第一章 复数和复变函数及其极限 复变函数就是自变量为复数的函数。 §1.1复数及其运算 z=x+y(i2=-1) Rez lm 实部虚部 实数 0 复数 虚数y≠0x=0时纯虚数 复平面 x→>实轴y→虚轴 复数和复平面上的点(复向量)建立了 对应 x轴上的点 对应实数 Z-Xty y轴上的点 对应纯虚数 共轭复数
§1.1 1 第一章 复数和复变函数及其极限 复变函数就是自变量为复数的函数。 §1.1 复数及其运算 实部 虚部 z z z x yi i Re Im ( 1) 2 = + = − 复数 虚数 时纯虚数 实数 0 0 0 = = y x y 复平面 x →实轴 y → 虚轴 复数和复平面上的点（复向量）建立了 一一对应 x 轴上的点 y 对应实数 z=x+yi y 轴上的点 x 对应纯虚数 共轭复数
z=x-y称为z=x+y的共轭复数,z 和z关于Ⅹ轴对称。 复数的模与幅角 模r=2=|=x2+ 2 <z z≤x+ 加法:z1+z2 平行四边形法则 z1+z2 2 2 (三角不等式) 复数自身不能比较大小: 若i)0,则t2)0,-1)0 幅角 z≠0,复向量z与X轴正方向的夹角 为
§1.1 2 z = x − yi 称为 z = x + yi 的共轭复数， z 和 z 关于 X 轴对称。 复数的模与幅角 模 r z z x y 2 2 = = = + + = = z x y y z x z z 0 z 0 z 加法： z1 + z2 平行四边形法则 1 z z1 + z2 2 z z1 + z2 z1 + z2 （三角不等式） 复数自身不能比较大小: 0, 0, 1 0 2 − i 若 i 则 幅角 为 。 复向量 与 轴正方向的夹角 z 0 , z X
从正实轴旋转到 复向量z的旋转角 Z (逆时针为正,顺时 针为负)称为幅角, 记为Arg(z)( Argument),多值函数,任两值 相差2x的整数倍。 主值:满足 丌<Arg(z)≤丌 的幅角值唯一,记作:arg(z).从而 丌〈arg(z)≤丌 Ag()=arg()+2kx(k=0±±2,…) =0,幅角无意义。 幅角的计算 二=x+jy≠0 1°用 arccos arccos (X √x2+y)y≥0 argt arccos (X √x2+y)y<0 (0≤ ar cos u≤x)
§1.1 3 从正实轴旋转到 复向量 z 的旋转角 z （逆时针为正，顺时 针为负）称为幅角， 记为 Arg(z)(Argument),多值函数，任两值 相差 2 的整数倍。 主值： 满足 − Arg(z) 的幅角值 唯一, 记作: arg(z).从而 = + = − Arg( ) arg( ) 2 ( 0, 1, 2, ) arg( ) z z k k z z = 0 ,幅角无意义。 幅角的计算 z = x + iy 0 ( 0 ar cos ) arccos ( ) 0 arccos ( ) 0 arg( ) 1 arccos 2 2 2 2 − + + = u x x y y x x y y z 用
2用arcg arcto (x>0) (x=0,y>0) argz=arct+I (x<0, y20) arg区gy-x(x〈0,y(0) (x=0,y<0) 丌 (o< arct y兀 2 例求复数z1=2-2i和z2=-3+4i的 模和辐角。 解: :z1=N 2+(-2)=2√2 2=√(3)+42=5 由Im1=-2<0,得 arg=1=-arccos Argz,=arg =,+2k 兀⊥2k兀 (k=0,±1,±2,…)
§1.1 4 ) 2 2 ( ( 0, 0) 2 arg ( 0, 0) ( 0, 0) ( 0, 0) 2 ( 0) arg 2 − − = − + = = x y arctg x y x y x y tg x y x y arctg x y x x y arctg z 用arctg 例 求复数 z 2 2i z 3 4i 1 = − 和 2 = − + 的 模和辐角。 解： 2 ( 2) 2 2 2 2 z1 = + − = ( 3) 4 5 2 2 z2 = − + = Im 2 0, 由 z1 = − 得 2 2 4 2 arg arccos 1 z = − = − ( 0, 1, 2, ) 2 4 Arg 1 arg 1 2 = = + = − + k z z k k
由Imz2=4>0,得 ag 2222=arccos T - arccos 从而 A rcos+2k丌 (2K+D)-arccos (k=0,+1,+2…) 复数的表示方法 1°代数形式 Z=x+iy 2°三角形式 x=rcos p y=rsin p 则z=r(cosq+ I Sin p) 3指数形式 由欧拉公式e=cosq+ I Sin p 则z=r(cosg+ I Sin p)=re 例如
§1.1 5 Im 4 0, 由 z2 = 得 5 3 arccos 5 3 arg arccos 2 2 = − − z z = 从而 ( 0, 1, 2 ) 5 3 (2 1) arccos 2 5 3 Arg arccos 2 = = + − + − = k k z k 复数的表示方法 z = x + iy 1 代数形式 (cos sin ) cos sin 2 z r i x r y r = + = = 则 三角形式 e e 3 i i (cos sin ) 欧拉公式 cos sin z r i r i = + = = + 则 由 指数形式 例如
+i=√2(cos+isin,)=√2e (cos+isin =e 1=1cos0+sino)=e 2=2(Cos +isin )=2e 3=3(c0(-)+isin(-))=3e 例将复数1-cosq+ ISin gp(0<Q≤x)化 为指数函数 解 原式=2sin2+12 e sin - cos 2sin sin+icos 2 =2sin x cos(-h)+isin(
§1.1 6 i i i e 4 ) 2 4 sin 4 1 2(cos + = + = i i i e 2 ) 2 sin 2 1(cos = + = i i e 0 1=1(cos 0 + sin 0) = i i e − 2 = 2(cos + sin ) = 2 i i i e 2 ) ) 3 2 ) sin( 2 3 3( cos( − − = − + − = 例 将复数 1−cos +isin (0 ) 化 为指数函数 解 2 cos 2 2sin 2 2sin2 原式 = + i = + 2 cos 2 sin 2 2sin i = − + − ) 2 2 ) sin( 2 2 cos( 2 2sin i
