概率论与数理统 第三章 随机变量及其分布
1 概率论与数理统 计 第三章 随机变量及其分布
第三章随机变量及其分布 3.1随机变量的概念 令前面我们研究了随机事件及其概率,本章我们将在 这个基础上进一步研究随机变量及其分布. 令现在先研究随机变量的概念,它是概率论中最基本 的概念之 令在随机试验中,人们观察的对象常常是一个随机取 值的量
2 第三章 随机变量及其分布 ❖ 3.1 随机变量的概念 ❖ 前面我们研究了随机事件及其概率，本章我们将在 这个基础上进一步研究随机变量及其分布. ❖ 现在先研究随机变量的概念，它是概率论中最基本 的概念之一. ❖ 在随机试验中，人们观察的对象常常是一个随机取 值的量
令在随机试验中,人们观察的对象常常是一个随机取 值的量 例如,考察某电话交换台在一段时间内接到的呼叫 次数,这个量可能取的值为0,1,2, 令测试灯泡的寿命,这个量可能在[0,+∞)中取值 令再如,在n次打靶试验中,要观察击中目标的次数, 这个量可能取的值为0,1,2,…,n:; 在测量某物体长度的试验中,要观察测量长度与标 准长度的偏差,这个量可能在(-∞,+∞)中取值
3 ❖ 在随机试验中，人们观察的对象常常是一个随机取 值的量. ❖ 例如，考察某电话交换台在一段时间内接到的呼叫 次数，这个量可能取的值为0,1,2,…； ❖ 测试灯泡的寿命，这个量可能在[0,+∞)中取值. ❖ 再如，在n次打靶试验中，要观察击中目标的次数， 这个量可能取的值为0,1,2,…,n； ❖ 在测量某物体长度的试验中，要观察测量长度与标 准长度的偏差，这个量可能在(−∞ ,+∞)中取值
令当然也有一些试验观察的对象本身不是数量 例如掷一枚匀质的硬币,观察正反面出现的情况这 个随机试验,它的样本空间S是正与反的不同组合 令初看起来这个现象与数值无关,但是我们可以用下 面的方法使它与数值联系起来 当出现正面时用“1”表示,而出现反面时用“02表 重·般地,在伯努利试验中,用“1”表示成功,用 “0表示失败 令于是,对试验结果不是数值的情况,我们可用一定 的方法将它们数量化,也用数量来描述
4 ❖ 当然也有一些试验观察的对象本身不是数量. ❖ 例如掷一枚匀质的硬币，观察正反面出现的情况这 个随机试验，它的样本空间S是正与反的不同组合. ❖ 初看起来这个现象与数值无关，但是我们可以用下 面的方法使它与数值联系起来： ❖ 更一般地，在伯努利试验中，用“1”表示成功，用 “0”表示失败. ❖ 于是，对试验结果不是数值的情况，我们可用一定 的方法将它们数量化，也用数量来描述. ❖ 当出现正面时用“1”表示，而出现反面时用“0”表 示
令在上述的各例中,如果把试验中所观察的对象用数 量X来表示,那么X就具有这样的特点: 随着试验的重复X可以取不同的数值,并且在每次 试验中究竟取什么值在试验之前无法确切预言,是 带随机性的数量,由此,自然地称X为随机变量 令由于X是随着试验结果(基本事件e)而变化的,因此, X是基本事件e的函数,即X=X(e) 令例如,在1.1节例1将一枚均匀对称硬币投掷一次观 察正反面出现情况这个随机试验中,样本空间 S={正,反} 令若用X表示试验结果,并按上述的方法数量化,那 么X就是基本事件的函数:
5 ❖ 在上述的各例中，如果把试验中所观察的对象用数 量X来表示，那么X就具有这样的特点： ❖ 随着试验的重复X可以取不同的数值，并且在每次 试验中究竟取什么值在试验之前无法确切预言，是 带随机性的数量，由此，自然地称X为随机变量. ❖ 由于X是随着试验结果(基本事件e)而变化的，因此， X是基本事件e的函数，即X=X(e). ❖ 例如，在1.1节例1将一枚均匀对称硬币投掷一次观 察正反面出现情况这个随机试验中，样本空间 S={正，反}. ❖ 若用X表示试验结果，并按上述的方法数量化，那 么X就是基本事件的函数：
