《线性代数》第五章、六章 相似矩阵与二次型 习题课

appy New Year Happy New Year Happy New Year Happy New Year Happy New Year Happy New Year Happy N 相似矩阵与二次型 习题课 Cappy New Year Happy New Year Happy New Year Happy New Year Happy New Year Happy New Year Happy N

相似矩阵与二次型 习题课

SUMMERY 定义 性质定理推论求法 相·特征值 10个1推论°特征值和特征 似 特征向量 反身性定理7-2推论向量的求法 ·特征多项式 对称性 10-2推 矩,迹 传递性 论 实对称矩阵对 阵·相似矩阵 +6种性质 角化的方法 ●对角化 (P109) 二次型 10个6-2推论·化二次型为标 标准型 反身性定理 准型 合同 对称性 正交变换法 次,惯性指数 传递性 配方法 型正(负)定矩阵 初等变化法 顺序主子式 半正〔负)定, 不定矩阵

SUMMERY 定义 性质 定理 推论 求法 相 似 矩 阵 •特征值 •特征向量 •特征多项式 •迹 •相似矩阵 •对角化 反身性 对称性 传递性 +6种性质 （P109） 10个 定理 1-推论 7-2推论 10-2推 论 •特征值和特征 向量的求法 •实对称矩阵对 角化的方法 二 次 型 •二次型 •标准型 •合同 •惯性指数 •正（负）定矩阵 •顺序主子式 •半正（负）定， 不定矩阵 反身性 对称性 传递性 10个 定理 6-2推论 •化二次型为标 准型 –正交变换法 –配方法 –初等变化法

需要掌握知识点及线索 相似矩阵 什么是?》所具性质?》如何求? 特征值 Ax=ax 5个定理 Step1-step2-step3 特征向量 X≠D f(A)=AE-A 特征方程 (E-A)x=0 特征多项式 Rx()8aR(=∑4 定义 迹 i=I P AP=B →A~B Th 对角化 相似矩阵 6 是否可对角化 A-M 对角化 Th7及推论 实对称阵对角化 实对称阵的性质 的求法

需要掌握知识点及线索 Ax= x x 0  λ f E A ( λ) = − λ •特征值 •特征向量 •相似矩阵 什么是？ 所具性质？ 如何求？ • 对角化 • 迹 •特征多项式 n ii i=1 Rr(A)= a  -1 P AP=B  A B A Λ 5个定理 n i i=1 Rr(A)= λ Step1-step2-step3 ( λE A x 0 − = ) 特征方程 定义 实对称阵对角化 的求法 是否可对角化 Th7及推论 实对称阵的性质 Th 6 对角化 相似矩阵

Th1设m阶方阵A=(an)的特征值为λ,A2,…,n, 则有:(①A1+2+…+n=a1+a2+…+am; (2)A112…1=A 推论:设A为阶方阵,则=0的充要条件是 数0是A的特征值。 Th2设禔矩阵A的一个特征值,对应的特 征向量为x,且f是一个关于的 多项式则∫(是的分个特征值, 对应的特征向量还是x

推论：设A为n阶方阵，则|A|=0的充要条件是 数0是A的特征值。 Th2 设 是矩阵A的一个特征值，对应的特 征向量为 ，且 是一个关于 的 多项式,则 是 的一个特征值， 对应的特征向量还是 . x f (x) x x f (A)  f () (1) ; 1 + 2 ++ n = a11 + a22 ++ ann (2) . 12n = A Th1 设 阶方阵 ( )的特征值为 , , , , n A aij 1 2   n = 则有:

Th3设1,2;”,λm是方阵A的m个特征值,D1,D2, Pm依次是与之对应的特征向量如果A1,12 各不相等则p1,P2,",Pm线性无关 Th4矩阵A的m个互不相同的特征值所对应的 m组各自线性无关的特征向量并在一起仍 是线性无关的。 Th5设n阶方阵A的一个重特征值,对应于 入的线性无关的特征向量的最大个数为 则k≥1

Th4 矩阵A的m个互不相同的特征值所对应的 m组各自线性无关的特征向量并在一起仍 是线性无关的。 Th5 设 是n阶方阵A的一个k重特征值，对应于 的线性无关的特征向量的最大个数为l, 则 k l  0 λ 0 λ Th3 , , , , . , . , , , , , , , , , 1 2 1 2 1 2 1 2 各不相等 则 线性无关 依次是与之对应的特征 向量 如果 设 是方阵 的 个特征值 m m m m p p p P A m p p          

需要掌握知识点及线索 相似矩阵 什么是?》所具性质?》如何求? 求矩阵特征值与特征向量的步骤: L计算A的特征多项式f(4)=E-4 2求特征方程EA=的全部根A,A2,…,A 就是A的全部特征值; 3对于特征值A,求齐次方程组(AEAx=0 的非零解,就是对应于A的特征向量

