概率论与数理统 第四章 多多维随机变量及其分布
1 概率论与数理统 计 第四章 多维随机变量及其分布
第四章多维随机变量及其分布 41多维随机变量及其分布函数、边缘分布函数 令在前一章中,我们所讨论的随机现象只涉及到一个 随机变量,但在很多随机现象中,往往要涉及到多 个随机变量 例如,向一个目标进行射击,如果只考虑弹着点与 靶心的距离,那么用一个随机变量来描述就可以了 如果要考虑弹着点的位置,那么就需要两个随机变 量(弹着点的横坐标X与纵坐标Y来描述
2 第四章 多维随机变量及其分布 ❖ 4.1 多维随机变量及其分布函数、边缘分布函数 ❖ 在前一章中，我们所讨论的随机现象只涉及到一个 随机变量，但在很多随机现象中，往往要涉及到多 个随机变量. ❖ 例如，向一个目标进行射击，如果只考虑弹着点与 靶心的距离，那么用一个随机变量来描述就可以了； 如果要考虑弹着点的位置，那么就需要两个随机变 量(弹着点的横坐标X与纵坐标Y)来描述
(X,Y)
3 O y x (X,Y) x y
令若要研究天气的变化,情况就更复杂了,这要涉及 到更多的随机变量,如温度、气压、风向、风力、 湿度等等 般来说,这些随机变量之间存在着某种联系,因 而需要把它们作为一个整体(即向量)来研究 定义4.1若X(e),X2(e),,Xn(e)是定义在同一个 样本空间S上的n个随机变量,e∈S,则由它们构成 的一个n维向量(X1(e),X2(e),…,Xn(e)称为n维随 机向量,或n维随机变量,简记为(X,X2,…,Xn 令显然一维随机变量,即为前一章讨论的随机变量. 令下面着重讨论二维随机变量的情况,对于多个随机 变量的情况,不难类推
4 ❖ 若要研究天气的变化，情况就更复杂了，这要涉及 到更多的随机变量，如温度、气压、风向、风力、 湿度等等. ❖ 一般来说，这些随机变量之间存在着某种联系，因 而需要把它们作为一个整体(即向量)来研究. ❖ 定义4.1 若X1(e),X2(e),…,Xn(e)是定义在同一个 样本空间S上的n个随机变量，e∈S，则由它们构成 的一个n维向量(X1(e),X2(e),…,Xn(e))称为n维随 机向量，或n维随机变量，简记为(X1,X2,…,Xn). ❖ 显然一维随机变量，即为前一章讨论的随机变量. ❖ 下面着重讨论二维随机变量的情况，对于多个随机 变量的情况，不难类推
类似于一维随机变量的分布函数,我们定义二维随 机变量的分布函数如下 冷定义4.2设(X,Y为二维随机变量,x、y为任意实 数,则二元函数 F(x,y)=P(X≤x,Y≤y) 称为(X,Y的分布函数,或称为X和Y的联合分布函 数 令如果将二维随机变量(X,Y,看成是平面上随机点 的坐标,那么F(x,y)就是二维随机点(X,Y落在以 x,y)为顶点的左下方的无穷矩形域内的概率(如图 4.1)
5 ❖ 类似于一维随机变量的分布函数，我们定义二维随 机变量的分布函数如下： ❖ 定义4.2 设(X,Y)为二维随机变量，x、y为任意实 数，则二元函数 F(x,y)=P(X≤x,Y≤y) 称为(X,Y)的分布函数，或称为X和Y的联合分布函 数. ❖ 如果将二维随机变量(X,Y)，看成是平面上随机点 的坐标，那么F(x,y)就是二维随机点(X,Y)落在以 (x,y)为顶点的左下方的无穷矩形域内的概率(如图 4.1)
VI(FC,y) 图4.1
6 o x y (x,y) (X,Y) (X,Y) (X,Y) F(x,y) 图4.1
和数有面数)可以求 ),对任意的四 事件“xrX≤x2,yF≤y2 的概率为 P(xX≤x2,yrY≤y2 =F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1) 令即 (x1<X≤x2y1<Y≤y2) =F(x2,y2)-F(x2,y)-F(x1,y2)+F(x1,y 这个结果可以从图4.2直接看出
7 ❖ 利用分布函数F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)，对任意的四 个实数x1<x2，y1<y2，可以求得 事件“ x1<X≤x2，y1<Y≤y2 ” 的概率为 ❖ P(x1<X≤x2,y1<Y≤y2) = F(x2,y2)−F(x2,y1)−F(x1,y2)+F(x1,y1) ❖ 即 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 F x y F x y F x y F x y P x X x y Y y = − − + ❖ 这个结果可以从图4.2直接看出
(x1,y2)(x2,y2) 图42 8
8 o x y (x1,y1) (x1,y2) (x2,y2) (x2,y1) 图4.2
个分布函数具有如下的性质: (i)对任意的实数x和y有 0≤F(x,y)≤1 冷(ⅱ)对任意的x1≤x2,任意的实数y,有 F(x1,y)≤F(x2,y) 对任意的y≤y2,任意的实数x,有 F(x,y)≤F(x,y2), 即F(x,y)对每个分量都是单调不减的;
9 ❖ 分布函数具有如下的性质： ❖ (ⅰ)对任意的实数x和y有 0≤F(x,y)≤1； ❖ (ⅱ)对任意的x1≤x2，任意的实数y，有 F(x1,y)≤F(x2,y)； ❖ 对任意的y1≤y2，任意的实数x，有 F(x,y1)≤F(x,y2)， ❖ 即F(x,y)对每个分量都是单调不减的；
(i)对任意的实数x和y有 F(-∞,y)=limF(x,y)=0 F(x,∞)=lmF(x,y)=0, F(-∞,-∞)=inF(x,y)=0, x→) y->-0 F(+∞,+∞)=limF(x,y)=1 X→)+o →>+ 10
10 ❖ (ⅲ)对任意的实数x和y有 ( , ) lim ( , ) 1; ( , ) lim ( , ) 0, ( , ) lim ( , ) 0, ( , ) lim ( , ) 0, + + = = − − = = − = = − = = →+ →+ →− →− →− →− F F x y F F x y F x F x y F y F x y y x y x y x