第五章数理统计的基础知识 从本章开始,我们将讲述数理统计的基本内容.数理统计作为一门学科诞生于19世纪 末20世纪初,是具有广泛应用的一个数学分支它以概率论为基础,根据试验或观察得到的 数据,来研究随机现象,以便对研究对象的客观规律性作出合理的估计和判断 由于大量随机现象必然呈现出它的规律性,故理论上只要对随机现象进行足够多次观 察,则研究对象的规律性就一定能清楚地呈现出来,但实际上人们常常无法对所研究的对象 的全体(或总体)进行观察,而只能抽取其中的部分(或样本)进行观察或试验以获得有限的 数据 数理统计的任务包括:怎样有效地收集、整理有限的数据资料;怎样对所得的数据资料 进行分析、研究,从而对研究对象的性质、特点,作出合理的推断,此即所谓的统计推断问 题,本课程主要讲述统计推断的基本内容 第一节数理统计的基本概念 分布图示 引言 ★总体与总体分布 ★样本 ★例1 ★样本分布 ★例2 ★例3 ★例4 ★统计推断问题简述 ★分组数据统计表和频率直方图 例5 ★经验分布函数 ★ ★统计量 ★常用统计量 ★例7 ★例8 例9 ★内容小结 ★课堂练习 ★习题5-1 ★返回 内容要点 总体与总体分布 总体是具有一定共性的研究对象的全体,其大小与范围随具体研究与考察的目的而确 定.例如,考察某大学一年级新生的体重情况,则该校一年级全体新生就构成了待研究的总 体.总体确定后,我们称总体的每一个可观察值为个体.如前述总体(一年级新生)中的每 个个体即为每个新生的体重.总体中所包含的个体的个数称为总体的容量.容量为有限的称 为有限总体,容量为无限的称为无限总体 数理统计中所关心的并非每个个体的所有性质,而仅仅是它的某一项或某几项数量指 标.如前述总体(一年级新生)中,我们关心的是个体的体重,进而也可考察该总体中每个个 体的身高和数学高考成绩等数量指标 总体中的每一个个体是随机试验的一个观察值,故它是某一随机变量X的值,于是, 个总体对应于一个随机变量X,对总体的研究就相当于对一个随机变量X的研究,X的分 布就称为总体的分布函数,今后将不区分总体与相应的随机变量,并引入如下定义 定义统计学中称随机变量(或向量)X为总体,并把随机变量(或向量)的分布称为总体 分布 注(i)有时个体的特性很难用数量指标直接描述,但总可以将其数量化如检验某学校全 体学生的血型,试验的结果有O型、A型、B型、AB型4种,若分别以1,2,34依次记这4 种血型则试验的结果就可以用数量来表示了; (i)总体的分布一般来说是未知的,有时即使知道其分布的类型如正态分布、二项分布 等,但不知这些分布中所含的参数等(如a2,p等)数理统计的任务就是根据总体中部分个
第五章 数理统计的基础知识 从本章开始, 我们将讲述数理统计的基本内容. 数理统计作为一门学科诞生于 19 世纪 末20世纪初, 是具有广泛应用的一个数学分支, 它以概率论为基础, 根据试验或观察得到的 数据, 来研究随机现象, 以便对研究对象的客观规律性作出合理的估计和判断. 由于大量随机现象必然呈现出它的规律性, 故理论上只要对随机现象进行足够多次观 察, 则研究对象的规律性就一定能清楚地呈现出来, 但实际上人们常常无法对所研究的对象 的全体(或总体) 进行观察, 而只能抽取其中的部分(或样本) 进行观察或试验以获得有限的 数据. 数理统计的任务包括: 怎样有效地收集、整理有限的数据资料; 怎样对所得的数据资料 进行分析、研究, 从而对研究对象的性质、特点, 作出合理的推断, 此即所谓的统计推断问 题, 本课程主要讲述统计推断的基本内容. 第一节 数理统计的基本概念 分布图示 ★ 引言 ★ 总体与总体分布 ★ 样本 ★ 例 1 ★ 样本分布 ★ 例 2 ★ 例 3 ★ 例 4 ★ 统计推断问题简述 ★ 分组数据统计表和频率直方图 ★ 例 5 ★ 经验分布函数 ★ 例 6 ★ 统计量 ★ 常用统计量 ★ 例 7 ★ 例 8 ★ 例 9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 5-1 ★ 返回 内容要点 一、总体与总体分布 总体是具有一定共性的研究对象的全体, 其大小与范围随具体研究与考察的目的而确 定. 例如, 考察某大学一年级新生的体重情况, 则该校一年级全体新生就构成了待研究的总 体. 总体确定后, 我们称总体的每一个可观察值为个体. 如前述总体(一年级新生) 中的每一 个个体即为每个新生的体重. 总体中所包含的个体的个数称为总体的容量. 容量为有限的称 为有限总体, 容量为无限的称为无限总体. 数理统计中所关心的并非每个个体的所有性质, 而仅仅是它的某一项或某几项数量指 标. 如前述总体(一年级新生)中, 我们关心的是个体的体重, 进而也可考察该总体中每个个 体的身高和数学高考成绩等数量指标. 总体中的每一个个体是随机试验的一个观察值, 故它是某一随机变量 X 的值,于是, 一 个总体对应于一个随机变量 X , 对总体的研究就相当于对一个随机变量 X 的研究, X 的分 布就称为总体的分布函数, 今后将不区分总体与相应的随机变量, 并引入如下定义: 定义 统计学中称随机变量(或向量) X 为总体, 并把随机变量(或向量)的分布称为总体 分布. 注(i) 有时个体的特性很难用数量指标直接描述, 但总可以将其数量化,如检验某学校全 体学生的血型, 试验的结果有 O 型、A 型、B 型、AB 型 4 种, 若分别以 1,2,3,4 依次记这 4 种血型,则试验的结果就可以用数量来表示了; (ii) 总体的分布一般来说是未知的, 有时即使知道其分布的类型(如正态分布、二项分布 等),但不知这些分布中所含的参数等(如 , , p 2 等).数理统计的任务就是根据总体中部分个
