电子科技大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 随机变量的数字特征（3.2）数字期望和方差

数字期望和方差 三、RS(黎曼-斯蒂阶积分简介 定义313设fx),g(x)为定义在[a,b]上的实 值函数,做一剖分:a=xx1…<xnb,并任 取点xk∈[xk,xk+1lk=0,1,2,…,n-1 k k k+1 做和式 G=∑∫(xk)g(xk+)-g(xk =0 电子科技大学

数字期望和方差 电子科技大学 定义3.1.3 设f(x), g(x)为定义在[a, b]上的实 值函数，做一剖分:a =x0< x1<…< xn =b,并任 取点 [ , ], 0,1,2, , 1.  1    xk xk xk k  n xk [ xk＋1 ]  xk 做和式       1 0 1 * σ ( )[ ( ) g( )] n k k k k f x g x x

数字期望和方差 若存在实数L,使对Ⅴ8>0,38>0,只要 2= max(ck-1 k )0 lim>f(xk)lg(xk+1)-g(xk)=I →>0 k=0 电子科技大学

数字期望和方差 电子科技大学 若存在实数I,使对  ε  0 , δ  0,只要 λ max ( 1 ) δ 0 1        k k k n x x σ  I  ε 对任意分点及任意 的取法均有  k x    b a (R) f ( x)dg( x) lim σ λ 0 记为 lim ( )[ ( ) ( )] I 1 0 k 1 k * λ 0         n k k f x g x g x

数字期望和方差 称I为fx)关于g(x)在[a,b上的RS积分,简记为 I=∫f(x)dg(x) 若「+∫(x)g(x)immf(x)dg(x) b→》+0 存在,称为广义RS积分 注黎曼积分2/(x)是R积分的特例 电子科技大学

数字期望和方差 电子科技大学 称 I 为f(x)关于g(x)在[a, b]上的R-S积分,简记为  b a I f (x)dg(x). b a 注 黎曼积分 f ( x )d x 是R-S积分的特例.        b a b a 若 f (x)dg(x) ˆ lim f (x)dg(x) 存在,称为广义R-S积分

数字期望和方差 RS积分性质: 1)1f(x)±/(x)g(x)= fi(x)dg(x)+f2(x)dg(x) b 2)f(x)lg1(x)±g2(x)= Jf(x)g(x)土J(x)42(x) 3)设a,是任意常数,则 Caf(x)dlBg(x)l=aBl,f(x)d[g(x) 电子科技大

数字期望和方差 电子科技大学 R-S积分性质:    b a 1) [ f (x) f (x)]dg(x) 1 2    b a b a f (x)dg(x) f (x)dg(x) 1 2    b a 2) f (x)d[g (x) g (x)] 1 2 3) 设α,β是任意常数，则    b a b a f (x)dg (x) f (x)dg (x). 1 2 ( ) [ ( )] ( ) [ ( )].    b a b a f x d g x  f x d g x

数字期望和方差 以上三个等式成立的意义是:当等号右边存 在时,左边也存在并相等 4)若a<c<b,则有 f(xdg(x) Cf(xd (x)+f(x)d(x) 5)Jof(dg(x)=f(x)g(x)a-log(xdf(x) 注以上1~5条性质可全部推广到广义RS积分 如 电子科技大学

数字期望和方差 电子科技大学 4) 若a < c <b, 则有 以上三个等式成立的意义是:当等号右边存 在时,左边也存在并相等.  b a f (x)dg(x)     b c c a f (x)dg(x) f (x)dg(x)     b a b a b a 5) f (x)dg(x) [ f (x)g(x)] g(x)df (x) 以上1～5条性质可全部推广到广义R-S积分. 如 注

数字期望和方差 5)」f(x)dg(x) ToO g(x)df(x)+ lim If(x)g( a→-0 b→>+ 6)(施瓦兹不等式)设f(x)和/(x)平方可积, ∫"2(xg(x)<∞(=12) 且g(x)是单调不减函数,则∫。f(x(x)g() 存在,并且 ∫厂1(x)(g()=s∫m6(gg 电子技大

数字期望和方差 电子科技大学    5) f ( x)dg( x) b a b a lim [ f (x)g(x)]         g(x)df (x) 6) （施瓦兹不等式）设 f1(x)和 f2(x)平方可积， 即 ( ) ( ) ( 1,2) 2       f x dg x i i    ( ) ( ) ( ) 则 f 1 x f 2 x dg x     2 1 2 [ f (x) f (x)dg(x)]       ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1f x dg x f x dg x 且g(x)是单调不减函数， 存在，并且

数字期望和方差 证明存在性因f·fls,f2+/12 建立关于入的二次式,因 0s「(x)-(x)gx) If(x)dg(x)-2 fi(x)2(x)dg(x) +2 co f1(x)/2(x)dg(x) 4∫(x)(x)(xg(x)≤0

数字期望和方差 电子科技大学 证明 存在性因 [ ] 2 1 2 2 2 1 2 1 f  f  f  f 建立关于λ的二次式，因    0  [ ( ) ( )] ( ) 2 f 1 x f 2 x dg x             ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 1 f x dg x f x dg x f x f x dg x   4 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 [2 ( ) ( ) ( )] 2 2 2 1 2 1 2             f x dg x f x dg x f x f x dg x

数字期望和方差 广义R-S积分定理若f(x)在R上连续且有 界,g(x)在R上单调有界,则积分 +∫f(x)4(x)∠参见P364 存在,并且 定理21-23 1)若g(x)在R上存在,在任意有限区间[a, b上黎曼可积,则 mof( dg(x)=of(x)g(x)dx 电子科技大学

数字期望和方差 电子科技大学 广义R-S积分定理 若f(x)在R上连续且有 界,g(x)在R上单调有界,则积分     f ( x )dg ( x ) 存在，并且 参见P364 定理2.1-2.3    1) 若 在R上存在,在任意有限区间[a, b]上黎曼可积,则 g(x)         f(x)dg(x) f(x)g (x)dx

数字期望和方差 2)若存在实数列Ck=0,±1,…,使 <C-ICO<C 且g(x)在(C,CA)上取常数,则 ∫mr(x)dx)=∑f(Ck(+0)-g(c-0)小 问题1若g(x)是离散型随机变量的分布函数, x)关于g(x)的广义RS积分形式? 设ξ是离散型随机变量,其分布律为 P{5=xk}=Pk,k=1,2,3 电子科技大

数字期望和方差 电子科技大学 2) 若存在实数列Ck , k=0, 使 …<C－1<C0<C1<… 1,, ( ) ( ) ( ) ( 0) ( 0).           k k k Ck f x dg x f C g C g 且 g(x) 在(Ck , Ck-1)上取常数，则 问题1 若g(x)是离散型随机变量的分布函数， f(x)关于g(x) 的广义R-S积分形式？ 设ξ 是离散型随机变量,其分布律为 P{  x }  p , k  1,2,3....  k k

数字期望和方差 其分布函数是有界、单调不降的阶梯函数,有 f(x8(xx+0)-g(xk-oH =-0 ∑∫(xk) -00 电子科技大

数字期望和方差 电子科技大学 其分布函数是有界、单调不降的阶梯函数，有          k k k p x x x x g x g x , 0, ; ( 0) ( 0)  xk1  xk  xk1   ( ) ( ) ( ) ( 0) ( 0).           k k k k f x dg x f x g x g x     k k k f (x )p