Chap8线性代数初步 §81行列式 §8.2矩阵 §8.3逆矩阵 §8.4矩阵的初等变换 §8.5线性方程组 §8.1行列式 行列式的概念 D 简记为D=(,j=1,2,…,n) 其中an(i,j=1,2,…,n)称为D的元素 注:行列式是一个数值
1 Chap8 线性代数初步 §8.1 行列式 §8.2 矩阵 §8.3 逆矩阵 §8.4 矩阵的初等变换 §8.5 线性方程组 §8.1 行列式 一、行列式的概念 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn aa a aa a D aa a = " " ## # " 其中 （ ， ，， ， ）称为 的元素 简记为 （ ， ，， ， ） a i j n D D a i j n ij ij " " 1 2 1 2 = = = 注：行列式是一个数值
行列式的性质 性质1:行列式中行列互换,行列式不变, 昌性质2:行列式中某一行(列)的公因子可以提出 去,或者说以一数乘行列式的一行(列) 就相当于用这个数乘此行列式 如果行列式中一行(列)为零,那么行列式为零 性质3:如果行列式某一行(列)是两组数的和 那么这个行列式就等于两个行列式的和, 性质4如果行列式中有两行(列)相同,那么 行列式为零 性质5:如果行列式中两行(列)成比例,那么行 列式为零 性质6:把一行(列)的倍数加到另一行(列), 行列式不变 性质7:对换行列式中两行(列)的位置,行列式 反号
2 二、行列式的性质 性质1：行列式中行列互换，行列式不变， 性质2：行列式中某一行（列）的公因子可以提出 去，或者说以一数乘行列式的一行（列） 就相当于用这个数乘此行列式 如果行列式中一行（列）为零，那么行列式为零 性质3：如果行列式某一行（列）是两组数的和， 那么这个行列式就等于两个行列式的和， 性质4：如果行列式中有两行（列）相同，那么 行列式为零 性质5：如果行列式中两行（列）成比例，那么行 列式为零 性质6：把一行（列）的倍数加到另一行（列）， 行列式不变 性质7：对换行列式中两行（列）的位置，行列式 反号
三、行列式的计算 定义: 在行列式吗r…分…中划去元素a所在的第行 与第列,剩下的(-1)个元紊按原来的排法构成一个n-阶 的行列式,称为元素an的余子式,记为M,而(-1)M 称为a的代数余子式,记为4即4=(-1)+M 728 例如:D= 4-22-5 78 元素a2的余子式M32=3 42 78 代数余子式A2=(-1y+2M2=-3-3 42
3 三、行列式的计算 11 1 1 1 1 2 ( 1) 1 ( 1) ( 1) j n i ij in n nj ij i j ij ij ij i j ij n ij j ij n i a aaa a aa aaa i jn n a MM a AA M + + − − − = − " " ### " " ### " " 在行列式 中划去元素 所在的第 行 与第 列，剩下的 个元素按原来的排法构成一个 阶 的行列式，称为元素 的余子式，记为 ，而 称为 的代数余子式，记为 ，即 定义： 例如： 7284 3136 3140 4225 D − = −−− − − 元素a32的余子式 M32 784 336 425 = − − 代数余子式 A32 784 336 425 − − − = 32 3 2 ( 1) M+ = −
定理1:n阶行列式D等于任一行(列)的各元素与其 对应的代数余子式乘积的和 定理2n阶行列式中,某一行(列)的各元素与另 行(列)相应元素的代数余子式乘积之和 为零 §8.2矩阵 矩阵的概念 注:矩阵与行列式从表面上看很相似,但实质上 它们是两个不同的概念,行列式最终表示一个数 值,而矩阵不是一个数,是由一组数据按一定顺 序排成的矩形表
4 定理1： 对应的代数余子式乘积的和 n阶行列式D等于任一行（列）的各元素与其 为零 一行（列）相应元素的代数余子式乘积之和 定理2：n阶行列式中，某一行（列）的各元素与另 §8.2 矩阵 一、矩阵的概念 注：矩阵与行列式从表面上看很相似，但实质上 它们是两个不同的概念，行列式最终表示一个数 值，而矩阵不是一个数，是由一组数据按一定顺 序排成的矩形表
矩阵的运算 1矩阵的相等 2矩阵的加法 3矩阵的数乘 例1:已知34 78 B ,求4A-3B 解 44-3B=4 3 56 2 12162124 2024 9-8 1421
5 二、矩阵的运算 1.矩阵的相等 2.矩阵的加法 3.矩阵的数乘 例1： 解： 34 78 43 56 21 A B AB ⎡⎤ ⎡⎤ == − ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎣⎦ 已知 ， ，求 4A− 3B ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − × ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = × 2 1 7 8 3 5 6 3 4 4 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 6 3 21 24 20 24 12 16 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡− − = 14 21 9 8
10-12 7520 例2:已知A=-1130,B=5124, 05-14 且A+X=2B,求矩阵X 解:由A+X=2B,得X=2B-A 5201「10-12 则=2×5124--1130 3215 0 14 141040 10-12113105-2 10248--1130=11118 64210 05-146-136 4矩阵的乘法 定义: 设矩阵A=(an)m,B=(b)n,则矩阵 C=(cn),称为4与B乘积,记作C=AB, 其中cn=anb1+an2b2+…+anb=∑anb