sin 复数相等 设z1=x1+iy1z2=x12+1y2 则 x1=x2,y1=y2 z=0 0 z1=z2≠0z1|=22且Ag(z1)=Ag(z2) 加减法 复数一一复向量,可按向量加减法则进 行 设z1=x,+ +iy,,则 二1±22=(x±x2)+(y1±y2) 乘除法 =(x1+iy1)(x2+iy2) (x1x2-y1y2)+(x2y1+xy2) 2
§1.1 7 e )i 2 2 ( 2 2sin − = 复数相等 设 z x i y z x i y 1 1 1 2 2 2 = + = + ， 则 z z x x y y 1 2 1 2 1 2 = = , = z = 0 z = 0 0 ( ) ( ) z1 = z2 z1 = z2 且 Arg z1 = Arg z2 加减法 复数——复向量，可按向量加减法则进 行 设 z x i y z x i y 1 1 1 2 2 2 = + = + ，则 ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 z z = x x + i y y 乘除法 ( 1) ( ) ( ) ( )( ) 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 = − = − + + = + + i x x y y x y x y i z z x i y x i y 2 1 2 1 2 1 1 1 z z = x + y = z
x2+yy2)+(x2y1-x,y2 (二2≠0) 利用三角形式或指数形式 E1=r(cos +isin p1) 22=r2(coso +isin p2) 212=Fo(+02)+isi(1+(2 cos(-)+1si(p-9) 272 利用欧拉公式 12=eh2e2=e(2+2) rie ri i(1-o2) 27e2
§1.1 8 ( 0) ( ) ( ) 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 = = + + − z x x y y i x y x y z z z z z z z 利用三角形式或指数形式 (cos sin ) 1 1 1 1 z = r + i (cos sin ) 2 2 2 2 z = r + i cos( ) sin( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 z z = rr + + i + cos( ) sin( ) 1 2 1 2 2 1 2 1 = − + i − r r z z 利用欧拉公式 ( ) 2 1 2 1 2 1 ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 − + = = = = i i i i i i e r r r e r e z z z z r e r e rr e
由上可得 Arg(二122)=Arg(=1)+Arg(=2) Arg()=arg(=1-Arg(z,) 几何意义 z12将z旋转角度Agz2,再扩大缩小) 倍 将Argz换成argz则 arg :z2=arg =1+arg z2+2KT arg =arg z1-arg z2+2K2TI 其中k,k2为某个适当的整数 乘幂和方根 设 2=7e, 则 n ng 2=e r"(cos no +isin no 当r=时得到德摩弗( De moivre)公式 (cos o +isin "=cos no+isin no 求复数Z的n次方根相当于解方程
§1.1 9 由上可得 = − = + = = Arg( ) Arg( ) Arg( ) Arg( ) Arg( ) Arg( ) 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 z z z z z z z z z z z z z z z z 几何意义 ( ) . Arg , 1 1 2 1 2 倍 将 旋转角度 再扩大 缩小 z z z z z 将Argz换成arg z 则 = − + = + + 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 arg arg arg 2 arg arg arg 2 z z k z z z z z z k 其中k1 ,k2为某个适当的整数 乘幂和方根 设 i z = re ，则 (cos sin ) z r e r n i n n n in n = = + 当r =1时得到德摩弗(De Moivre)公式 i n i n n (cos + sin ) = cos + sin 求复数Z的 n次方根 相当于解方程
∠ 设 z=r(cos o+isin ),w=p(cos 6+isin 0) P(cos ne+isin n0)=r(cos o+isin o) pe -reo n in e 解得 P=Vr, 0=(+2kT)/n n≥2时n次方根 +2k丌 (+2kT k=Wr(cos (k=0,±1,±2, 实际上不同的根只有n个,取k=0,1…n-1即可。 将复向量依次旋转2x/m,4x/m,…2(m-1)/n 可得的n个不同值 非零复数z的n次方根均匀分布在中心在 原点半径为r的圆周上 例题计算3-8 解:由于
§1.1 10 w z n = 设 z = r(cos + isin),w = (cos + isin ) 则 (cos n isin n ) r(cos isin) n + = + n in i e = re 解得 r k n n = , = ( + 2 ) ( 0, 1, 2, ) ) 2 sin 2 (cos 2 = + + + = k n k i n k w r n n n k 时 次方根 实际上不同的根只有 n 个，取 k = 0,1, n −1 即可。 原点 半径为 的圆周上 非零复数 的 次方根均匀分布在中心在 可得 的 个不同值 将复向量 依次旋转 n n r z n z n w n n n n , . 2 ,4 , 2( 1) . 0 − 例题 计算 3 −8 解：由于