体的数据资料对总体的未知分布进行统计推断 二、样本与样本分布 由于作为统计研究对象的总体分布一般来说是未知的为推断总体分布及其各种特征 般方法是按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察通过观察可得到关于总体X的一组数 值(x1,x2,…,xn),其中每一x是从总体中抽取的某一个体的数量指标X的观察值上述抽取 过程为抽样所抽取的部分个体称为样本样本中所含个体数日称为样本的容量为对总体进 行合理的统计推断我们还需在相同的条件下进行多次重复的、独立的抽样观察故样本是 个随机变量(或向量)容量为n的样本可视为n维随机向量(X1,X2,…,Xn),一旦具体取定 组样本便得到样本的一次具体的观察值 称其为样本值全体样本值组成的集合称为样本空间 为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息,必须考虑抽样方法,最常用的一种抽样方 法称为简单随机抽样,它要求抽取的样本满足下面两个条件: 1.代表性:X1,x2,…,Xn与所考察的总体具有相同的分布; 2.独立性:X1,X2…,Xn是相互独立的随机变量 由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本,它可用与总体独立同分布的n个相互 独立的随机变量xX2…,Xn表示.显然,简单随机样本是一种非常理想化的样本,在实际 应用中要获得严格意义下的简单随机样本并不容易 对有限总体,若采用有放回抽样就能得到简单随机样本但有放回抽样使用起来不方便, 故实际操作中通常采用的是无放回抽样,当所考察的总体很大时,无放回抽样与有放回抽样 的区别很小,此时可近似把无放回抽所得到的样本看成是一个简单随机样本.对无限总体 因抽取一个个体不影响它的分布,故采用无放回抽样即可得到的一个简单随机样本 注:今后假定所考虑的样本均为简单随机样本,简称为样本 设总体X的分布函数为F(x),则简单随机样本(x1,x2…,Xn)的联合分布函数为 F(x1,x2,…,xn)=F(x) 并称其为样本分布 特别地,若总体X为连续型随机变量,其概率密度为∫(x),则样本的概率密度为 f(x,x )=1f(x) 分别称f(x)与f(x,x2,…,x)为总体密度与样本密度 若总体X为离散型随机变量其概率分布为p(x)=P{X=x},x取遍X所有可能取值, 则样本的概率分布为 p(x,x2,…,xn)=P(X=x,X=x2…X=xn}=∏P(x 分别称p(x)与p(x1,x2…,xn)为离散总体密度与离散样本密度 三、统计推断问题简述 总体和样本是数理统计中的两个基本概念.样本来自总体,自然带有总体的信息,从而 可以从这些信息出发去研究总体的某些特征(分布或分布中的参数).另一方面,由样本研 究总体可以省时省力(特别是针对破坏性的抽样试验而言).我们称通过总体X的一个样本 X1,Xx2,…,Xn对总体X的分布进行推断的问题为统计推断问题 总体、样本、样本值的关系 总体 人推断 (个体)样本 样本值
体的数据资料对总体的未知分布进行统计推断. 二、样本与样本分布 由于作为统计研究对象的总体分布一般来说是未知的,为推断总体分布及其各种特征,一 般方法是按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察,通过观察可得到关于总体 X 的一组数 值 ( , , , ) 1 2 n x x x ,其中每一 i x 是从总体中抽取的某一个体的数量指标 X i 的观察值.上述抽取 过程为抽样,所抽取的部分个体称为样本.样本中所含个体数目称为样本的容量.为对总体进 行合理的统计推断,我们还需在相同的条件下进行多次重复的、独立的抽样观察,故样本是一 个随机变量(或向量).容量为 n 的样本可视为 n 维随机向量 ( , , , ) X1 X2 Xn ,一旦具体取定一 组样本,便得到样本的一次具体的观察值 ( , , , ) 1 2 n x x x , 称其为样本值.全体样本值组成的集合称为样本空间. 为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息, 必须考虑抽样方法,最常用的一种抽样方 法称为简单随机抽样, 它要求抽取的样本满足下面两个条件: 1. 代表性: X X Xn , , , 1 2 与所考察的总体具有相同的分布; 2. 