当正面出现, X=Xe= 0,当反面出现 令在1.1节例3记录某电话交换台在一段时间内接到的 呼叫次数这个随机试验中,样本空间 S={0,1,2,…} 令若用X表示呼叫次数,那么 X=X(e)=e(e∈S 也是基本事件的函数
6 = = 0, . 1, , ( ) 当反面出现 当正面出现 X X e ❖ 在1.1节例3记录某电话交换台在一段时间内接到的 呼叫次数这个随机试验中，样本空间 S={0,1,2,…}. ❖ 若用X表示呼叫次数，那么 X=X(e)=e(e∈S) 也是基本事件的函数
令由上所述,可以得到如下的随机变量的定义 定义3.1设E是随机试验,它的样本空间是S,如果 对S中的每个基本事件e,都有唯一的实数值X(e)与 之对应,则称X(e)为随机变量,简记为X 令引入随机变量以后,随机事件就可以用随机变量来 描述了 令例如,设X表示电话交换台在一段时间内接到的呼 叫次数,则 令“0≤X≤3表示“呼叫次数不超过三次”的事件; “X>5”表示“呼叫次数大于5”的事件
7 ❖ 由上所述，可以得到如下的随机变量的定义. ❖ 定义3.1 设E是随机试验，它的样本空间是S，如果 对S中的每个基本事件e，都有唯一的实数值X(e)与 之对应，则称X(e)为随机变量，简记为X. ❖ 引入随机变量以后，随机事件就可以用随机变量来 描述了. ❖ 例如，设X表示电话交换台在一段时间内接到的呼 叫次数，则 ❖ “0≤X≤3”表示“呼叫次数不超过三次”的事件； ❖ “X>5”表示“呼叫次数大于5”的事件
当正面出现, X=Xe= 0,当反面出现 则 “X=1表示事件“正面”, “X=03表示事件“反面
8 ❖ 若 = = 0, . 1, , ( ) 当反面出现 当正面出现 X X e ❖ 则 “X=1”表示事件“正面” ， ❖ 而 “X=0”表示事件“反面
不如此,对任意事件4,可以在样本空间S上定义 1,当e∈A 0,当egA, 称I4(e)为A的示性函数 令显然,I是一个随机变量,当“I=1就表示事件A 令于是,对事件的研究就可以转化为对随机变量的研 究了 令由此可见,随机变量的概念的引入是很重要的 令以后我们还会看到,由于引入了随机变量,数学分 析的方法就可用来研究随机现象了
9 ❖ 不仅如此，对任意事件A，可以在样本空间S上定义 函数 = 0, , 1, , ( ) e A e A I e A 当 当 ❖ 称IA(e)为A的示性函数. ❖ 显然，IA是一个随机变量，当“IA=1”就表示事件A. ❖ 于是，对事件的研究就可以转化为对随机变量的研 究了. ❖ 由此可见，随机变量的概念的引入是很重要的. ❖ 以后我们还会看到，由于引入了随机变量，数学分 析的方法就可用来研究随机现象了
令在上面遇到的随机变量中,有的随机变量所能取的 值是有限个(如在n次打靶试验中,中靶的次数), 有的随机变量所能取的值是可列无穷多个(如电话交 换台在一段时间内接到的呼叫次数),这两种随机变 量统称为离散型随机变量. 令象灯泡的寿命和物体长度这样的随机变量,它们所 取的的值连续地充满一个区间,以后将它们称为连 续型随机变量,它是非离散型随机变量中的最重要 的类型 令下面先讨论离散型随机变量. 10
10 ❖ 在上面遇到的随机变量中，有的随机变量所能取的 值是有限个(如在n次打靶试验中，中靶的次数)， 有的随机变量所能取的值是可列无穷多个(如电话交 换台在一段时间内接到的呼叫次数)，这两种随机变 量统称为离散型随机变量. ❖ 象灯泡的寿命和物体长度这样的随机变量，它们所 取的的值连续地充满一个区间，以后将它们称为连 续型随机变量，它是非离散型随机变量中的最重要 的类型. ❖ 下面先讨论离散型随机变量