532解的延拓
§3.2 解的延拓
问题提出 对于初值问题 dx f(x,y),R:X Y(o)=yo 上节解存在唯一性定理告诉我们在一定条件下, 它的解在区间x-x≤h上存在唯 这里h=mn(a,,M=Mx(x,y (x,y)∈R 根据经验如果f(x,y舶定义域R越大解的存在唯 区间也应越大但根据定理的结论可能出现这种情况, 即随着(x,y)的定义域的增大解的存在唯一区间反而 缩小,这显然是我们不想看到的
问题提出 对于初值问题 , ( ) ( , ) 0 0 = = y x y f x y dx dy : , , R x − x0 a y − y0 b 上节解存在唯一性定理告诉我们,在一定条件下, , 它的解在区间x − x0 h上存在唯一 min( , ), ( , ) ( , ) M Max f x y M b h a x y R 这里 = = , , ( , ) , 区间也应越大 根据经验 如果f x y 的定义域R越大 解的存在唯一 , . ( , ) , , , 缩小 这显然是我们不想看到的 即随着 的定义域的增大 解的存在唯一区间反而 但根据定理的结论 可能出现这种情况 f x y
ty 例如初值问题1cx y(0)=0 当取定义域为R:-1≤x≤1,-1≤y≤时, 解的存在唯一区间x≤h=mim{1}= 22 当取定义域为R:-2≤x≤2,-2≤y≤2时, 解的存在唯一区间x≤h=min(2,} 84 正因为如此,上节中所介绍的存在唯一性定理也叫做解的局部 存在唯一性定理.这种局部性使我们感到非常不满意.而且实战上也 要求解的存在区间能尽量扩大.这样就需要讨论解延拓的问题.为此 先给出下列定义
, (0) 0 2 2 = = + y x y dx dy 例如 初值问题 当取定义域为R:−1 x 1,−1 y 1时, . 2 1 } 2 1 解的存在唯一区间x h = min{1, = 当取定义域为R:−2 x 2,−2 y 2时, . 4 1 } 8 2 解的存在唯一区间x h = min{ 2, =
饱和解及饱和区间 定义1对定义在平面区域G上的微分方程 f(x,y),(3.1) dx 设y=0(x)为方程(3.1)定义在区间a1,舶连续解, 若存在方程(3.1)的另一解y=v(x),它在区间(a2B2)上 有定义,且满足 (1)(a2,2)→(a1,B)但(a2,B2)≠(a12B1), (2)当x∈(a1,B)时,(x)=(x) 则称解y=叭(x),x∈(ax,B)是可延拓的并且称解 y=v(x)是解y=(x)在(a2,B2)的一个延拓
1 饱和解及饱和区间 定义1 对定义在平面区域G上的微分方程 f (x, y), (3.1) dx dy = ( ) (3.1) ( , ) , 设y = x 为方程 定义在区间1 1 的连续解 有定义 且满足 若存在方程 的另一解 它在区间 上 , (3.1) ( ), ( , ) 2 2 y = x (1) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ), 2 2 1 1 但 2 2 1 1 (2) ( , ) , ( ) ( ); 1 1 当x 时 x = x ( ) ( ) ( , ) . ( ), ( , ) , 2 2 1 1 是解 在 的一个延拓 则称解 是可延拓的 并且称解 y x y x y x x = = =
若不存在满足上述条件的解y=v(x),则称解y= 0(x),x∈(ax,B)为方程的一个不可延拓解或饱和解 此时把不可延拓解的定义区间a12B)称为一个饱和区间 2局部李普希茨( Lipschitz)条件 定义2若函数f(x,y)在区域G内连续,且对G内的每 点P,有以P为中心完全含于G内的闭矩形R存在, 在R上f(x,y)关于y满足Lch条件(对不同的点 域R大小和常数L可能不同,则称f(x,y)在G内关 于y满足局部 Lipschitz条件
( ), ( , ) , . ( ), 1 1 为方程的一个不可延拓解 或饱和解 若不存在满足上述条件的解 则称解 = = x x y x y ( , ) . 此时把不可延拓解的定义区间1 1 称为一个饱和区间 2 局部李普希茨(Lipschitz)条件 定义2 . ), ( , ) ( , ) ( , , , ( , ) , 于 满足局部 条件 域 大小和常数 可能不同 则称 在 内关 在 上 关于 满足 条件 对不同的点 一点 有以 为中心完全含于 内的闭矩形 存在 若函数 在区域 内连续 且对 内的每 y Lipschitz R L f x y G R f x y y Lipschitz P P G R f x y G G P P P
对定义2也可如下定义 对定义在平面区域G上函数f(x,y),若对(x1,y)∈G, 日矩形R={(x,y)x-x≤a,y-≤b}G及常数 L1(与x1,y2a1b有关),使对v(x,y)(x,y)∈R有 f(x,y)-fxy)≤Lly-y 恒成立则称(x,y)在G内关于满足局部xh条件 注若f(x,y)及(x,y)在G内连续,则f(x,y)在G内关于 y满足局部 Lipschitz条件
