524一阶隐方程与参数表示
§2.4 一阶隐方程与参数表示
阶隐式方程(y未能解出或相当复杂) F(x,y,y)=0,(1 求解一采用引进参数的办法使其变为导数已解出的方程类型 主要研究以下四种类型 (1)y=f(x,y),(2)x=f(y,y) (3)F(x,y)=0,(4)F(y,y)=0
( ) 一阶隐式方程 y ' 未能解出或相当复杂 ( , , ) 0, (1) ' F x y y = 求解— 采用引进参数的办法使其变为导数已解出的方程类型. 主要研究以下四种类型 (1) ( , ), ' y = f x y (2) ( , ), ' x = f y y (3) ( , ) 0, ' F x y = (4) ( , ) 0, ' F y y =
定义对于微分方程F(x,y2如)=0如果存在定义在 x (a,B)上的函数x=(t)与y=v(,使当t∈(a,B时,有 F(()v(t),)=0, o( 则称x=Qf=)为方程F(x,y)=参数形式解 y=yo 同样可定义方程F(x,y,2)=0参数形式通解为 x=o(t,c y=W(c)t∈(a,B)
定义 上的函数 与 使当 时 有 对于微分方程 如果存在定义在 ( , ) ( ) ( ), ( , ) , ( , , ) 0, = = = x t y t t dx dy F x y ) 0, ( ) ( ) ( ( ), ( ), ' ' = t t F t t , ( , ) ( , , ) 0 . ( ) ( ) 则称 为方程 = 的参数形式解 = = dx dy t F x y y t x t 同样可定义方程 ( , , ) = 0的参数形式通解为 dx dy F x y , ( , ). ( , ) ( , ) = = t y t c x t c
哥解出y(或)的方程 1形如 y=f(x,,),(2) 方程的解法,这里假设f(x,y)有连续的偏导数 1引进参数p=y,则方程(2)变为 y=f(x,p),(3) 2将(3)两边对x求导,并以 atp代入,得 f ax ap dx dx af 这是关于变量x,p的阶微分方程
一 、可解出y(或x)的方程 1 形如 ( , ), (2) dx dy y = f x 方程的解法, 这里假设f (x, y )有连续的偏导数。 ' 1 0 引进参数p = y ' ,则方程(2)变为 y = f (x, p), (3) 2 0 将(3)两边对 求导,并以 p代入,得 dx dy x = , (4) dx dp p f x f p + = 这是关于变量x, p的一阶微分方程。 f p dp x dx f p − =
若求得(4)的通解形式为y=f(x,p),(3 p=o(r,c) P =9+9中 (4 ax ap dx 将它代入(3),即得原方程(2)的通解 y=f(x,0(x,c),c为任常数。 (1)若求得(4)的通解形式为 x=y(p, c) 则得(2)的参数形式的通解为 x=y(p, c y=f(y(p,c), p) 其中是参数c是任意常数
p =(x,c) (I) 若求得(4)的通解形式为 , (4) dx dp p f x f p + = 将它代入(3),即得原方程(2)的通解 y = f (x,(x,c)), c为任常数。 (II) 若求得(4)的通解形式为 x = ( p,c) 则得(2)的参数形式的通解为 x = ( p,c) y = f ( ( p,c), p), 其中p是参数,c是任意常数. y = f (x, p), (3)
(H)若求得(4)的通解形式为 Φ(x,p,C)=0 则得(2)的参数形式的通解为 Φ(x,p,c)=0 y=f(x, p) 其中是参数,c是任意常数
(III) 若求得(4)的通解形式为 (x, p,c) = 0 则得(2)的参数形式的通解为 (x, p,c) = 0 y = f (x, p) 其中p是参数,c是任意常数
咐注1在参数形式通解中的参数p通常用t来替代 方面这是习惯所至另方面这也表明在通解中的 p只起参数作用而不再表示2=y了 x 附注2:在求得通解后,比如=0(x,c),不应把能解 中的看成中,即 3d=(x,c),并进而两边关于x积 分得到y=∫o(xcx+c我们可这样去理解因为 y=f(x,y)是一阶微分方程,通解中只有一个任意 常数而y=∫列(x,c+c中有两个相互独立的任常 数c与c1,这显然是不对的
附注1: , . , , , , 只起参数作用 而不再表示 ' 了 一方面这是习惯所至 另方面 这也表明在通解中的 在参数形式通解中的参数 通常用 来替代 y dx dy p p t = 附注2: , . , ( , ) ( , ) , , ( , ) . , , ( , ), , ( , ), 1 1 ' 1 数 与 这显然是不对的 常数 而 中有两个相互独立的任常 是一阶微分方程 通解中只有一个任意 分 得到 我们可这样去理解 因为 中的 看成 即 并进而两边关于 积 在求得通解后 比如 不应把能解 c c y x c dx c y f x y y x c dx c x c x dx dy dx dy p p x c = + = = + = =
X 例1求解方程y=( x→ dx dx 2 解 axP,则原方程变为 X y=(P)2-xp+ (6) 两边对x求导得 = dx X p+x dx 整理化简后得方程 1)(2p-x)=0,(7)
解: 令 p,则原方程变为 dx dy = , (6) 2 ( ) 2 2 x y = p − x p+ 两边对x求导得2 p x, dx dp x dx dp p = p − − + 整理化简后得方程 ( −1)(2 p − x) = 0, (7) dx dp 例1 求解方程 . 2 ( ) 2 2 x dx dy x dx dy y = − +
=(P)2-xp2°(6 1)(2p-x)=0,(7) 从 1=0 dx 解得(7)的通解为:P=x+C 将它代入(6得原方程的通解: X y=c +cI+ c为任常数,(8) 又从2n-x=0 XX 解得(7)的一个解为 P
解得(7)的通解为: p = x+c. 将它代入(6)得原方程的通解: , , (8) 2 2 2 c为任常数 x y = c + cx + , (6) 2 ( ) 2 2 x y = p − x p+ ( −1)(2 p − x) = 0, (7) dx dp 又从 2 p − x = 0 解得(7)的一个解为: , 2 x p = −1 = 0 dx dp 从
将它代入(6得原方程的一个解 故原方程的解为: 通解:y=c2+cx+ c为任常数,(8) 及一个解:y 4 这里通解(8)不包含y=,且在积分曲线y=上的每一点 处都有积分曲线族(8)中的某一条积分曲线在该点与之相切 在几何中称曲线y 为曲线(8)的包络 在微分方程中称解y=为原方程的奇解。 4
将它代入(6)得原方程的一个解: . 4 2 x y = 故原方程的解为: 通解: , , (8) 2 2 2 c为任常数 x y = c + cx + 及一个解: . 4 2 x y = , (8) . 4 , 4 (8) 2 2 处 都有积分曲线族 中的某一条积分曲线在该点与之相切 这里通解 不包含 且在积分曲线 上的每一点 x y x y = = 在几何中称曲线 为曲线(8)的包络 4 2 x y = 。 x 在微分方程中称解y 为原方程的奇解 4 2 =