《常微分方程》第五章 线性微分方程组（5.2）线性微分方程组的一般理论习题解答

§52线性微分方程组的一般理论 齐次线性方程组的通解结构 国上一页国下一页返回帮助

齐次线性方程组的通解结构 §5.2 线性微分方程组的一般理论

一阶线性微分方程组 =A()x+f(),(5.14) 这里4(t)利f()在a≤t≤b上连续, 若f(t)=0则514)变为 dx=AUx, (5. .15) 称(515)为一阶齐线性微分方程组 若f(1)0,则称514)为非齐线性微分方程组 齐次线性方程组的通解结构 国上一页国下一页返回帮助

齐次线性方程组的通解结构 ( ) ( ), (5.14) dx A t x f t dt = + 这里 和 在 上连续 A t f t a t b ( ) ( ) ,   一阶线性微分方程组: 若 则 变为 f t( ) 0 (5.14) = ( ) , (5.15) dx A t x dt = 称(5.15)为一阶齐线性微分方程组. 若 则称 为 f t( ) 0, (5.14)  非齐线性微分方程组

齐次线性微分方程组幕=A()x(6.15) 1叠加原理 dt 定理2如果x()2x2(1)…,xn()是方程组515)的m个解 则它们的线性组合cx1(t)+C2x2(t)+…+Cnxn(1)也是 方程组(515)舶解这里c1c2…Cn是任常数 证明:由于x(t)(i=1,2,…m)是方程组(515)的m个解 则有dx(t)=A()x(1)2t=1,2,…,m 所以d ∑cx(1)=∑ dx(1)又 ∑cA()x() ()∑ 齐次线性方程组的通解结构 国上一页国下一页返回帮助

齐次线性方程组的通解结构 一 齐次线性微分方程组 1 叠加原理 1 2 1 1 2 2 1 2 ( ), ( ) , ( ) (5.15) , ( ) ( ) ( ) (5.15) , , , . m m m m x t x t x t c x t c x t c x t c c c + + + 如果 是方程组 的m个解 则它们的线性组合 也是 方程组 的解 这里 是任常数 定理2 证明: ( )( 1,2, ) (5.15) i 由于 是方程组 的m个解 x t i m = 则有 ( ) ( ) ( ), 1,2, , i i dx t A t x t i m dt = = 所以 1 ( ) m i i i d c x t dt =  1 ( ) m i i i dx t c dt = =  ( ) ( ) A t x t i 1 ( ) ( ) m i i i A t c x t = =  1 m i i c = =  ( ) , (5.15) dx A t x dt =

2函数向量组线性相关与无关 定义设x(x1()…x()是一组定义在区间a,b 上的函数列向量,如果存在一组不全为零的常数C 2…Cm,使得对所有a≤t≤b,有恒等式 c1x(D)+c2x2(t)+…+Cnxn(t)≡0 则称x(),x2(),…,xm()在区间b上线性相关 否则就称这组向量函数在区间[a,b上线性无关 齐次线性方程组的通解结构 国上一页国下一页返回帮助

齐次线性方程组的通解结构 2 函数向量组线性相关与无关 定义 设 1 2 ( ), ( ), , ( ) m x t x t x t 是一组定义在区间[ , ] a b 上的函数列向量，如果存在一组不全为零的常数C1 , C2 , ..., Cm , 使 得对所有 a t b   ，有恒等式 否则就称这组向量函数在区间[ , ] a b 上线性无关. 则称 1 x t( ), 2 x t( ) , ..., ( ) m x t 在区间[ , ] a b 上线性相关; 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 m m c x t c x t c x t + + + 

例1证明:函数向量组 cos t -sin- t ()=1,x2(t)= 在任何区间都是线性相关的 证明:取c1=1,c2=-1则 coS t-(1-sin t) C1x()+c2x2(D) 000 故x(1,x2(t)在任何区间线性相关 齐次线性方程组的通解结构 国上一页国下一页返回帮助

齐次线性方程组的通解结构 证明: 1 2 取 则 c c = = − 1, 1, 1 1 2 2 c x t c x t ( ) ( ) + t 1 2 故x t x t ( ), ( )在任何区间线性相关 例1 证明:函数向量组 2 1 cos ( ) 1 , t x t t     =       在任何区间都是线性相关的. 2 2 1 sin ( ) 1 , t x t t   −   =       2 2 cos (1 sin ) 1 1 t t t t   − −   = −     −   0 0 , 0     =      

例2证明:函数向量组 0 2t x1()=0,x2(O)=e|,x:() 0 在(-∞,+∞)上线性无关 证明:要使 0 2t 1x(1)+C2x2(t)+c2x()=c10+c2e|+c3e3≡0 0 齐次线性方程组的通解结构 国上一页国下一页返回帮助