独立性: X X Xn , , , 1 2 是相互独立的随机变量. 由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本, 它可用与总体独立同分布的 n 个相互 独立的随机变量 X X Xn , , , 1 2 表示. 显然, 简单随机样本是一种非常理想化的样本, 在实际 应用中要获得严格意义下的简单随机样本并不容易. 对有限总体, 若采用有放回抽样就能得到简单随机样本,但有放回抽样使用起来不方便, 故实际操作中通常采用的是无放回抽样, 当所考察的总体很大时, 无放回抽样与有放回抽样 的区别很小, 此时可近似把无放回抽所得到的样本看成是一个简单随机样本. 对无限总体, 因抽取一个个体不影响它的分布, 故采用无放回抽样即可得到的一个简单随机样本. 注: 今后假定所考虑的样本均为简单随机样本, 简称为样本. 设总体 X 的分布函数为 F(x),则简单随机样本 ( , , , ) X1 X2 Xn 的联合分布函数为 = = n i n i F x x x F x 1 1 2 ( , ,, ) ( ) 并称其为样本分布. 特别地, 若总体 X 为连续型随机变量,其概率密度为 f (x) ,则样本的概率密度为 = = n i n i f x x x f x 1 1 2 ( , ,, ) ( ) 分别称 f (x) 与 ( , , , ) 1 2 n f x x x 为总体密度与样本密度. 若总体 X 为离散型随机变量,其概率分布为 ( ) { } i i p x = P X = x , x 取遍 X 所有可能取值, 则样本的概率分布为 ( , , , ) { , , , } ( ), 1 1 2 1 2 = = = = = = n i n n i p x x x p X x X x X x p x 分别称 ( )i p x 与 ( , , , ) 1 2 n p x x x 为离散总体密度与离散样本密度. 三、统计推断问题简述 总体和样本是数理统计中的两个基本概念. 样本来自总体，自然带有总体的信息，从而 可以从这些信息出发去研究总体的某些特征（分布或分布中的参数）. 另一方面，由样本研 究总体可以省时省力（特别是针对破坏性的抽样试验而言）. 我们称通过总体 X 的一个样本 X X Xn , , , 1 2 对总体 X 的分布进行推断的问题为统计推断问题. 总体、样本、样本值的关系: 总体 ↙ ↖推断 （个体）样本 → 样本值
抽样 在实际应用中,总体的分布一般是未知的,或虽然知道总体分布所属的类型,但其中包 含着未知参数.统计推断就是利用样本值对总体的分布类型、未知参数进行估计和推断 为对总体进行统计推断,还需借助样本构造一些合适的统计量,即样本的函数,下面将 对相关统计量进行深入的讨论 四、分组数据统计表和频数直方图 通过观察或试验得到的样本值,一般是杂乱无章的,需要进行整理才能从总体上呈现其 统计规律性分组数据统计表或频率直方图是两种常用整理方法 1.分组数据表:若样本值较多时,可将其分成若干组,分组的区间长度一般取成相等,称 区间的长度为组距.分组的组数应与样本容量相适应分组太少,则难以反映出分布的特征 若分组太多,则由于样本取值的随机性而使分布显得杂乱.因此,分组时,确定分组数(或 组距)应以突出分布的特征并冲淡样本的随机波动性为原则.区间所含的样本值个数陈为该 区间的组频数.组频数与总的样本容量之比称为组频率 2.频数直方图:频率直方图能直观地表示出频数的分布,其步骤如下: 设x1,x2,…,xn是样本的n个观察值 ()求出x1,x2,…x中的最小者xu)和最大者xm) (i)选取常数a(略小于xu)和b(略大于x(n),并将区间[ab]等分成m个小区间( 般取m使m在左右) [t1,+△ b 一般情况下,小区间不包括右端点 i)求出组频数n,组频率互=f,以及 (iV)在[t1,+△)上以h为高,△为宽作小矩形,其面积恰为f,所有小矩形合在一起 就构成了频率直方图 五、经验分布函数 样本的直方图可以形象地描述总体的概率分布的大致形态,而经验分布函数则可以用来 描述总体分布函数的大致形状 定义设总体X的一个容量为n的样本的样本值x1,x2,…,xn可按大小次序排列成 xU 着x≤x<xk,则不大于x的样本值的频率为k,因而函数 0,若 (x) 右 n 与事件{X≤x}在n次独立重复试验中的频率是相同的,我们称Fn(x)为经验分布函数。 对于经验分布函数Fn(x),格里汶科( Glivenko)在1933年证明了以下的结果:对于任 实数x,当n→∞时Fn(x)以概率1一致收敛于分布函数F(x),即 P(lim sup F,(x)-F(x)F0)=1 因此,对于任一实数x当n充分大时,经验分布函数的任一个观察值F(x)与总体分布函
