华中师范大学：《数学分析》课程PPT教学课件（讲稿）第八章（8.4）多元复合函数的求导法则

§84多元复合函数的求导法则 设=(,),而v=0(0,y=(0,如何求生? 设=f(u,),而v=0(x,y),v=Wx,y),如何求和? ax 自

§8.4 多元复合函数的求导法则 首页 上页 返回 下页 结束 铃 设 z=f(u v) 而 u=(t) v=(t) 如何求 dt dz ？ 设 z=f(u v) 而 u=(x y) v=(x y) 如何求 x z   和 y z   ？

中间变量为一元函数的情形 定理1如果函数v=(1)及v=(都在点可导,函数z=f(l,y) 在对应点(,)具有连续偏导数,则复合函数z=(,v在点 可导,且有 dz az di au dt +m》) °定理1的推广 设=u,v,),=),v=(0),v=o(, dz az du az dy az du dt au dt oy dt aw dt 上述称为全导数 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 设z=f(u v w) u=(t) v=(t) w=w(t) 则 下页 >>> 定理1 如果函数u=(t)及v=(t)都在点t可导 函数z=f(u v) 在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数z=f[(t) (t)]在点 t可导 且有 dt dv v z dt du u z dt dz     +   =  •定理1的推广 dt dw w z dt dv v z dt du u z dt dz   +   +   =  ❖中间变量为一元函数的情形 上述 dt dz 称为全导数

设=(n,,=0(0,y=(0,则生=92.业+92,迎 ☆中间变量为多元函数的情形 定理2如果函数=0x,y),=(x,y)都在点x,y)具有对x及 y的偏导数,函数z=(4,)在对应点(,v)具有连续偏导数,则复 合函数z1o(x,y),vx,y)在点(x,y)的两个偏导数存在,且有 az az au az a az au az av ax au v OX Ou ay av oy °定理1的推广 设z=(l,v,),=(x,y),v=v(x,y),w=0(x,y),则 az az au az ay az aw az ay az o 十一 1+ ax au ax ay ax aw ax Ou ay Ov ay aw a 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 x v v z x u u z x z      +      =    y v v z y u u z y z      +      =    dt dv v z dt du u z dt dz     +   设z=f(u v) u=(t) v=(t) 则 =  定理2 如果函数u=(x y) v=(x y)都在点(x y)具有对x及 y的偏导数 函数z=f(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数则复 合函数z=f[(x y) (x y)]在点(x y)的两个偏导数存在且有 ❖中间变量为多元函数的情形 •定理1的推广 设z=f(u v w) u=(x y) v=(x y) w=w(x y) 则 x w w z x v v z x u u z x z      +      +      =    y w w z y v v z y u u z y z      +      +      =    下页

设=(n,,=0(0,y=(0,则生=92.业+92,迎 设z=(,y),l=(x,y),p=(x,y),则 azaz au az av az az Ou az Ov ax Ou ax ay ax ay ou ay av ay 例1设=c“sm,v=xy,=x+y,求和 ax a 解=0=.+02.o ax au ax ay ax Feusin v.+ecoS v 1=e-xylysin(x+y)+cos(x+y) az az au ay a 4+OzCv = eusin1…x+ ecos v 1=eylx sin(x+y)+cos(x+D)] 首页上页返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 x v v z x u u z x z      +      =    y v v z y u u z y z      +      =    设z=f(u v) u=(x y) v=(x y) 则 例 1 设 z=e u sin v u=xy v=x+y 求 x z   和 y z   例1  解 x v v z x u u z x z      +      =  解  =e xy =e [y sin(x+y)+cos(x+y)] usin v +e 1 u y cos v y v v z y u u z y z      +      =   =e usin v =e xy +e 1 [x sin(x+y)+cos(x+y)] u x cos v dt dv v z dt du u z dt dz     +   设z=f(u v) u=(t) v=(t) 则 =  下页

