534奇解
§3.4 奇 解
包络和奇解 1包络的定义 定义1:对于给定的一个单参数曲线族 d(x,y,c)=0,(3.23) 其中c是参数,Φ(x,y,c)是x,y,c的连续可微函数, 曲线族(3.23)的包络是指这样的曲线,它本身不包含在 曲线(323)中,但过这曲线的每一点有(323中的一条 曲线和它在这点相切
一、包络和奇解 1 包络的定义 定义1：对于给定的一个单参数曲线族： (x, y,c) = 0, (3.23) 其中c是参数,(x, y,c)是x, y,c的连续可微函数, 曲线族(3.23)的包络是指这样的曲线, 它本身不包含在 曲线(3.23)中,但过这曲线的每一点有(3.23)中的一条 曲线和它在这点相切
或定义: 对于给定的一个单参数曲线族: lo:Φ(x,y2c)=0 C 其中c∈ⅠcR为参数若存在一条曲线L满足下列条件 (1)lg C)c∈/ (2)对任意的(x,yn)∈l,存在唯的∈1,使得 (x,3)∈l0且1与l在(x,y)有相同的切线 则称1为曲线族lΦ(x,yc)=0的一条包络线 简称为包络
对于给定的一个单参数曲线族： l c : (x, y,c) = 0 其中 cI R 为参数. 若存在一条曲线 l, 满足下列条件: (1) ; c c I l l (2) 对任意的 ( , ) , 0 0 x y l 存在唯一的 , 0 c I 使得 ( ) 0 0 0 , c x y l 且 l 与 0 c l 在 有相同的切线. 则称 l 为曲线族 l c : (x, y,c) = 0 的一条包络线, 简称为包络. ( x y 0 0 , ) 或定义：
例如单参数曲线族 (x-c)2+y2=R (其中R是常数,c是参数)表示圆心为(c,0)而半 等于R的一族圆.如图 从图形可见此曲线族的包络显然为 y=R和y=-R
例如 单参数曲线族： 2 2 2 (x −c) + y = R （其中R是常数，c是参数）表示圆心为（c,0）而半 径等于R的一族圆. 如图 R 从图形可见,此曲线族的包络显然为: y = R和y = −R
注:并不是每个曲线族都有包络 例如:单参数曲线族 x2+y2 (其中c为参数表示一族同心圆 如图 从图形可见,此曲线族没有包络
注:并不是每个曲线族都有包络. 例如: 单参数曲线族: 2 2 2 x + y = c (其中c为参数)表示一族同心圆. 如图 从图形可见, 此曲线族没有包络
向题:对于给定的单参数曲线族: d(x,y,c)=0 其c∈是参数 如何判断它是否有包络?如果有包络,如何求? 根据定义,假设该单参数曲线族有包络l,则对任意的 (,y)∈,存在唯的c∈L,使得(x,y)∈l 于是得到对应关系 c: ->I (x,y)}>c(x,y)
问题:对于给定的单参数曲线族: (x, y,c) = 0 其c I是参数. 如何判断它是否有包络? 如果有包络, 如何求? 根据定义, 假设该单参数曲线族有包络 l, 则对任意的 (x, y)l, 存在唯一的 c I, 使得 ( , ) . c x y l 于是得到对应关系: c : l → I, (x, y) c(x, y)
从而得到二元函数c=c(x,y),(x,y)∈l使得 Φ(x,y2c(x,y)≡0,(x,y)∈l 若L可用参数形式表示为 x=o(t) t∈(o ) 记c=c(qp(t),v()≡c(t),则 d(q(t)2v(t),C(t)≡0,t∈(a,B) 于是, +① +①≡0. dt
从而得到二元函数 c = c(x, y), (x, y) l 使得 (x, y,c(x, y)) 0, (x, y) l. 若 l 可用参数形式表示为: ( , ) ( ), ( ), = = t y t x t 记 c = c((t),(t)) c(t), 则 ((t),(t), c(t)) 0, t (, ) 于是, + + 0. dt dc dt d dt d x y c
现在l上任取一个固定点M则M在某一条曲线l。上由于 与L在M点有相同的切线,而l与l在M点的切线的斜率 分别为与 所以有 从而 dt y dt 0 dt 由于在l上不同的点也在不同的L上,即≠0,因此 ①≡0
l 上任取一个固定点M, 则M在某一条曲线 c l 上. 由于 l 与 c l 在M点有相同的切线, 而 l 与 c l 在M点的切线的斜率 分别为 dx dy 与 , y x − 所以, 有 从而 0. dt dc c + 0, dt d dt d x y 由于在 l 上不同的点也在不同的 c l 上, 即 0, dt dc 因此 0. c 现在
因此包络线1任意一点M不仅要满足Φ(x,y,c)=0, 而且还要满足Φ(x,y,c)=0 把联立方程组 d(x,y,c)=0 @.xy,c)=0 中消去参数c得到的方程F(xy)=0所表示的曲线*称为曲线族 C)c∈I 的c-判别曲线
因此, 包络线 l 任意一点M不仅要满足 (x, y,c) = 0, 而且还要满足 (x, y,c) = 0. c 把联立方程组: = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 x y c x y c c 中消去参数c得到的方程F(x,y)=0所表示的曲线 l * 称为曲线族 c c I l 的c-判别曲线
Φ(x,y.c)=0,(3.23) 2包络的求法 曲线族(323)的包络包含在下列两方程 Φ(x,y,c)=0 Φ(x,y,c)=0 消去参数c而得到的曲线F(x,y)=0之中 曲线F(x,y)=0称为323)的c一判别曲线 注:c-判别曲线有时除包络外还有其它曲线
= = ( , , ) 0 ( , , ) 0 ' x y c x y c c 曲线F(x, y) = 0称为(3.23)的 2 包络的求法 曲线族(3.23)的包络包含在下列两方程 消去参数c而得到的曲线F(x, y) = 0之中, c −判别曲线. 注: c −判别曲线有时除包络外还有其它曲线. (x, y,c) = 0, (3.23)