抽样 在实际应用中, 总体的分布一般是未知的, 或虽然知道总体分布所属的类型, 但其中包 含着未知参数. 统计推断就是利用样本值对总体的分布类型、未知参数进行估计和推断. 为对总体进行统计推断, 还需借助样本构造一些合适的统计量, 即样本的函数, 下面将 对相关统计量进行深入的讨论. 四、分组数据统计表和频数直方图 通过观察或试验得到的样本值，一般是杂乱无章的，需要进行整理才能从总体上呈现其 统计规律性. 分组数据统计表或频率直方图是两种常用整理方法. 1. 分组数据表：若样本值较多时，可将其分成若干组，分组的区间长度一般取成相等, 称 区间的长度为组距. 分组的组数应与样本容量相适应. 分组太少，则难以反映出分布的特征， 若分组太多，则由于样本取值的随机性而使分布显得杂乱. 因此，分组时，确定分组数（或 组距）应以突出分布的特征并冲淡样本的随机波动性为原则. 区间所含的样本值个数陈为该 区间的组频数. 组频数与总的样本容量之比称为组频率. 2. 频数直方图：频率直方图能直观地表示出频数的分布，其步骤如下： 设 n x , x , , x 1 2 是样本的 n 个观察值. (i) 求出 n x , x , , x 1 2 中的最小者 (1) x 和最大者 (n) x ； (ii) 选取常数 a （略小于 (1) x ）和 b （略大于 (n) x ），并将区间 [a,b] 等分成 m 个小区间（一 般取 m 使 n m 在 10 1 左右）： m b a t t t i m t i i − [ , + ), =1,2,, , = , 一般情况下，小区间不包括右端点. (iii) 求出组频数 i n ，组频率 i i f n n = ，以及 ,(i 1,2, ,n) t f h i i = = (iv) 在 [t ,t t) i i + 上以 i h 为高， t 为宽作小矩形，其面积恰为 i f ，所有小矩形合在一起 就构成了频率直方图 五、经验分布函数 样本的直方图可以形象地描述总体的概率分布的大致形态，而经验分布函数则可以用来 描述总体分布函数的大致形状。 定义 设总体 X 的一个容量为 n 的样本的样本值 n x , x , , x 1 2 可按大小次序排列成 . (1) (2) (n) x x x , (k) (k+1) 若x x x 则不大于 x 的 样 本 值 的 频 率 为 . n k 因 而 函 数 = + 1, . , , 0, , ( ) ( ) ( ) ( 1) (1) n n k k x x x x x n k x x F x 若 若 若 与事件 {X x} 在 n 次独立重复试验中的频率是相同的，我们称 F (x) n 为经验分布函数。 对于经验分布函数 F (x) n , 格里汶科(Glivenko)在 1933 年证明了以下的结果: 对于任一 实数 x, 当 n → 时 F (x) n 以概率 1 一致收敛于分布函数 F(x), 即 {lim sup | ( ) − ( )|= 0} =1. → − P F x F x n x n 因此, 对于任一实数x当n充分大时, 经验分布函数的任一个观察值 F (x) n 与总体分布函
数F(x)只有微小的差别,从而在实际中可当作F(x)来使用.这就是由样本推断总体其可行 性的最基本的理论依据 六、统计量 为由样本推断总体要构造一些合适的统计量,再由这些统计量来推断未知总体.这里 样本的统计量即为样本的函数.广义地讲,统计量可以是样本的任一函数,但由于构造统计 量的目的是为推断未知总体的分布故在构造统计量时,就不应包含总体的未知参数,为此 引入下列定义 定义设(x1,X2…,xn)为总体X的一个样本,称此样本的任一不含总体分布未知参 数的函数为该样本的统计量 七、常用统计量 以下设x1,X2,…,Xn为总体X的一个样本 1.样本均值x=1Sx 17 2.样本方差S2= X) -1a 3.样本标准差S= n-17 4样本(k阶)原点矩41=∑x,k=12 5.样本(k阶)中心矩B k=2,3 注:上述五种统计量可统称为矩统计量简称为样本矩它们都是样本的显示函数,它们的 观察值仍分别称为样本均值、样本方差、样本标准差、样本k阶)原点矩、样本(k阶)中心矩 6.顺序统计量将样本中的各分量按由小到大的次序排列成 X 则称X(u,X(2)…,Xm为样本的一组顺序统计量,Xa称为样本的第i个顺序统计量.特别 地,称X与Xm分别为样本极小值与样本极大值,并称X(m)-Xa.为样本的极差 例题选讲 例1(E01)样本的一些例子与观察值的表示方法 (1)某食品厂用自动装罐杋生产净重为345克的午餐肉罐头,由于随机性,每个罐头的 净重都有差别.现在从生产线上随机抽取10个罐头,秤其净重,得如下结果 344336345342340338344343344343 这是一个容量为10的样本的观察值,它是来自该生产线罐头净重这一总体的一个样本的观 察值 (2)对363个零售商店调查周售额(单位:元)的结果如下 售额|=10000200 商店数|61 l10 这是一个容量为363的样本的观察值,对应的总体是所有零售店的周零售额不过这里没有 给出每一个样品的具体的观察值,而是给出了样本观察值所在的区间,称为分组样本的观察 值这样一来当然会损失一些信息,但是在样本量较大时,这种经过整理的数据更能使人们 对总体有一个大致的印象 例2(E02)如果称总体X服从正态总体,则称总体X为正态分布.正态总体是统计应用 中最常见的总体.现设总体X服从正态分布N(,a2),则其样本密度由下式给出