设=(n,,=0(0,y=(0,则生=92.业+92,迎 设z=(,y),l=(x,y),p=(x,y),则 azaz au az av az az Ou az Ov ax Ou ax ay ax ay ou ay av ay 讨论: )设=f(4,v,l=g(x,y),v= (),则a=2a OX (2)设=(u,x,y,且v=0(x,y,则=?=? aX 提示: azaz au azaz au az dv ax au ox Ou ay av dy az af Ou, af az of Ou, of x Ou ax ax ay ou oy o 上页 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 x v v z x u u z x z      +      =    y v v z y u u z y z      +      =    设z=f(u v) u=(x y) v=(x y) 则 dt dv v z dt du u z dt dz     +   设z=f(u v) u=(t) v=(t) 则 =  (1)设 z=f(u v) u=(x y) v=(y) 则 =   x z ？ =   y z ？ (2)设 z=f(u x y) 且 u=(x y) 则 =   x z ？ =   y z ？ 讨论 提示 (1) x u u z x z      =    dy dv v z y u u z y z    +      =    (2) x f x u u f x z   +     =    y f y u u f y z   +     =    (1) x u u z x z      =    dy dv v z y u u z y z    +      =    (2) x f x u u f x z   +     =    y f y u u f y z   +     =    下页

设z=f(u,x,y),且l=m∞x,y),则 az Of au, af az of ou ox ou ox Cx Oy ou oy 例2设v=(x,y,2)=c2+y+2,而=x2smy求业和 OX B+2=2 解 xe +2ze 2xsin 2x+(1+2x sin y)ex ty tx sin au af af az +2zex+y+z .x2 cos 2(y+xsin ycos y)ex tx sin y 上页 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 设z=f(u x y) 且u=(x y) 则 x f x u u f x z   +     =    y f y u u f y z   +     =    例 2 设 u=f(x y z) 2 2 2 x y z e + + =  而 z=x 2 sin y y u x u    例2 求 和  x y x y x x y e 2 2 4 2 2 2 sin 2 (1 2 sin ) + + = + +  解 x z z f x f x u      +   =   x e ze x y x y z x y z 2 2 2 sin 2 2 2 2 2 2 = +  + + + + y z z f y f y u      +   =   ye ze x y x y z x y z 2 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 = +  + + + + x y x y y x y y e 2 2 4 2 4 sin 2( sin cos ) + + = +  解 解 x z z f x f x u      +   =   xe ze x y x y z x y z 2 2 2 sin 2 2 2 2 2 2 = +  + + + + 解 x z z f x f x u      +   =   xe ze x y x y z x y z 2 2 2 sin 2 2 2 2 2 2 = +  + + + + 解 x z z f x f x u      +   =   xe ze x y x y z x y z 2 2 2 sin 2 2 2 2 2 2 = +  + + + + y z z f y f y u      +   =   ye ze x y x y z x y z 2 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 = +  + + + + y z z f y f y u      +   =   ye ze x y x y z x y z 2 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 = +  + + + + y z z f y f y u      +   =   ye ze x y x y z x y z 2 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 = +  + + + +

例3设=m+smnt,而v=e,y=ost.求全导数生 解a=c.dh0,h dt au dt ay dt at =ve+u-Sin t)+coS t -eIcos t-elsin t+cos t =e(cos t-sin t)+cos t 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 =e tcos t−e tsin t+cos t =v e +u +cos t t (−sin t) 下页 解 解 t z dt dv v z dt du u z dt dz    +    +   = =e t (cos t−sin t)+cos t 例 3 设 z=uv+sin t  而 u=e t  v=cos t 求全导数 dt dz 