需要掌握知识点及线索 Ax= x x 0  λ f E A ( λ) = − λ •特征值 •特征向量 •相似矩阵 什么是？ 所具性质？ 如何求？ • 对角化 • 迹 •特征多项式 n ii i=1 Rr(A)= a  -1 P AP=B  A B A Λ ( λE A x 0 − = ) 相似矩阵 Step1-step2-step3 特征方程 定义 实对称阵对角化 的求法 n i i=1 Rr(A)= λ 5个定理 对角化 是否可对角化 Th7及推论 实对称阵的性质 Th 6 求矩阵特征值与特征向量的步骤： , . 3. , 的非零解 就是对应于 的特征向量 对于特征值 λi 求齐次方程组 ( λi E-A)x=0 λi ; 2. | 0 就是 的全部特征值 求特征方程 的全部根 A |λE - A = λ1 2 n ,λ ,...,λ 1. 计算A的特征多项式 f (λ ) =|λE - A|;

需要掌握知识点及线索 相似矩阵 什么是?》所具性质?》如何求? 特征值 Ax=ax 5个定理step1-step2step3 特征向量 X≠D f(A)=AE-A 特征方程 (E-A)x=0 特征多项式 Rr()=8anB()=∑4 定义 迹 i=I PAP=B相似矩阵有相同的特征多项式,相同的 相似矩阵 →A~B特征值(Th6) 是否可对角化 实对称矩阵一定可 对角化 A~∧Th7及推论 对角化,实对称阵 实对称阵的性质对角化的求法

需要掌握知识点及线索 Ax= x x 0  λ f E A ( λ) = − λ •特征值 •特征向量 •相似矩阵 什么是？ 所具性质？ 如何求？ • 对角化 • 迹 •特征多项式 n ii i=1 Rr(A)= a  -1 P AP=B  A B A Λ ( λE A x 0 − = ) 相似矩阵 Step1-step2-step3 是否可对角化 Th7及推论 实对称阵的性质 特征方程 定义 实对称矩阵一定可 对角化，实对称阵 对角化的求法 n i i=1 Rr(A)= λ 5个定理 相似矩阵有相同的特征多项式，相同的 特征值（Th6）

A有n个线性 A的每个r重特征值恰有 无 r个线性无关的特征向量 关的特征向量 推7 A可对角化 A的n个特征 值互不相等 存在正交矩阵Q, 推 QAQ=QAQ 10 存在正交矩阵,将其化 为对角矩阵,且对角矩 Th1 h1阵对角元素即为特征值 A存在n个正 A实对阵 交单位特征向10 Nh8 Th9 特征值为实数」 属于不同特征值 的特征向量正交

A可对角化 A有n个线性 无 关的特征向量 A的n个特征 值互不相等 A的每个r 重特征值恰有 r 个线性无关的特征向量 A实对阵 特征值为实数 Th9 属于不同特征值 的特征向量正交 Th8 A存在n个正 交单位特征向 量 存在正交矩阵，将其化 为对角矩阵，且对角矩 Th1 阵对角元素即为特征值． 推 10 推 10 Th7 推7 推7 存在正交矩阵Q， T -1 Q AQ Q AQ = Th1 0

需要掌握知识点及线索 相似矩阵 什么是?所具性质?》如何求? 利用正交矩阵将实对称阵化为对角阵的步骤: (1)求特征值; (2)求特征向量; 特 (3)将特征向量正交化(组内); (4)单位化(全部); (5)构造正交矩阵和对角矩阵. 相似矩阵 →A~B Th 6 是否可对角化 A-M 实对称阵对角化 对角化 Th7及推论 实对称阵的性质 的求法

需要掌握知识点及线索 Ax= x x 0  λ f E A ( λ) = − λ •特征值 •特征向量 •相似矩阵 什么是？ 所具性质？ 如何求？ • 对角化 • 迹 •特征多项式 n ii i=1 Rr(A)= a  -1 P AP=B  A B A Λ ( λE A x 0 − = ) 相似矩阵 Step1-step2-step3 是否可对角化 Th7及推论 实对称阵的性质 特征方程 定义 实对称阵对角化 的求法 n i i=1 Rr(A)= λ 5个定理 Th 6 利用正交矩阵将实对称阵化为对角阵的步骤： (1) 求特征值； (2) 求特征向量； (3) 将特征向量正交化(组内)； (4) 单位化(全部); (5) 构造正交矩阵和对角矩阵

例1填空:已知n阶方阵A的特征值是A,A,叭 (1)的特征值A142,, (2)的特征值a12a.a1 (3)的特征值42. (4)的特征值4-42-4 (5)扒2 (6)A可逆时,帕特征值A1’2”A (7)A可逆时,的特征值x究”x (8)A2-的特征值2+51-1 (9)(x)=axm+ax则.+的:x+anf(x) 特征值是”f(x1,(42)…f(x)

（1） 的特征值 。 （2） 的特征值 。 （3） 的特征值 。 （4） 的特征值 。 （5） = 。 （6）A可逆时， 的特征值 。 （7）A可逆时， 的特征值 。 （8） 的特征值 。 （9） 则 的 特征值是 。 aA|A|T A k A 2 A * A -1 A 2 A 5A-E + m m 1 0 1 m 1 m f(x)=a x a x ... a x+a − + + + − f(x) 1 2 n f f f( ) ( ), ( )...,    λ1 2 n ,λ ,...,λ 1 2 n a ,a ,...a    2 2 2 1 2 n    , ,... k k k 1 2 n    , ,... 1 2 n   ... 1 2 n 1 1 1 ...    ， ，， 1 2 n |A| |A| |A| ...    ， ，， 2 i i   + − 5 1 例1 填空：已知n阶方阵A的特征值是 λ1 2 n ,λ ,..., 则： λ