数 F(x) 只有微小的差别, 从而在实际中可当作 F(x) 来使用. 这就是由样本推断总体其可行 性的最基本的理论依据. 六、统计量 为由样本推断总体,要构造一些合适的统计量, 再由这些统计量来推断未知总体. 这里, 样本的统计量即为样本的函数. 广义地讲, 统计量可以是样本的任一函数, 但由于构造统计 量的目的是为推断未知总体的分布,故在构造统计量时, 就不应包含总体的未知参数, 为此 引入下列定义. 定义 设 ( , , , ) X1 X2 Xn 为总体 X 的一个样本, 称此样本的任一不含总体分布未知参 数的函数为该样本的统计量. 七、常用统计量 以下设 X X Xn , , , 1 2 为总体 X 的一个样本. 1. 样本均值 = = n i Xi n X 1 1 2. 样本方差 = − − = n i Xi X n S 1 2 2 ( ) 1 1 3. 样本标准差 = − − = n i Xi X n S 1 2 ( ) 1 1 4. 样本(k 阶)原点矩 , 1,2, 1 1 = = = X k n A n i k k i 5. 样本(k 阶)中心矩 ( ) , 2,3, 1 1 = − = = X X k n B n i k k i 注: 上述五种统计量可统称为矩统计量,简称为样本矩,它们都是样本的显示函数,它们的 观察值仍分别称为样本均值、样本方差、样本标准差、样本(k 阶)原点矩、样本(k 阶)中心矩. 6. 顺序统计量 将样本中的各分量按由小到大的次序排列成 , X(1) X(2) X(n) 则称 (1) (2) ( ) , , , X X X n 为样本的一组顺序统计量, X(i) 称为样本的第 i 个顺序统计量. 特别 地, 称 X(1) 与 X(n) 分别为样本极小值与样本极大值, 并称 X(n) − X(1) 为样本的极差. 例题选讲 例 1 (E01) 样本的一些例子与观察值的表示方法: (1) 某食品厂用自动装罐机生产净重为 345 克的午餐肉罐头, 由于随机性, 每个罐头的 净重都有差别. 现在从生产线上随机抽取 10 个罐头, 秤其净重, 得如下结果: 344 336 345 342 340 338 344 343 344 343 这是一个容量为 10 的样本的观察值, 它是来自该生产线罐头净重这一总体的一个样本的观 察值. (2) 对 363 个零售商店调查周售额(单位:元)的结果如下: 61 135 110 42 15 1000 (1000,5000] (5000,10000] (10000,20000] (20000,30000] 商店数 零售额 这是一个容量为 363 的样本的观察值, 对应的总体是所有零售店的周零售额. 不过这里没有 给出每一个样品的具体的观察值, 而是给出了样本观察值所在的区间, 称为分组样本的观察 值.这样一来当然会损失一些信息, 但是在样本量较大时, 这种经过整理的数据更能使人们 对总体有一个大致的印象. 例 2(E02) 如果称总体 X 服从正态总体, 则称总体 X 为正态分布. 正态总体是统计应用 中最常见的总体. 现设总体 X 服从正态分布 ( , ) 2 N , 则其样本密度由下式给出:
例3(E03)如果总体X服从以p(0<p<1)为参数的0-1分布,则称总体X为0-1总体 P{X=1}=p,P{X=0}=1-p 不难算出其样本X1,X2 的概率分布为 P{X1=1,X2=l2…,Xn=in}=p"(1-p) 其中i(1≤k≤1)取1或0,而sn=1+i2+…+in,它恰好等于样本中取值为1的分量之总数 服从0—1分布的总体具有广泛的应用背景.概率p通常可视为某实际总体(如工厂的某一批 产品)中具有一特征(如废品)的个体所占的比例,亦称为比率.从总体中随机抽取一个个体 可视为一个随机试验,试验结果可用一随机变量X来刻画:若恰好抽到具有该特征的个体 记X=1;否则,记X=0.这样,X便服从以p为参数的0-1分布通常参数p是未知的, 故需通过抽样对其作统计推断 例4设总体X服从参数为A的泊松分布,X1,x2…,Xn为其样本,则样本的概率分布 P{X1=i1,2=l2…Xn=n}=P(X=k} 其中i(1≤k≤n)取非负整数,而sn=i1+12+…+in 例5(E04)从某厂生产的某种零件中随机抽取120个,测得其质量(单位:g)如下表所示 列出分组表,并作频率直方图 200202203208216206222213209219 216203197208206209206208202203 206213218207208202194203213211 193213208208204206204206208209 13203206207196201208207213208 210208211211214220211203216221 211209218214219211208221211218 218190219211208199214207207214 206217214201212213211212216206 210216204221208209214214199204 211201216211209208209202211207 220205206216213206206207200198 解先从这120个样本值中找出最小值190,最大值222取a=1895,b=225,将区 间[189.5,2225等分成11个小区间,组距M=3 得到分组表及频率直方图