例4设=x+y+x,xy-),俱具有二阶连续偏导数, 求 Ow 3 82 及 解令=x+y+x,v=xy2,则1=f(,y) aw af au of f+y=/2 u Ox OV OX 02y=(f+ye、可+y2+y9 axa az f1+x/2+y2+y2/1+xy2=/2 =升1+y(x+z)f12+y2+xy2=/22 小: af2af2 au. af2 a f21+xyf22 oz ou O V O 百贝贝这回下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 引入记号 u f u v f    = ( , ) 1  u v f u v f     = ( , ) 1 2  同理有 2 f   1 1 f   2 2 提示 f  等 11 12 1 1 1 f xyf z v v f z u u f z f = +        +       =    11 12 1 1 1 f xyf z v v f z u u f z f = +        +       =    11 12 1 1 1 f xyf z v v f z u u f z f = +        +       =    21 22 2 2 2 f xyf z v v f z u u f z f =  +        +       =    21 22 2 2 2 f xyf z v v f z u u f z f =  +        +       =    21 22 2 2 2 f xyf z v v f z u u f z f =  +        +       =    解 令u=x+y+z v=xyz 则w=f(u v) 2 2 2 1 1 1 2 2 = f + y(x+ z) f  + yf + xy zf   下页 例4 设w=f(x+y+z xyz) f具有二阶连续偏导数 求 x w   及 x z w    2  1 2 f yzf x v v f x u u f x w = +       +      =    1 2 f yzf x v v f x u u f x w = +       +      =    z f yf yz z f f yzf x z z w    + +    +  =   =    2 2 1 1 2 2 ( ) z f yf yz z f f yzf x z z w    + +    +  =   =    2 2 1 1 2 2 ( ) 22 2 11 12 2 21 = f + xyf  + yf + yzf  + xy zf  22 2 11 12 2 21 = f + xyf  + yf + yzf  + xy zf  22 2 11 12 2 21 = f + xyf  + yf + yzf  + xy zf 

例5设v=(x,y)具有连续的偏导数把(C4)2+()转换成 极坐标系中的形式 #f u=f(x, y)=pose, psin)=F(e, 0) 其中x=cos,y=pinB,p=√x2+y2,O= arctan 应用复合函数求导法则,得 au au dp au a0 Oux ou y au Ou sin 6 COS Ox ap Ox 08 Ox ap p 00 p2 dp 06 Ou ou dp au a0 au y au x ou au cose oy ap ay 00 oy dpp dbp o 0+ 06 两式平方后相加,得 (C2)2+(c2 )2=()2+ )2 p200 上页返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 其中 x=cosθ y=sinθ 2 2  = x + y  x y  =arctan  应用复合函数求导法则得 x u x u x u     +     =       2     u x u y   −   =      sin cos u u y   −   =  y u y u y u     +     =       2     u y u x   +   =      cos sin   +   = u u  2 2 2 2 2 ( ) 1 ( ) ( ) ( )     +   =   +   u u y u x u  2 2 ( ) ( ) y u x u   +  例  5 设u=f(x y)具有连续的偏导数把 转换成 极坐标系中的形式 两式平方后相加 得 解 u=f(x y)=f(cos sin)=F( ) x u x u x u     +     =       2     u x u y   −   =      sin cos u u y   −   =  x u x u x u     +     =       2     u x u y   −   =      sin cos u u y   −   =  y u y u y u     +     =       2     u y u x   +   =      cos sin   +   = u u  y u y u y u     +     =       2     u y u x   +   =      cos sin   +   = u u  2 2 2 2 2 ( ) 1 ( ) ( ) ( )     +   =   +   u u y u x u  下页

◆全微分形式不变性 设z=f(u4,v)具有连续偏导数,则有全微分 dut=dv 如果z=f(l,v)具有连续偏导数,而v=以x,y),p=v(x,y)也具 有连续偏导数,则 dz==dx+=dy az au az a )dx+( az au az av au ax a O v OV 0z Oudx+au dy ) o2(o dx+by OX du+=dv mT 上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 设z=f(u v)具有连续偏导数 则有全微分 ❖全微分形式不变性 如果z=f(u v)具有连续偏导数 而u=(x y) v=(x y)也具 有连续偏导数 则 下页 dv v z du u z dz   +   =  dy y z dx x z dz   +   = dy y v v z y u u z dx x v v z x u u z ( ) ( )     +     +     +     = ( ) ( dy) y v dx x v v z dy y u dx x u u z   +     +   +     = dv v z du u z   +   = 