《线性代数》第四章 向量空间（4.5）特征值与矩阵对角化（习题课）

Chapter 4(5 特征值与矩阵对角化习题课 网心心

Chapter 4(5) 特征值与矩阵对角化习题课

、内容小结 1.正交矩阵的定义与性质 2.特征值特征向量的定义与性质 3相似矩阵的定义与性质 4.矩阵可对角化的条件 5.实对称矩阵特征值特征向量的性质 [

一、内容小结 1. 正交矩阵的定义与性质 3. 相似矩阵的定义与性质 4. 矩阵可对角化的条件 2. 特征值特征向量的定义与性质 5. 实对称矩阵特征值特征向量的性质

二、题型与方法 1.求特征值特征向量 2.判别矩阵是否可对角化, 找可逆矩阵使其与对角阵相似 3.实对称矩阵的对角化(可逆变换与正交变换) K

二、题型与方法 2. 判别矩阵是否可对角化， 找可逆矩阵使其与对角阵相似 1. 求特征值特征向量 3. 实对称矩阵的对角化（可逆变换与正交变换）

设方阵4=-2x-2与A=0y0相似, 00-4 求 x,y. Solution 524-909 由-4E-A 4-x2 2-4-x2 240 5 5 9 C3+C 2-4-x4=9(4-x)=0,得x= 4 2

, . , 0 0 4 0 0 5 0 0 4 2 1 2 2 1 2 4 . x y A x y 求 一 设方阵 与 相似           −  =           − − − − − − = Solution. 4 2 5 2 4 2 5 2 4 4 − − − − 由− E − A = x 4 2 5 2 4 2 9 0 9 1 3 − − − − === − x r r 4 2 1 2 4 4 9 0 0 3 1 − − − − === + x c c = 9(4 − x) = 0, 得x = 4

A-12 -505-元 r-13 由E-A=24-42 2-42 2 2-1 10 C3+C (-5)2x-42 (-5)2-44 42 42+3 =(-5川(-4)+3)-81=(4-5)(x2-x-20) =(-5)(-5)(+4)=0, 得1=12=5,3=-4 =5 或由A=4123可得; 或由A1+12+13=a1+a21+a33可得 K

4 2 1 2 4 2 1 2 4 − − − − =    由E A 4 2 1 2 4 2 5 0 5 1 3 − − − − === −     r r 4 2 1 2 4 2 1 0 1 ( 5) − − − = −    4 2 3 2 4 4 1 0 0 ( 5) 3 1 + === − − +    c c = ( − 5)[( − 4)( + 3) − 8] ( 5)( 20) 2 =  −  −  − = ( − 5)( − 5)( + 4) = 0, 5, 4. 得1 = 2 = 3 = −  y = 5. ; 或由 A = 123 可得 . 或由 1 + 2 + 3 = a11 + a22 + a33 可得

设3阶方阵4的特征值为入=1,石2=0,3=-1;对应的 特征向量依次为p1=(1,2,2),P2=(2,-2,1), P3=(-2,-1,2),求方阵A. Solution 1 2 取P=(P,P2,3)=2-2-1 则有P1AP=000=A 2 2 又P1=2-2-1 212

( 2, 1,2) , . (1,2,2) , (2, 2,1) , . 3 1, 0, 1; 3 1 2 1 2 3 p A p p A 求方阵 特征向量依次为 二 设 阶方阵 的特征值为 对应的 = − −  =  = −   =  =  = − Solution 1. , 2 1 2 2 2 1 1 2 2 ( , , ) 1 2 3           − − − 取P = p p p = , 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 =            − = − 则有P AP 1 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 − −           − − − 又P =

3-6-6 1-2-2 3 27 63 ∴A=PAP 12-2/100 1-2-2 2-2-1|·000 22 9 212(00-1 21-2 2 2 3 2 000 2 22 0 03 6 9 2 2八(21-2 6-60 K

          − − − − − − = − 6 3 6 6 6 3 3 6 6 27 1 , 2 1 2 2 2 1 1 2 2 9 1           − − − − − − = − −1  A = PP           − − − − − −  −           −            − − − = 2 1 2 2 2 1 1 2 2 9 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 2 1 2 2 2 1 1 2 2           − − − − − −            − = − 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 0 2 2 0 1 1 0 2 9 1 . 6 6 0 0 3 6 3 0 6 9 1           − − − − − = −

或者 A(D1,D2,p3)=(41D1,A2p2,3D3)=(1,0,-3) 2 2 122 2 2 0 2 2 22 2 3 000000 22 06 6 22122 2 2 0 2 2 2 2 K心

或者 ( , , ) ( , , ) A p1 p2 p3 = 1 p1 2 p2 3 p3 ( ,0, ) = p1 − p3 , 2 0 2 2 0 1 1 0 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2           − =           − − − A 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 0 2 2 0 1 1 0 2 −           − − −            −  A =           − − − − − −  −           − = 2 1 2 2 2 1 1 2 2 9 1 2 0 2 2 0 1 1 0 2 . 6 6 0 0 3 6 3 0 6 9 1           − − − − − = −

设3阶实对称矩阵A的特征值为6,3,3,与特征值6对应 的特征向量为1=(1,,),求矩阵A Solution 1.设特征值3对应的特征向量为=(x1,x2,x3 则有x1+x2+x3=0, x=k1|+k20 故对应特征值3的特征向量为2=(-1,1,0)y,P3=(-1,0,)y 取P=(m1,P2,3)=110 101

(1,1,1) , . . 3 6,3,3, 6 p1 A A 的特征向量为 求矩阵 三 设 阶实对称矩阵 的特征值为 与特征值 对应 =  Solution 1. 3 ( , , ) , 1 2 3 设特征值 对应的特征向量为x = x x x  0, 则有x1 + x2 + x3 =          − +          −  = 1 0 1 0 1 1 x k1 k2 3 ( 1,1,0) , ( 1,0,1) . 2 3 故对应特征值 的特征向量为p = −  p = −  , 1 0 1 1 1 0 1 1 1 ( , , ) 1 2 3           − − 取P = p p p =

600 则有P-1AP=030=A,又P1 3 003 12 A=PAP-I 600 10030 1-12 3 101八(003 12-1 A=(41,12P2,A3Py3n3) Solution 2. A(P1, P2, P3)=(M P1, n2 p2 K

, 0 0 3 0 3 0 6 0 0 1 =            = − 则有P AP , 1 2 1 1 1 2 1 1 1 3 1 1           − − = − − − 又P −1  A = PP , 1 2 1 1 1 2 1 1 1 3 1 0 0 3 0 3 0 6 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1           − −  − −                      − − = . 1 1 4 1 4 1 4 1 1           = Solution 2. ( , , ) ( , , ) A p1 p2 p3 = 1 p1 2 p2 3 p3 ( , , ) . 1 1 1 2 2 3 3 − A =  p  p  p P