( ) . 2 1 exp 2 1 2 1 exp 2 1 ( , , , ) 1 2 2 1 2 1 2 − − = − = − = = n i i n n i i n x x f x x x 例 3(E03) 如果总体 X 服从以 p(0 p 1) 为参数的0—1分布, 则称总体 X 为0—1总体, 即 P{X =1} = p, P{X = 0} =1− p. 不难算出其样本 X X X n , , , 1 2 的概率分布为 n n s s P{X i , X i , , Xn in } p (1 p) 1 = 1 2 = 2 = = − 其中 i (1 k 1) k 取 1 或 0, 而 n n s = i + i ++ i 1 2 , 它恰好等于样本中取值为 1 的分量之总数. 服从 0—1 分布的总体具有广泛的应用背景. 概率 p 通常可视为某实际总体(如工厂的某一批 产品)中具有一特征(如废品)的个体所占的比例, 亦称为比率. 从总体中随机抽取一个个体, 可视为一个随机试验, 试验结果可用一随机变量 X 来刻画: 若恰好抽到具有该特征的个体, 记 X =1 ; 否则, 记 X = 0 . 这样, X 便服从以 p 为参数的 0—1 分布. 通常参数 p 是未知的, 故需通过抽样对其作统计推断. 例 4 设总体 X 服从参数为 的泊松分布, X X X n , , , 1 2 为其样本, 则样本的概率分布 为 , ! ! ! ! { , , , } { } 1 1 1 2 1 1 2 2 n n n s k k n i k n n k e i i i e i P X i X i X i P X i k n − = − = = = = = = = = 其中 i (1 k n) k 取非负整数, 而 n n s = i + i ++ i 1 2 . 例 5(E04) 从某厂生产的某种零件中随机抽取120个, 测得其质量(单位: g) 如下表所示. 列出分组表, 并作频率直方图. 220 205 206 216 213 206 206 207 200 198 211 201 216 211 209 208 209 202 211 207 210 216 204 221 208 209 214 214 199 204 206 217 214 201 212 213 211 212 216 206 218 190 219 211 208 199 214 207 207 214 211 209 218 214 219 211 208 221 211 218 210 208 211 211 214 220 211 203 216 221 213 203 206 207 196 201 208 207 213 208 193 213 208 208 204 206 204 206 208 209 206 213 218 207 208 202 194 203 213 211 216 203 197 208 206 209 206 208 202 203 200 202 203 208 216 206 222 213 209 219 解 先从这 120 个样本值中找出最小值 190, 最大值 222, 取 a =189.5, b = 222.5, 将区 间 [189.5, 222.5] 等分成 11 个小区间, 组距 t = 3. 得到分组表及频率直方图
区间组频数n,组频率高=f/AM 189.5~192.5 1/360 1925~19552 2/120 195.5~1985 3/120 3/360 1985~201.57 7/120 7/360 2015~204.514 14/12014/360 204~207.52020/12020/360 207.5~210.5 23/360 A 210.5~2135222212022360 213.5~216514 216.5~2195 8/120 8/360 219.5~222.5 6 6/120 6/360 合计 120 质量t 从直方图的形状,可以粗略地认为该种零件的质量服从正态分布,其数学期望在209附 例6(E05)随机观察总体X,得到一个容量为10的样本 32,2.5,-2,2.5,0,3,2, 求X经验分布函数 解把样本值按从小到大的顺序排列为-2<0<2=2<25=25=25<3<32<4 于是得经验分布函数为 0, l/10.