特征函数 第四章 特征函数与极限理论 电子科技大学
特征函数 电子科技大学 第四章 特征函数与极限理论
特征函数 541一雏特征函数的定义及性质 542多维特征函数 543-1随机变量的收敛性 544大数定律 545中心极限定理 电子科技大学
特征函数 电子科技大学 §4.1 一维特征函数的定义及性质 §4.2 多维特征函数 §4.4 大数定律 §4.5 中心极限定理 §4.3 -1 随机变量的收敛性
特征函数 54.1一维特征函数的定义及性质 特征函数的定义及例 设X,Y是实随机变量复随机变量 Z=X+jY, 的数学期望定义为 E(Z=E(X)+je(), j=V-1 特别 电子科技大学
特征函数 电子科技大学 §4.1 一维特征函数的定义及性质 一 、特征函数的定义及例 设X, Y是实随机变量,复随机变量 Z=X + jY, 的数学期望定义为 E(Z) = E(X)+ j E(Y), j = −1 特别
特征函数 e(es)=e(costs)+ jE(sint5) ξ是实随 机变量 lo costed(x)+if+sintxdF(x) e dF(x) 求随机变量 函数的 数学期望 注1)t∈R, costr和 sinter均为有界函数,故 E(e)总存在 2)E(c是实变量t的函数 电子科技大学
特征函数 电子科技大学 + − + − = costxdF(x)+ j sintxdF(x) + − = e dF(x) itx 注 1） t R, costx 和 sintx 均为有界函数, 故 ( ) jt E e 总存在. 2) ( 是实变量 ) t 的函数. jt E e ( ) (cos ) (sin ) E e E t jE t j t = + ξ是实随 机变量 求随机变量 ξ的函数的 数学期望
特征函数 定义411设是定义在(9,%P)的随机变 量称 ()=E(e")=edF(x),t∈R 为ξ特征函数 关于分布函 当ξ是连续型随机变量 数的富里埃-司 十 o(t)= eif(x)dx 蒂阶变换 当ξ是离散型随机变量 ∑ekp k 电子科技大学
特征函数 电子科技大学 定义4.1.1 设ξ是定义在(Ω,F, P )上的随机变 量,称 t E e e dF x t R j t jtx = = + − ( ) ( ) ( ), 为ξ的特征函数. 关于ξ的分布函 数的富里埃-司 蒂阶变换 当ξ是连续型随机变量 + − φ(t) = e f (x)dx; jtx φ( ) = . k k jtx t e p k 当ξ是离散型随机变量
特征函数 Ex1单点分布P{=c}=1, qp(t)=E(e)=e",t∈R Ex2两点分布 ()=e(1-p)+e"p Jt pt pe =tpe e",t∈R Ex3二项分布()=(q+pe")",t∈R Ex4泊松分布Q()=e-,t∈R 电子科技大学
特征函数 电子科技大学 Ex.1 单点分布 P{ = c} = 1, φ(t) = E(e ) = e , t R. jtc jtc Ex.2 两点分布 t e p e p j t 0 j t 1 φ( ) (1 ) = − + 1 p pe q pe , t R. j t j t = − + = + Ex.3 二项分布 t q pe t R j t n φ( ) = ( + ) , Ex.4 泊松分布 t e t R jt e = − φ( ) , ( 1)
特征函数 EX5指数分布 0: f(x)= (>0) 0 x<0 (p(t= hethe ar dx + ne costed+jn o e ir sintex + Jt t∈R 22+t 22+ 电子科技大学 K心
特征函数 电子科技大学 + − = 0 φ(t) e e dx jtx x + + − − = + 0 0 e costxdx j e sintxdx x x t R jt t t j t = − + + + = − 1 , 1 2 2 2 2 (λ 0) 0, 0. , 0; ( ) = − x e x f x x Ex.5 指数分布
特征函数 Ex6均匀分布U-a,a, sin at op(t) ,t∈R Ex7正态分布N(a,02 ,t∈R 特别正态分布N(0,1),则 g()=e2,t∈R 电子科技大学
特征函数 电子科技大学 Ex.6 均匀分布 U[−a, a], t R at at t = , sin φ( ) Ex.7 正态分布N(a,σ2 ) t t R j at t e − = , 2 2 2 1 φ( ) 特别正态分布N(0,1)，则 t t R t e − = , 2 2 1 φ( )
特征函数 - 证明∫(x)=(2n06(n2 2 2 r∈R 2 p(t) 2元o 2 r-l + L jt(a+ou 2 du 2元 1 jat-ouu p+ iao)2 Jat e 2 du e t∈R 2丌 电子科技大学
特征函数 电子科技大学 t e e dx x a j t x 2 2 ( ) 2 2 1 ( ) − − + − = x a u − = e e du u jt a u 2 ( ) 2 2 1 + − − + e e du u ja ja t + − − − − = 2 ( ) 2 1 2 2 2 2 1 证明 f x e x R x a = − − , 2 1 ( ) 2 2 ( ) 2 t R jat t e − = , 2 2 1 2
特征函数 二、特征函数性质 性质4.11随机变量的特征函数满足: 1)()≤q(0)=1; 2)g(t)=φ(-t) 证1)间)2=E(ost5)+j( (sints)2 LE(costs)+E(sints)I 司蒂阶积 分性质或 SE(costs+E(sint5) 矩的性质=E|(cost)2+(sint2)]=1=(0) 电子科技大学 K心
特征函数 电子科技大学 二、特征函数性质 性质4.1.1 随机变量ξ的特征函数满足： 1) φ(t) φ(0) = 1; 2) φ(t) =φ(−t). 2 2 证 1) φ(t) = E(cost ) + jE(sint ) 2 2 = [E(cost )] +[E(sint )] [ (cos ) ] [ (sin ) ] 2 2 E t + E t [(cos ) (sin ) ] 1 (0) 2 2 = E t + t = = 司蒂阶积 分性质或 矩的性质