齐次线性方程组的通解结构 证明: 要使 1 1 2 2 3 3 c x t c x t c x t ( ) ( ) ( ) + + 2 3 3 1 2 3 0 0 1 0 t t t t t e e c c e c e e −             = + +                    0 例2 证明:函数向量组 1 ( ) 0 , t t e x t e −     =       3 2 0 ( ) , 1 t x t e     =       在(- ,+ )上线性无关.   2 3 3 ( ) , 0 t t e x t e     =      

则需 0e3 0 O<t<+ 因为 0 2e4≠0.Vt e 所以c1=c2=c3=0, 故x(t),x2()2x3(D)线性无关 齐次线性方程组的通解结构 国上一页国下一页返回帮助

齐次线性方程组的通解结构 2 1 3 3 2 3 0 0 0 0 , 1 0 0 t t t t t e e c e e c t e c −           = −    +                则需 因为 2 3 3 0 0 1 0 t t t t t e e e e e − 4 2 t = − e  0, 所以 1 2 3 c c c = = = 0, 1 2 3 故 x t x t x t ( ), ( ), ( ) 线性无关. t

3函数向量组线性相关与无关的判别准则 (1) Wronsky行列式 设有n个定义在a≤t≤b上的向量函数 X n x,( xmn (t) 由这n个向量函数所构成的行列式 11 12 W[x(),x2(O2…x()eW()=/5()x2() n 称为这n个向量函数所构成的 Wronsky行列式 齐次线性方程组的通解结构 国上一页国下一页返回帮助

齐次线性方程组的通解结构 3 函数向量组线性相关与无关的判别准则 (1) Wronsky行列式 设有n a t b 个定义在   上的向量函数 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) , , ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n nn x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t             = = =                               由这n个向量函数所构成的行列式 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ), ( ), ( )] ( ) , ( ) ( ) ( ) n n n n n nn x t x t x t x t x t x t W x t x t x t W t x t x t x t  称为这n个向量函数所构成的Wronsky行列式

(2)定理3如果向量函数x(O)2x2()…,x1()在a≤t≤b上 线性相关则它们的 Wronsky行列式W()≡0,a≤t≤b 证明:因x(t)2x2(t)…,xn()在a≤t≤b上线性相关, 从而存在不全为零的常数c12C2…Cn,使 C1x()+C2x2()+…+cnxn(t)≡0,a≤t≤b 故对任一确定的∈[a,b,有 c1x(t)+C2x2(t0)+…+Cnxn(t0)=0, 即常向量组x(t)x2(0)…,x,(t)线性相关, 故W(t0)=0, 由t的任意性有W(t)=0,a≤t≤b 齐次线性方程组的通解结构 国上一页国下一页返回帮助

齐次线性方程组的通解结构 (2)定理3 1 2 ( ), ( ) , ( ) , ( ) 0, . n x t x t x t a t b W t a t b      如果向量函数 在 上 线性相关 则它们的Wronsky行列式 证明: 1 2 ( ), ( ) , ( ) , n 因 在 上线性相关 x t x t x t a t b  1 2 , , , n 从而存在不全为零的常数 ,使 c c c 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0, n n c x t c x t c x t a t b + + +    0 故对任一确定的 有 t a b [ , ], 1 0 2 0 0 ( ), ( ) , ( ) n 即常向量组 线性 x t x t x t 0 故W t( ) 0, = 0 由 的任意性 t 有W t a t b ( ) 0, .    1 1 0 2 2 0 0 ( ) ( ) ( ) 0, n n c x t c x t c x t + + + = 相关

(3)定理4如果(5.15)的解x()x(O)…,x(0)线性无关 则它们 Wronsky的行列式W()≠0,a≤t≤b 证明:“反证法”若有o∈[a,b使得W(t0)=0, 则数值向量组x1(t)x(4)…,x(t线性相关, 从而存在不全为零的常数2,2…,Cn,使得 C1x()+a2x2(t0)+…+Cnx(0)=0,(5.17 现在考虑函数向量 x()=1x1(1)+c2x2()+…+cnxn() 由定理2知,x()是(515)的解 齐次线性方程组的通解结构 国上一页国下一页返回帮助

齐次线性方程组的通解结构 (3)定理4 1 2 ( ), ( ) , ( ) , ( ) 0, . n x t x t x t W t a t b    如果(5.15)的解 线性无关 则它们Wronsky的行列式 证明: 0 0 若有 使得 t a b W t  = [ , ], ( ) 0, “反证法” 则 1 0 2 0 0 ( ), ( ) , ( ) n 数值向量组 线性相关, x t x t x t 1 2 , , , n 从而存在不全为零的常数 ,使得 c c c 1 1 0 2 2 0 0 ( ) ( ) ( ) 0, (5.17) n n c x t c x t c x t + + + = 现在考虑函数向量 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n x t c x t c x t c x t + + + 由定理2知, x t( ) (5.15) , 是 的解