6 例2： 解： 10 12 7520 1 1 3 0 5 1 2 4 05 14 3215 2 A B AX B X ⎡ ⎤⎡ ⎤ − ⎢ ⎥⎢ ⎥ =− = ⎣ ⎦⎣ ⎦ − + = 已知 ， ， 且 ，求矩阵 由A+ X = 2B，得X = 2B − A ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = × 0 5 1 4 1 1 3 0 1 0 1 2 3 2 1 5 5 1 2 4 7 5 2 0 则 X 2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 5 1 4 1 1 3 0 1 0 1 2 6 4 2 10 10 2 4 8 14 10 4 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 6 1 3 6 11 1 1 8 13 10 5 2 4.矩阵的乘法 11 2 1 2 () () () ik kj ml ln ij m n i l ij j i j il lj ik kj k Aa Bb C c AB ab a C AB c ab b ab × × × = + = = = = = = + + " ∑ 设矩阵 ， ，则矩阵 称为 与 的乘积，记作 ， 其中 定义：
034 10-12 例:设A=-1130,B= 0 212 03; 1……-1-2 56(7 电则AB=~1-1…30 =(10)2-6 31-1 05-1 21710 5矩阵的转置 矩阵的转置运算即为将行列互换得到的新矩阵 且显然,mxm矩阵的转置是nxm矩阵 20 例如:A= 3-11则A=2-1 0
7 例： 03 4 10 12 12 1 1 1 3 0 31 1 05 14 12 1 A B ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =− = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎣− ⎦ 设 ， 则 AB ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 1 2 1 3 1 1 1 2 1 0 3 4 0 5 1 4 1 1 3 0 1 0 1 2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 2 17 10 10 2 6 5 6 7 5.矩阵的转置 例如： 显然，m× n矩阵的转置是n× m矩阵 1 3 2 1 0 1 A ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ′ = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 则 矩阵 的转置运算即为将 的行列互换得到的新矩阵 A A 1 20 3 11 A ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ −
矩阵的转置满足下列运算规律: ①(4)=A ②(A+B)=A+B ③(AB)y=B'4 ④(a4)=a4(为实常数 6方阵的行列式 定义:保持阶方阵元素的相对位置不变,所构 成的行列式称为方阵的行列式,记作4 方阵的行列式满足下列运算规律: (设A、B为m阶方阵,为实常数) ①E=1 ③A4=xA④AB=A|B
8 (A′)′ = A (A+ B)′ = A′ + B′ (λA)′ = λA′ （ 为实常数） λ (AB)′ = B′A′ 矩阵的转置满足下列运算规律： ② ③ ④ ① 6.方阵的行列式 定义： n A A A 保持 阶方阵 的元素的相对位置不变，所构 成的行列式称为 记作 方阵 的行列式， （设 、 为 阶方阵， 为实常数） ABn λ E = 1 A′ = A A An λ = λ AB = A B 方阵的行列式满足下列运算规律： ② ③ ④ ①
例:设A= B ,求AB 解 法①:4Bs13「25 2-234」 22 AB= =22+34=56 22 法② AB=146/7 2 =(-8)·(-7)=56 §83逆矩阵 逆矩阵的概念 5定义1:如果有阶方阵B,使得AB=BA=E,这里E 是n阶单位矩阵,则称阶方阵可逆,且称B 为4的逆矩阵,记为A,即A-=B 节定义2如果4≠0称为非奇异矩阵或非退化矩阵 或正则矩阵,否则如果A=0,称4为奇异矩 阵或退化矩阵
9 例： 解： 1 3 25 2 2 34 A B AB ⎡ ⎤ ⎡⎤ = = ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎣ ⎦ ⎣⎦ − 设 ， ，求 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 3 4 2 5 2 2 1 3 ∵ AB ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 2 2 11 17 2 2 11 17 − ∴ AB = = 22 + 34 = 56 AB = A B 3 4 2 5 2 2 1 3 − = = (−8)⋅(−7) = 56 法① 法② §8.3 逆矩阵 一、逆矩阵的概念 1 1 AB BA E nA B A AA nB E n B − − = = = 则称 阶方阵 可逆，且称 为 的逆矩阵，记为 如果有 阶方阵 ，使得 ，这里 是 阶单位 ，即 矩阵， 0 0 A A A A ≠ = 非奇异矩阵 非退化矩阵 正则矩 如果 ，称 为 或 或 ，否则如果 ， 阵 奇异矩 阵 称 为 或退化矩阵 定义1： 定义2：
、逆矩阵的性质 若可逆,则A也可逆,且(4)=A ②若可逆,数≠0,则aA可逆,且(4)1=x2A2 若何可逆,则也可逆,且(4)=(Ay @若小B为同阶矩阵且均可逆,则AB也可逆,且 (AB)=B-A-1 定义3: 21a2 设A是矩阵A= 中元素a的 A21 A 代数余子式,则矩阵A A2 称为A的伴随矩阵
10 二、逆矩阵的性质 1 1 1 A A ( ) A A − − − 若 可逆，则 也可逆，且 = 1 11 A 0 λ λ A ( ) λ A λ A − − − 若 可逆，数 ， ≠ 则 可逆，且 = 1 1 A A () ( ) A A − − 若 可逆，则 也可逆，且 ′ ′ = ′ 1 11 ( ) A B AB AB B A − −− = 若 、 为同阶矩阵且均可逆，则 也可逆，且 ② ③ ④ ① 定义3： 11 12 1 21 22 2 1 2 11 21 1 * 12 22 2 1 2 n n ij ij n n nn n n n n nn aa a aa a A A a aa a AA A AA A A AA A A ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 代数余 设 是矩阵 中元素 的 子式，则矩 的伴 阵 称为 随矩阵 " " ## # " " " ## #