概率论与数理统 第五章 多随机变量的数字特征与
1 概率论与数理统 计 第五章 随机变量的数字特征与 极限定理
第五章随机变量的数字特征与极限定理 令在前面关于随机变量及其分布的讨论中,我们较仔 细地讨论了随机变量的概率分布,我们看到随机变 量的概率分布(分布函数或分布列和概率密度)是随 机变量的概率性质最完整的刻划,是能够完整地描 述随机变量的统计规律的 但是在许多实际问题中,求概率分布不是一件容易 的事;另一方面,有时不需要知道随机变量的概率 分布,而只需要知道它的某一方面的性质
2 第五章 随机变量的数字特征与极限定理 ❖ 在前面关于随机变量及其分布的讨论中，我们较仔 细地讨论了随机变量的概率分布，我们看到随机变 量的概率分布(分布函数或分布列和概率密度)是随 机变量的概率性质最完整的刻划，是能够完整地描 述随机变量的统计规律的. ❖ 但是在许多实际问题中，求概率分布不是一件容易 的事；另一方面，有时不需要知道随机变量的概率 分布，而只需要知道它的某一方面的性质
令例如,考察某种大批生产的元件的寿命,如果知道 了它的概率分布,就可以知道寿命在任一指定的界 狠内的元件的百分率有多少,这对该种元件的寿命 状况提供了一幅完整的图景. 下面我们将看到,根据这一分布我们可以算出元件 的平均寿命值m,这个数m虽然不能对元件的寿命 状况提供一个完整的刻划,但却在一个重要方面, 且往往是人们最为关心的一个方面,刻划了元件寿 命的状况,因而在应用上有极重要的意义 类似的情况很多,比如我们在了解某一个行业的经 济状况时,我们首先关心的恐怕会是其平均收入, 这给了我们一个总的印象;至于收入的分布状况, 除非为了特殊的研究目的,倒反而不一定是最重要 的了
3 ❖ 例如，考察某种大批生产的元件的寿命，如果知道 了它的概率分布，就可以知道寿命在任一指定的界 限内的元件的百分率有多少，这对该种元件的寿命 状况提供了一幅完整的图景. ❖ 下面我们将看到，根据这一分布我们可以算出元件 的平均寿命值m，这个数m虽然不能对元件的寿命 状况提供一个完整的刻划，但却在一个重要方面， 且往往是人们最为关心的一个方面，刻划了元件寿 命的状况，因而在应用上有极重要的意义. ❖ 类似的情况很多，比如我们在了解某一个行业的经 济状况时，我们首先关心的恐怕会是其平均收入， 这给了我们一个总的印象；至于收入的分布状况， 除非为了特殊的研究目的，倒反而不一定是最重要 的了
另段的字料诗年,是衡量个随机变量(或其 令例如,两个行业工人的平均收入大体相近,但一个 行业中工人收入的分配较平均,即大多数工人的收 入都在平均值上下不远处,其“散布”小;另一个 行业则相反,其收入远离平均值者很多,“散布” 较大,这二者的实际意义当然很不同 又如生产同一种产品的两个工厂,各自的产品平均 说来都能达到规格要求,但一个工厂的波动小,较 为稳定,另一个工厂则波动大,有时质量超标准, 有时则低于标准不少,这二者的实际后果当然也不
4 ❖ 另一类重要的数字特征，是衡量一个随机变量(或其 分布)取值的散布程度. ❖ 例如，两个行业工人的平均收入大体相近，但一个 行业中工人收入的分配较平均，即大多数工人的收 入都在平均值上下不远处，其“散布”小；另一个 行业则相反，其收入远离平均值者很多，“散布” 较大，这二者的实际意义当然很不同. ❖ 又如生产同一种产品的两个工厂，各自的产品平均 说来都能达到规格要求，但一个工厂的波动小，较 为稳定，另一个工厂则波动大，有时质量超标准， 有时则低于标准不少，这二者的实际后果当然也不 同
令上面提到的平均值和散布程度,是刻划随机变量性 质的两类最重要的数字特征 令对于多维随机变量而言,则还有一类刻划各分量之 间的关系的数字特征 令在本章中,我们将要介绍的数字特征有:数学期望 方差、协方差、相关系数和矩
5 ❖ 上面提到的平均值和散布程度，是刻划随机变量性 质的两类最重要的数字特征. ❖ 对于多维随机变量而言，则还有一类刻划各分量之 间的关系的数字特征. ❖ 在本章中，我们将要介绍的数字特征有：数学期望、 方差、协方差、相关系数和矩
引例考试的平均成绩问题 令假设有n名同学参加了某种考试,考试后的成绩是: 第一个同学得了a1分,第二个同学得了a2分,…, 第n个同学得了an分,那么他们这种考试的平均成绩 a1+a,+∴+a
6 ❖ 引例 考试的平均成绩问题 ❖ 假设有n名同学参加了某种考试，考试后的成绩是： 第一个同学得了a1分，第二个同学得了a2分，…， 第n个同学得了an分，那么他们这种考试的平均成绩 1 2 1 1 n n i i a a a x n a n = + + + = =
引例考试的平均成绩问题 令假设有n名同学参加了某种考试,考试后的成绩是: 第一个同学得了a1分,第二个同学得了a2分,…, 第n个同学得了an分 冷将他们的成绩进行了汇总,发觉得x1分的人有m1个, 得x2分的人有n2个,…,得x分的人有m个,其中 n1+n2+.+nk=n,那么他们这种考试的平均成绩 x1×n1+x2×n2+…+xk×nk ∑xx
7 ❖ 引例 考试的平均成绩问题 ❖ 假设有n名同学参加了某种考试，考试后的成绩是： 第一个同学得了a1分，第二个同学得了a2分，…， 第n个同学得了an分. ❖ 将他们的成绩进行了汇总，发觉得x1分的人有n1个， 得x2分的人有n2个，…，得xk分的人有nk个，其中 n1+n2+…+nk=n，那么他们这种考试的平均成绩 1 1 2 2 1 1 1 1 n k k i i k i i i x n x n x n x a n n x n n = = + + + = = =
∑a1=∑xxm ∑xx
8 1 1 1 1 1 n k i i i i i k i i i x a x n n n n x n = = = = = =
第五章随机变量的数字特征与极限定理 今5.1随机变量的数学期望 5.1.1离散型随机变量的数学期望
9 第五章 随机变量的数字特征与极限定理 ❖ 5.1 随机变量的数学期望 ❖ 5.1.1 离散型随机变量的数学期望
定义5.1设离散型随机变量X的分布列为 P(X=xx)=Pk, k=1, 2 若级数 ∑ k pk 绝对收敛,即 ∑xk|Pk <+ k=1 则称该级数为离散型随机变量X的数学期望或均值, 记为EX或E(X),即 EX=∑xP k=1 10
10 ❖ 定义5.1 设离散型随机变量X的分布列为 P(X=xk)=pk，k=1,2,… 若级数 k =1 k k x p ❖ 绝对收敛，即 + =1 | | k k pk x ❖ 则称该级数为离散型随机变量X的数学期望或均值， 记为EX或E(X)，即 = = k 1 k pk EX x