§82偏导数 、偏导数的定义及其计算法 二、高阶偏导数 自
§8.2 偏 导 数 一、偏导数的定义及其计算法 二、高阶偏导数 首页 上页 返回 下页 结束 铃
、偏导数的定义及其计算法 偏导数的定义 设函数=x,y)在点(x02y)的某一邻域内有定义,若极限 f(xo+Ax, yo)-f(xo, yo Im △x→>0 △x 存在,则称此极限为函数=(x,y)在点(x02y)处对x的偏导数, 记作 x-xo , xx 6,或/(xo,y0) y=yo x y=yo y=yo 类似地,可定义函数=f(x,y)在点(xo,y)处对y的偏导数>> 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、偏导数的定义及其计算法 类似地, 可定义函数z=f(x, y)在点(x0 , y0 )处对y的偏导数. ❖偏导数的定义 下页 设函数z=f(x, y)在点(x0 , y0 )的某一邻域内有定义,若极限 x f x x y f x y x + − → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 存在, 则称此极限为函数z=f(x, y)在点(x0 , y0 )处对x的偏导数, 记作 0 0 y y x x x z = = , 0 0 y y x x x f = = , 0 0 y y zx x x = = , 或 f x (x0, y0). >>>
、偏导数的定义及其计算法 偏导数的定义 f(o, yo)=lim f(x+△x,y0)-f(x0,yo) △x→>0 △x ☆偏导数的符号 21x=,,(x1) y=yo 偏导函数 如果函数=x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数 都存在,那么x,y)对x的偏导数是x、y的函数,这个函数称为 函数二=f(x,y)对x的偏导函数(简称偏导数,记作 Gz,,z,或f(xy) 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、偏导数的定义及其计算法 ❖偏导数的定义 x f x x y f x y f x y x x + − = → ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 . ❖偏导数的符号 0 0 y y x x x z = = , 0 0 y y x x x f = = , 0 0 y y zx x x = = , ( , ) 0 0 f x y x . 如果函数z=f(x, y)在区域D内每一点(x, y)处对x的偏导数 都存在, 那么f(x, y)对x的偏导数是x、y的函数, 这个函数称为 函数z=f(x, y)对x的偏导函数(简称偏导数),记作 x z , x f , x z , 或 f (x, y) x . ❖偏导函数
、偏导数的定义及其计算法 偏导数的定义 f(o, yo)=lim f(x+△x,y0)-f(x0,yo) △x→>0 △x ☆偏导数的符号 x=x( x=xo, Exx=xo,f(o yo) tly=yo y=yo y=yo 偏导函数 f(x, y)=lim f(x+Ax,y)-f(x, △x->0 ◆偏导函数的符号 或f(xy).> 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、偏导数的定义及其计算法 ❖偏导数的定义 x f x x y f x y f x y x x + − = → ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 . ❖偏导数的符号 0 0 y y x x x z = = , 0 0 y y x x x f = = , 0 0 y y zx x x = = , ( , ) 0 0 f x y x . x z , x f , x z , 或 f (x, y) x . ❖偏导函数 x f x x y f x y f x y x x + − = → ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 . ❖偏导函数的符号 >>>
冷偏导函数f(xo,y)=im f(x+△x,y0)-f(x02y0) △x->0 △x f(x, y= lim /(x+4x, y)-/ (x, y) △x→>0 △x 偏导数的概念还可推广到二元以上的函数 例如,三元函数=f(x,y,z)在点(x,y,2)处对x的偏导数定义 为 f(x,y,2)=m(x+△x,y.=)-f(x,y,2) △x→>0 △ 其中(x,y,z)是函数=f(x,y,2)的定义域的内点 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 x f x x y f x y f x y x x + − = → ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 ❖偏导函数 . x f x x y f x y f x y x x + − = → ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 . 偏导数的概念还可推广到二元以上的函数. 例如, 三元函数u=f(x, y, z)在点(x, y, z)处对x的偏导数定义 为 x f x x y z f x y z f x y z x x + − = → ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 , 其中(x, y, z)是函数u=f(x, y, z)的定义域的内点
冷偏导函数f(xo,y)=im f(x+△x,y0)-f(x02y0) △x->0 △x f(xy)=m/(x+Axy)-(x》 △x→>0 △x 偏导数的求法 求函数对一个自变量的偏导数时,只要把其它自变量看 作常数,然后按一元函数求导法求导即可 讨论: 下列求偏导数的方法是否正确? f(x0)=(xy)k=,f(x)=4x); f(xy)=/(xy)x,J(0)=(xy1= 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖偏导数的求法 求函数对一个自变量的偏导数时, 只要把其它自变量看 作常数, 然后按一元函数求导法求导即可. 下页x f x x y f x y f x y x x + − = → ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 ❖偏导函数 . x f x x y f x y f x y x x + − = → ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 . 讨论 下列求偏导数的方法是否正确？ 0 ) 0 ( , ) ( , 0 0 y y x x x x f x y f x y = = = , 0 ( , ) [ ( , )] 0 0 0 x x x f x y dx d f x y = = 0 ) 0 ( , ) ( , 0 0 y y x x y y f x y f x y = = = , 0 ( , ) [ ( , )] y 0 0 0 y y f x y dy d f x y = =