对定义2也可如下定义 与 有关 使对 有 矩形 及常数 对定义在平面区域 上函数 若对 1 ' '' 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( , , , ), ( , ),( , ) {( , )| , } ( , ), ( , ) , L x y a b x y x y R R x y x x a y y b G G f x y x y G = − − ' " 1 ' " f (x, y ) − f (x, y ) L y − y 恒成立,则称f (x, y)在G内关于y满足局部Lipschitz条件. . ( , ) ( , ) , ( , ) 满足局部 条件 若 及 在 内连续 则 在 内关于 y Lipschitz 注 f x y f y x y G f x y G
3解的延拓定理 定理如果方程(31)右侧函数f(x,y)在有界区域G 中连续,且在在G内f(x,y)关于y满足局部Lpch=条 件那么方程(3.1)通过G内任一点(xo,y)的解y=9(x) 可以延拓直到点(x,q(x)任意接近G的边界 以向x增大的一方来说如果y=0(x)只延拓到区 间x0≤xm时,(x,9(x)趋于区域G的 边界
3 解的延拓定理 定理 , ( , ( )) . . (3.1) ( , ) ( ) , ( , ) (3.1) ( , ) 0 0 可以延拓 直到点 任意接近 的边界 件那么方程 通过 内任一点 的解 中连续 且在在 内 关于 满足局部 条 如果方程 右侧函数 在有界区域 x x G G x y y x G f x y y Lipschitz f x y G = . , ,( , ( )) , ( ) 0 边界 间 上 则当 时 趋于区域 的 以向 增大的一方来说 如果 只延拓到区 x x m x m x x G x y x → =
证明(x,y)∈G由解存在唯一性定理,初值问题 dy =f(x,y) 存在唯一解y=0(x.解的存在唯一区间为x-x|≤h 取x=x0+h。y1=(x1)以(x1y)为心作一小矩形 R1cG,则初值问题 dx =f(x,y),(3) V(,=yu 存在唯一解y=v(x)解的存在唯区间为x-x|1≤h>0
证明 (x0 , y0 )G,由解存在唯一性定理,初值问题 , (2) ( ) ( , ) 0 0 = = y x y f x y dx dy ( ), . 0 h0 存在唯一解y = x 解的存在唯一区间为x − x 则初值问题 取 以 为心作一小矩形 , , ( ), ( , ) 1 1 0 0 1 1 1 1 R G x x h y x x y = + = , (3) ( ) ( , ) 1 1 = = y x y f x y dx dy 1 1 存在唯一解y x x x h = − ( ), 0. 解的存在唯一区间为
因o(x)=v(x):由唯一性定理在两区间的重叠部分 应有(x)=V(x),即当x1-h≤x≤x时(x)=v(x) ≤x≤x0+ 定义函数g(x)= v(x),x0+h≤x≤x+h1 那么y=q(x)为方程3)满足(2)或(3)在0-hn,x1+h 上有定义的唯一解这样我们已把方程(31)满足(2)的解 y=0(x),在定义区间向右延长了一段 即方程(31)满足(2)解y=g(x)为解y=0(x)在定义 区间x-x≤1的向右方延拓 即将解延拓到较大区间x-h≤x≤x0+h+h1上
( ) ( ), ( ) ( ), , 1 1 x x x x = = 应有 因 由唯一性定理 在两区间的重叠部分 ( ) ( ), 1 1 1 即当x −h x x时 x = x 定义函数 , ( ), ( ), ( ) 0 0 1 1 * 0 0 0 0 + + − + = x x h x x h x x h x x h x . , ( ) (3.1) (2)( (3)), [ , ] 0 0 1 1 * 上有定义的唯一解 那么 y = x 为方程 满足 或 在 x − h x + h ( ), . (3.1) (2) 在定义区间向右延长了一段 这样我们已把方程 满足 的解 y = x , (3.1) (2) ( ) ( ) 0 0 * 区间 的向右方延拓 即方程 满足 的解 为解 在定义 x x h y x y x − = = , 即将解延拓到较大区间x0 − h0 x x0 + h0 + h1 上
同样方法可把解y=0(x)左方延拓 以上这种把曲线向左右两方延拓的步骤可一次 次地进行下去直到无法延拓为止 最后得到一条长长的积分曲线 即得到(31)满足(2的一个解y=0(x) 它已经不能向左右两方继续延拓的,即得到了(3.1) 的饱和解
同样方法可把解y =(x)向左方延拓. 以上这种把曲线向左右两方延拓的步骤可一次一 次地进行下去.直到无法延拓为止. 即得到(3.1)满足(2)的一个解y =(x). 它已经不能向左右两方继续延拓的,即得到了(3.1) 的饱和解. 最后得到一条长长的积分曲线