-2≤x<0 2/10,0≤x<2 4/10.2≤x<2 7/10.2.5≤x<3 8/10.3≤x<3.2 9/10.3.2 4≤x 其中如2≤x<2.5时,因事件{X≤x包含的样本值个数k=4,故事件{X≤x}发生的频率为 4/10,从而F(x)=4/10 注:经验分布函数Fn(x)是一个阶梯形函数,当样本容量增大时,相邻两阶梯的跃度变 低,阶梯宽度变窄,容易想像,这样的阶梯形折线几乎就是一条曲线,如果设总体X的分布 函数为F(x),则Fn(x)非常接近于F(x) 例7(E06)某厂实行计件工资制,为及时了解情况随机抽取30名工人,调查各自在一 周内加工的零件数,然后按规定算出每名工人的周工资如下:(单位:元) 156134160141159141161157171155 169138168147153156125156 135156151155146155157198161151 这便是一个容量为30的样本观察值,其样本均值为
从直方图的形状, 可以粗略地认为该种零件的质量服从正态分布, 其数学期望在 209 附 近. 例 6 (E05) 随机观察总体 X ，得到一个容量为 10 的样本值： 3.2, 2.5, −2 , 2.5, 0, 3, 2, 2.5, 2, 4 求 X 经验分布函数. 解 把样本值按从小到大的顺序排列为 −2 0 2 = 2 2.5 = 2.5 = 2.5 3 3.2 4 于是得经验分布函数为 , 1, 4 9 /10, 3.2 4 8/10, 3 3.2 7 /10, 2.5 3 4 /10, 2 2.5 2 /10, 0 2 1/10, 2 0 0, 2 ( ) 10 − − = x x x x x x x x F x 其中如 2 x 2.5 时, 因事件 {X x} 包含的样本值个数 k = 4, 故事件 {X x} 发生的频率为 4/10, 从而 ( ) 4/10. F10 x = 注: 经验分布函数 F (x) n 是一个阶梯形函数, 当样本容量增大时, 相邻两阶梯的跃度变 低, 阶梯宽度变窄, 容易想像, 这样的阶梯形折线几乎就是一条曲线, 如果设总体 X 的分布 函数为 F(x), 则 F (x) n 非常接近于 F(x). 例 7(E06) 某厂实行计件工资制, 为及时了解情况, 随机抽取 30 名工人, 调查各自在一 周内加工的零件数, 然后按规定算出每名工人的周工资如下: (单位:元) 156 134 160 141 159 141 161 157 171 155 149 144 169 138 168 147 153 156 125 156 135 156 151 155 146 155 157 198 161 151 这便是一个容量为 30 的样本观察值, 其样本均值为: 质量 t t fi 120 1 219.5 ~ 222.5 6 6 /120 6 / 360 216.5 ~ 219.5 8 8/120 8/ 360 213.5 ~ 216.5 14 14 /120 14 / 360 210.5 ~ 213.5 22 22 /120 22 / 360 207.5 ~ 210.5 23 23/120 23/ 360 204.5 ~ 207.5 20 20 /120 20 / 360 201.5 ~ 204.5 14 14 /120 14 / 360 198.5 ~ 201.5 7 7 /120 7 / 360 195.5 ~ 198.5 3 3/120 3/ 360 192.5 ~ 195.5 2 2 /120 2 / 360 189.5 ~ 192.5 1 1/120 1/ 360 / 合计 区间 组频数n 组频率f 高h f t i i i = i
(156+134 l+15l)=153 它反映了该厂工人周工资的一般水平 进一步我们计算样本方差s2及样本标准差s,由于 x=1562+1342+…+1512=712155 ∑x2 所以样本方差为 (x2-30x2) ×52875=182.3278 样本标准差为s=√823278=1350 例8(E07)(分组样本均值与方差的近似计算)如果在例7中收集得到的样本观察值用分 组样本形式给出(见表A),此时样本均值可用下面方法近似计算:以x表示第i个组的组中 值(即区间的中点),n为第组的频率,=12,∑n=n,则 i=1 4600 ≈ 153.33 30 表A某厂30名工人周平均工资额 周工资额区间工人数n1组中值x1nx (120,1301 (130,140 (140,150 6 (150, 1552170 (160,170 165 (170,180] 175 175 0 185 (190.200 这与例7的结果差不多.再求样本方差的近似值,此时有 而样本标准差为s≈√1729985=13.15,其结果与例7的结果相差也不大 注:上述样本均值的表示式也可改写为x=∑"x,称为加权平均"称为 (i=12,…,k)的权 例9(E08)设我们获得了如下三个样本 样本A:3,4,56,7;样本B:1,3,5,7,9:样本C:1,5,9 如果将它们画在数轴上(如图),明显可见它们的“分散”程度是不同的:样本A在这三个样 本中比较密集,而样本C比较分散 这一直觉可以用样本方差来表示.这三个样本的均值都是5,即xA=xB=xc=5,而样 本容量n 3,易得 l 3-5)2+(4-5)2+(5-5)2+(6-5)2+(7-5)2]