f(xo, yo)=f(x, y)x=xo, f(, yo)=[.f(x, yo)] f(x1y)=f(xy)=,(x,1)=[(x2y) y=yo 例1求z=x2+3x+2在点(,2)处的偏导数 解=2x+3y,9=3x+2y Ox a/N121+32=8,az 3.1+22=7 2 2 例2求x=x2sin2y的偏导数 解=2xsn2y,=2x2cos2y 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 x y x z =2 +3 , x y y z =3 +2 . 例1 求z=x 2+3xy+y 2在点(1, 2)处的偏导数. 解 例2 求z=x 2sin2y的偏导数. 解 下页 0 ) 0 ( , ) ( , 0 0 y y x x x x f x y f x y = = = , 0 ( , ) [ ( , )] 0 0 0 x x x f x y dx d f x y = = 0 ) 0 ( , ) ( , 0 0 y y x x y y f x y f x y = = = , 0 ( , ) [ ( , )] y 0 0 0 y y f x y dy d f x y = = . 2 1 3 2 8 2 1 = + = = = y x x z , 3 1 2 2 7 2 1 = + = = = y x y z 2 1 3 2 8 . 2 1 = + = = = y x x z , 3 1 2 2 7 2 1 = + = = = y x y z . x y x z =2 sin 2 , x y y z 2 cos2 2 = x y . x z =2 sin 2 , x y y z 2 cos2 2 = . 2 1 3 2 8 2 1 = + = = = y x x z , 3 1 2 2 7 2 1 = + = = = y x y z 2 1 3 2 8 . 2 1 = + = = = y x x z , 3 1 2 2 7 2 1 = + = = = y x y z . x y x z =2 sin 2 , x y y z 2 cos2 2 = x y . x z =2 sin 2 , x y y z 2 cos2 2 = . x y x z =2 +3 , x y y z =3 +2 x y . x z =2 +3 , x y y z =3 +2 x y . x z =2 +3 , x y y z =3 +2
例3设z=x)(x>0,x≠ 1),求证:xz,18z2 y Ox In x ay 证 yx x nx OX az 1 az x vxy-+xnx=x+xV=2z yax In x Oy y 例4求r=x2+y2+2的偏导数 解r ar Ox x2+y+2 x2+y2+2 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 证 下页 例 例 3 3 设 z = x (x0,x 1) y , 求证 z y z x x z y x 2 ln 1 = + . 证 −1 = y yx x z , x x y z y = ln 证 . −1 = y yx x z , x x y z y = ln . x x x x z x yx y x y z x x z y x y y y y ln 2 ln 1 ln 1 1 = + = + = + − x x x x z . x yx y x y z x x z y x y y y y ln 2 ln 1 ln 1 1 = + = + = + − x x x x z . x yx y x y z x x z y x y y y y ln 2 ln 1 ln 1 1 = + = + = + − . 例 例 4 4 求 2 2 2 r= x + y + z 的偏导数. 解 r x x y z x x r = + + = 2 2 2 r y x y z y y r = + + = 2 2 2 解 . r x x y z x x r = + + = 2 2 2 r y x y z y y r = + + = 2 2 2 解 . r x x y z x x r = + + = 2 2 2 r y x y z y y r = + + = 2 2 2 解 . r x x y z x x r = + + = 2 2 2 r y x y z y y r = + + = 2 2 2 解 . r x x y z x x r = + + = 2 2 2 r y x y z y y r = + + = 2 2 2 解 . r x x y z x x r = + + = 2 2 2 r y x y z y y r = + + = 2 2 2
例5已知理想气体的状态方程为pRT(R为常数),求证 aV aT 证因为p=R,C=R ’o2 RT aV p aT p R ap R 所以 ap a aT RTRV RT aV aT ap v2 pr p 本例说明一个问题:偏导数的记号是一个整体记号,不能 看作分子分母之商 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 证 本例说明一个问题 偏导数的记号是一个整体记号,不能 看作分子分母之商. 下页 例5 已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数), 求证 =−1 p T T V V p . 证 因为 V RT p= , 2 V RT V p =− 证 因为 V RT p= , 2 V RT V p =− p RT V = , p R T V = R pV T = , R V p T = 所以 1 2 =− =− =− pV RT R V p R V RT p T T V V p . p RT V = , p R T V = R pV T = , R V p T = 所以 1 2 =− =− =− pV RT R V p R V RT p T T V V p 所以 1. 2 =− =− =− pV RT R V p R V RT p T T V V p 所以 1. 2 =− =− =− pV RT R V p R V RT p T T V V p
☆偏导数的几何意义 f(xo,yo=[fx,yo)1是截线z=f(x,y0)在点(x02y)处的切线rx 对x轴的斜率 f(x0y)=f(xy)]是截线=元(xoy)在点(xy0处的切线r 对y轴的斜率 7E=(x,)[2=(xm,y O O 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖偏导数的几何意义 f x (x0 , y0 )=[ f(x, y0 )]x f y (x0 , y0 )=[ f(x0 , y)]y z=f(x, y0 ) z=f(x0 , y) 是截线z=f(x, y0 )在点(x0 , y0 )处的切线Tx 对x轴的斜率. 是截线z=f(x0 , y)在点(x0 , y0 )处的切线Ty 对y轴的斜率