《线性代数》第三章 矩阵 习题课

第三章矩阵 习题课

第三章 矩阵 习题课

矩阵的概念和基本运算 >矩阵的定义 由m×n个数a;(i=1,2,…,mj=1,2,…,n)排成的m 行n列的数表 1 A 称为m行n列矩阵,简称m×m矩阵。记做A或者Am 果行数m与列数n相等,则称为n阶方阵

一 矩阵的概念和基本运算 ➢ 矩阵的定义 由m×n个数 排成的m 行n列的数表 称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵。记做 或者 aij( 1,2, , ; 1,2, , ) i m j n = = 11 1 1 n m mn a a a a           A= A m n A 如果行数m与列数n相等，则称为n阶方阵

訾矩阵的分类 >单位矩阵E或En 无法显示该图片 >对角矩阵A也记作deg{4,… >零矩阵O或Onmn >列矩阵&行矩阵,常用a,B,x表示 同型矩阵&矩阵相等

矩阵的分类 ➢ 单位矩阵 ➢ 对角矩阵 ➢ 零矩阵 ➢ 列矩阵＆行矩阵，常用 ➢ 同型矩阵＆矩阵相等 E E 或 n , diag 也记作    1 2 n ， ，  O O 或 m n    ， ， 表示

訾矩阵的线性运算 Atb=b+a A+(B+C)=(A+B)+C A+0=4 注意:A,B A+(-A)=O 矩阵必须是 (KD)A=k(la) 同型矩阵 (k+D)A=kA+lA k(A+B)=kA+kB

矩阵的线性运算 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B B A A B C A B C A O A A A O kl A k lA k l A kA lA k A B kA kB + = + + + = + + + = + − = = + = + +=+ 注意：A,B 矩阵必须是 同型矩阵

c的第行第j列元素为A的第i行 各元素与B的第列各元素对应相 矩阵的乘法 乘再相加。 >矩阵的乘法定义: 设4=(1mx,B=(b)m则AB=C=()m 称为矩阵/与硝乘积,其中 anb1+a12b21+…+anb(=1,2,…m=1,2,m) 两个矩阵相乘的条件 有当A的列数和B的行数相等的时候

矩阵的乘法 ➢ 矩阵的乘法定义： 设 则 称为矩阵 ➢ 两个矩阵相乘的条件 ( ) , ( ) A a B b = = ij m s ij s n   只有当A的列数和B的行数相等的时候 ( ) AB C c = = ij m n A B 与 的乘积，其中 1 1 2 2 ( 1,2, ; 1,2, ) ij i j i j is sj c a b a b a b i m j n = + + + = = C的第i行第j列元素为A的第i行 各元素与B的第j列各元素对应相 乘再相加

矩阵乘法满足下列运算规律 (AB)C=A(BC) k(AB)=(k4)B=A(kB,其中k为常数 A(B+C)=AB+AC 1.矩阵乘法一般不满足交换律,即在一般情况下AB≠BA 2.两个非零矩阵之积可能是零矩阵 3矩阵乘法不满足消去律,即若A≠0,AB=AC不能推出A=

➢ 矩阵乘法满足下列运算规律 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) AB C A BC k AB kA B A kB k A B C AB AC = = = + = + 其中 为常数 1.矩阵乘法一般不满足交换律，即在一般情况下 AB BA  。 2.两个非零矩阵之积可能是零矩阵。 3.矩阵乘法不满足消去律，即若 A  0, AB AC = 不能推出 A B =

>矩阵的幂:设4为n阶方阵,k为正整数, 的k次幂A为k个A连乘,即 AA4…(k个) >矩阵的幂满足以下运算规律 注意:由于矩阵 乘法不满足交换 律,所以 A k+ (AB)≠AB 其中A为方阵,k,为正整数

➢ 矩阵的幂：设 为n阶方阵，k为正整数，定义 的k次幂 为k个 连乘，即 ➢ 矩阵的幂满足以下运算规律 A A k A A ( k A AA A k = 个） ( ) , k l k l k l kl A A A A A A k l + = = 其中 为方阵， 为正整数 注意：由于矩阵 乘法不满足交换 律，所以 ( )k k k AB A B 

题型 矩阵的实际应用 例一某纺织品公司所属三家服装厂为其生产村衣 长裤和外套,设一卷布在甲厂可生产20件衬衣, 10条长裤和5件外套,而乙厂与丙厂生产量分别 是4,18,7和2,5,16,问 该公司这三种服装的情况用一卷和可以生产2件 解 2042)树衣,5条长裤16件外套 05 18 716 卷布中甲长生产的产品中有 0条长裤,乙厂生产的产品中 18条长裤,丙厂有5条

20 4 2 10 18 5 5 7 16 A     =       题型一 ——矩阵的实际应用 例一 某纺织品公司所属三家服装厂为其生产衬衣， 长裤和外套，设一卷布在甲厂可生产20件衬衣， 10条长裤和5件外套，而乙厂与丙厂生产量分别 是4，18，7和2，5，16，问： ➢ 该公司这三种服装的情况如何用矩阵表示？ 丙厂用一卷布可以生产2件 衬衣，5条长裤16件外套 一卷布中甲长生产的产品中有 10条长裤，乙厂生产的产品中 有18条长裤，丙厂有5条长裤。 解：

>甲厂用8卷布,乙厂用10卷布,丙厂用5卷布 生产时,该公司共有多少衬衣,长裤和外套? 解:(2042/8 20×8+4×10+2×5 1018510=10×+18×10+5×5 5716八(5)(5×8+7×10+16×5 210 285 190

➢ 甲厂用8卷布，乙厂用10卷布，丙厂用5卷布 生产时，该公司共有多少衬衣，长裤和外套? 20 4 2 8 10 18 5 10 5 7 16 5                20 8 4 10 2 5 10 18 10 5 5 5 8 7 10 16 5    +  +    =  +  +         +  +  210 285 190     =       解：

若公司需要500件衬衣,850条长裤和1000 件外套,这三个服装的原料应该怎样分配? 设表示第个工厂所用卷布的数量,用矩阵表 示为: 20x1+4x2+2x2=500 10x,+18x+5x,=850 5x,+7x+16x,=1000 2042 500 10185 850 5716八x3)(1000 x=15,x2=25,x3=50

➢ 若公司需要500件衬衣，850条长裤和1000 件外套，这三个服装的原料应该怎样分配？ 设 表示第i个工厂所用卷布的数量，用矩阵表 示为： i x 1 2 3 20 4 2 500 10 18 5 850 5 7 16 1000 x x x             =                   即 1 2 3 1 2 3 1 2 3 20 4 2 500 10 18 5 850 5 7 16 1000 x x x x x x x x x  + + =   + + =   + + = 1 2 3 x x x = = = 15, 25, 50