(156 134 161 151) 153.5 30 1 x = + ++ + = , 它反映了该厂工人周工资的一般水平. 进一步我们计算样本方差 2 s 及样本标准差 s, 由于 156 134 151 712155, 2 2 2 30 1 2 = + + + = = i i x 所以样本方差为 5287.5 182.3278, 30 1 1 ( 30 ) 30 1 1 30 1 2 2 2 = − − = − = i= i s x x 样本标准差为 s = 182.3278 =13.50. 例 8 (E07) (分组样本均值与方差的近似计算) 如果在例 7 中收集得到的样本观察值用分 组样本形式给出(见表 A), 此时样本均值可用下面方法近似计算: 以 i x 表示第 i 个组的组中 值(即区间的中点), i n 为第 i 组的频率, i k n n k i = i = =1 1,2, , , , 则 153.33 30 1 4600 1 = = k i i i n x n x 表 A 某厂 30 名工人周平均工资额 30 4600 (190,200] 1 195 195 (180,190] 0 185 0 (170,180] 1 175 175 (160,170] 4 165 660 (150,160] 14 155 2170 (140,150] 6 145 870 (130,140] 3 135 405 (120,130] 1 125 125 合计 周工资额区间 工人数 i 组中值 i i i n x n x 这与例 7 的结果差不多. 再求样本方差的近似值, 此时有 172.9985, 30 4600 710350 30 1 1 1 1 2 1 2 2 2 − − = − − = k i i i n x nx n s 而样本标准差为 s 172.9985 =13.15, 其结果与例 7 的结果相差也不大. 注：上述样本均值的表示式也可改写为 , 1 = = k i i i x n n x 称为加权平均, n ni 称为 x (i 1,2, , k) i = 的权. 例 9 (E08) 设我们获得了如下三个样本: 样本 A: 3,4,5,6,7；样本 B: 1,3,5,7,9； 样本 C: 1,5,9 如果将它们画在数轴上(如图), 明显可见它们的“分散”程度是不同的: 样本 A 在这三个样 本中比较密集, 而样本 C 比较分散. 这一直觉可以用样本方差来表示. 这三个样本的均值都是 5, 即 = = = 5, A B C x x x 而样 本容量 = 5, = 5, = 3, nA nB nC 易得 [(3 5) (4 5) (5 5) (6 5) (7 5) ] 2.5, 5 1 2 1 2 2 2 2 2 − + − + − + − + − = − s A =
同理易得s2=10,s2=16 由此可见忌2>s2>s24,这与直觉是一致的 由于样本方差的量纲与样品的量纲不一致,故常用样本标准差表示分散程度易求出 sA1=1.58,sB=3,16,sc=4,同样有 Sc>SR>S 由于样本方差(或样本标准差)很好地反映了总体方差(或标准差)的信息,因此,当方差 a2未知时,常用S2去估计,而总体标准差a常用样本标准差S去估计 课堂练习 1.一组工人完成某一装配工序所需的时间(分)分别如下 45324239493745373642 35414546343043374449 38433438473529414041 (1)将上述数据整理成组距为3的频数表,第一组以27为起点; (2)绘制样本直方图; (3)写出经验分布函数
同理易得 10, 16. 2 2 sB = sC = 由此可见 2 2 2 C B A s s s , 这与直觉是一致的. 由于样本方差的量纲与样品的量纲不一致, 故常用样本标准差表示分散程度, 易求出 = 1.58, = 3.16, = 4, A B C s s s 同样有 . C B A s s s 由于样本方差(或样本标准差)很好地反映了总体方差(或标准差)的信息, 因此, 当方差 2 未知时, 常用 2 S 去估计, 而总体标准差 常用样本标准差 S 去估计. 课堂练习 1. 一组工人完成某一装配工序所需的时间(分)分别如下: 35 38 44 33 44 43 48 40 45 30 45 32 42 39 49 37 45 37 36 42 35 41 45 46 34 30 43 37 44 49 36 46 32 36 37 37 45 36 46 42 38 43 34 38 47 35 29 41 40 41 (1) 将上述数据整理成组距为 3 的频数表,第一组以 27 为起点; (2) 绘制样本直方图; (3) 写出经验分布函数