i i i , 1,2,... ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( | ) 1 = = = = 。 例 4 某保险公司统计认为，人分为两类：一类是易出事故的人，一年出事故的概率为 0.4 ； 另一类人比较谨慎，他们出事故的概率为 0.2 。假定第一类人占 30% ，那么 （1）一个新客户在他购买保险后一年内出事故的概率是多少？ （2）如果一个新客户在买保险后一年内出了事故，问他是易出事故的人的概率是多少？ 分析：全概率公式：求“结果”发生的概率。 Bayes 公式：求已知“结果”发生的条件下，“原因”发生的条件概率。 解 设 B 表“客户在购买保险后一年内出事故”，A 表“易出事故的人”， A 表“比较谨慎的人”， 显然 A 和 A 构成了样本空间的一个剖分。 ( 1 ) P(B) = P(A)P(B | A) + P(A)P(B | A) = 0.30.4 + 0.70.2 = 0.26
P(A)P(B A) 0.3×04 6 (2)P(A|B)= P(A)P(B|4)+P(A)P(B|A)0.3×04+0.7×0.213 例5袋中有4个红球,6个白球,作不放回的摸球两次,求(1)第二次摸到红球的概率,(2) 已知第二次摸到红球,求第一次摸到的也是红球的概率。 分析:全概率公式:求第二步中某事件发生的概率; Bayes公式:求已知第二步中某事件发生的条件下,第一步中某事件发生的条件概率。 解设A表“第一次摸到红球”,A表“第一次摸到白球”,B表“第二次摸到红球”。显然A 和A为样本空间的一个剖分,且 4 P(4)=10,P(4)=10°,P(B|4)=9,P(B|4) (1)由全概率公式知 P(B)=P(4)P(B|4)+P(4)(B4)=10×9+10×9=5 (2)由贝叶斯公式知 P(A1|B)=P(4)PB14)=1 P(B) 3
13 6 0.3 0.4 0.7 0.2 0.3 0.4 ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( 2 ) ( | ) = + = + = P A P B A P A P B A P A P B A P A B . 例 5 袋中有 4 个红球， 6 个白球，作不放回的摸球两次，求（1）第二次摸到红球的概率，（2） 已知第二次摸到红球，求第一次摸到的也是红球的概率。 分析：全概率公式：求第二步中某事件发生的概率； Bayes 公式：求已知第二步中某事件发生的条件下，第一步中某事件发生的条件概率。 解 设 A 表“第一次摸到红球”， A 表“第一次摸到白球”，B 表“第二次摸到红球”。显然 A 和 A 为样本空间的一个剖分，且 , 9 4 , ( | ) 9 3 , ( | ) 10 6 , ( ) 10 4 ( ) P A1 = P A1 = P B A1 = P B A1 = （1）由全概率公式知 , 5 2 9 4 10 6 9 3 10 4 ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) P B = P A1 P B A1 + P A1 P B A1 = + = （2）由贝叶斯公式知 . 3 1 ( ) ( ) ( | ) ( | ) 1 1 1 = = P B P A P B A P A B