《常微分方程》第二章 一阶微分方程的初等解法（2.3）恰当方程与积分因子习题解答

523恰当方程与积分因子

§2.3 恰当方程与积分因子

接下来,我们採讨另外一类可用初等解法求解的方 程类型.为此,将一阶正规形微分方程=f(xy)改写成 f(x,y)d-py=0,或更一般地,M(x,y)+Mx,)中=0的 形式.由前面的例子可以看到,把微分方程写成这种形 式的优点在于:既可以把y看成未知函数,x看成自变量 也可以把x看成未知函数,y看成自变量.即变量x与变 壘y在方程中的地位是对称的,因此也常称形式为 』(xx+x,)=0的方程为对称形式的微分方程

恰当方程的定义及条件 设=l(x,y)是一个连续可微的函数则它的全微分为 ou dx +di Ox 如果我们恰好碰见了方程 du(x, y) dx+ Ou(x, y) dy=0 就可以马上写出它的隐式解 u(x,y=c

一、恰当方程的定义及条件 设u = u(x, y)是一个连续可微的函数,则它的全微分为 dy y u dx x u du   +   = 如果我们恰好碰见了方程 0 ( , ) ( , ) =   +   dy y u x y dx x u x y 就可以马上写出它的隐式解 u(x, y) = c

1恰当方程的定义 定义1若有函数(x,y),使得 ault y)=M(x, y)dx+N(x, y)dj 则称微分方程 M(, y)dx+N(, y)dy=0, (1) 是恰当方程.此时(1)的通解为n(x,y)=C 如d(xy)=xy+yx=0 d(x'y+xy)=(3xy+y)dx+(x+2xy)dy=0 ddf(xdx+g(y)dy)=f(r) dx+g()dy=0 是恰当方程

定义1 若有函数u(x, y),使得 du(x, y) = M (x, y)dx + N(x, y)dy 则称微分方程 M (x, y)dx + N(x, y)dy = 0, (1) 是恰当方程. 此时(1)的通解为u(x, y) = c. 如 xdy + ydx = 0 (3 ) ( 2 ) 0 2 2 3 x y + y dx + x + x y dy = f (x)dx + g( y)dy = 0 是恰当方程. d(xy) = ( + ) = 3 2 d x y x y+ =   d( f (x)dx g( y)d y) 1 恰当方程的定义

需考虑的问题M(x,y)x+N(x,y)y=0,(1) (1)方程(1)是香为恰当方程? (2)若(1)是恰当方程,怎样求解? (3)若(1)不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程求解? 2方程为恰当方程的充要条件 定理1设函数M(x,y)和N(x,y)在一个矩形区 域R中连续且有连续的一阶偏导数,则方程 M(x, y)dx+N(, y)dy=o, 1) 为恰当方程的充要条件是 OM(x,y) aN(x,y) (2)

需考虑的问题 (1) 方程(1)是否为恰当方程? (2) 若(1)是恰当方程,怎样求解? (3) 若(1)不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程求解? 2 方程为恰当方程的充要条件 定理1 域 中连续且有连续的一阶偏导数 则方程 设函数 和 在一个矩形区 , ( , ) ( , ) R M x y N x y M (x, y)dx + N(x, y)dy = 0, (1) 为恰当方程的充要条件是 , (2). ( , ) ( , ) x N x y y M x y   =   M (x, y)dx + N(x, y)dy = 0, (1)

证明“必要性设1)是恰当方程,则有函数v(x,y)使得 ou du(, y)=dx+dy =M(x, y)dx+N(x, y)dj oX 故有 M(x v ou=N(x,y) ax oM au an au 从而 ay aya au 由于和 都是连续的,从而有 ayax axd VoX Oxo 故 OM(,y) aN(,y ax

证明 “必要性”设(1)是恰当方程, 则有函数u(x, y),使得 dy y u dx x u du x y   +   ( , ) = = M (x, y)dx + N(x, y)dy 故有 M (x, y), x u =   N(x, y) y u =   从而 2 , M u y y x   =    2 . N u x x y   =    由于 和 都是连续的,从而有 2 2 x y u y x u       , 2 2 x y u y x u    =    故 . ( , ) ( , ) x N x y y M x y   =  

“充分性”若 OM(x,y)ON(,y) 则需构造函数(x,y),满足 du(,y)=M(x, y)dx+N(x, y)dy, (4) 即应满足Ou≥M(x,y),(5) N(x,y),(6) 从5)出发把看作参数解这个方程得 ux ,y)=M(x, y)dx+(y)

“充分性” ， x N x y y M x y   =   ( , ) ( , ) 若 从(5)出发,把y看作参数,解这个方程得 则需构造函数u(x, y),满足 du(x, y) = M (x, y)dx + N(x, y)dy, (4) 即应满足 M (x, y), (5) x u =   N(x, y), (6) y u =    u(x, y) = M (x, y)dx +( y)

u(x,y)=M(, y )dx+p(v). Ou N(x,y)(6) 这里(y)是y的任意可微函数 下面选择(y),使u同时满足(6),即 0=,M(x,y约() (y) 因此 =M 「M(x,y)dx(7) 下面证明(7)的右端与x无关,即对x的偏导数常等于零 事实上[N-|M(x,y)d] Ox aN aa OxOx Oy ∫M(xykl

这里(y)是y的任意可微函数, =   y u 因此    = − ( , ) (7) ( ) M x y dx y N dy d y 下面证明(7)的右端与x无关, 即对x的偏导数常等于零 事实上 [ ( , ) ]    −   M x y dx y N x [ ( , ) ]      −   = M x y dx x x y N N(x, y), (6) y u =   下面选择(y),使u同时满足(6),即  +   dy d y M x y dx y ( ) ( , )  = N  u(x, y) = M (x, y)dx +( y)

an a a aN aM M(, y)] ≡0. ax Oy Ox ax a 于是,()右端的确只含有y,积分之得 ∫【N-。JM(xy)dk 0(y)=[ 故 do(y) N M(x,y)ax(⑦) ( x,y)=M(x, ydx M(x, y)dx ]ay, ( 8) 即(x,y)存在从而(1)为恰当方程 注:若(1)为恰当方程,则其通解为 ∫M∥(x,y)∫N 「M(xy)y=c,c为任常数

[ ( , ) ]      −   = M x y dx x y x N y M x N   −   =  0. 于是,(7)右端的确只含有y,积分之得 ( ) [ M (x, y)dx]dy, y y N      = − 故  u(x, y) = M (x, y)dx [ M (x, y)dx]dy, y N     + − (8) 即u(x, y)存在,从而(1)为恰当方程。    = − ( , ) (7) ( ) M x y dx y N dy d y 注:若(1)为恰当方程,则其通解为 M x y dx dy c c为任常数 y M (x, y)dx [N ( , ) ] = ,   + −   

恰当方程的求解 1不定积分法 判断M(x,y)x+N(x,y)=0是否为恰当方程 若是进入下一步 20求v(x,y)=「M(x,y)x+9(y) 3由 0=N(x, ply) 例1验证方程 (e +y)dx+(-2sin y)dy=0 是恰当方程,并求它的通解

二、恰当方程的求解 1 不定积分法 . 1 ( , ) ( , ) 0 , 0 若是进入下一步 判断M x y dx + N x y dy = 是否为恰当方程  2 u(x, y) = M (x, y)dx + ( y)， 0 求  3 ( , ) ( ). 0 N x y y y u 由 = 求   例1 验证方程 (e + y)dx + (x − 2sin y)dy = 0 x 是恰当方程,并求它的通解