Chapter 1 3
Chapter 1(3) 方向导数与梯度
教学要求: 1.理解方向导数与梯度的概念,并掌握其计算方法 K<DD
教学要求： 1. 理解方向导数与梯度的概念, 并掌握其计算方法
方向导数 二梯度 K
一 .方向导数 二.梯度
方向导数 1.方向导数定义引入 设有z=f(x,y),射线以P(x,y)为起点 P(x,y)>1(x+△x,y+△y) f(x,y)→∫(x+△x,y+△y) 则△z=f(x+Ax,y+Ay)-f(x,y) P(r,y) p=P|=√(△x)2+(△y)2
一 .方向导数 1. 方向导数定义引入 设有z = f (x, y),射线l以P(x, y)为起点 o x y P(x,y) P1 l ( , ) ( , ) 1 P x y P x x y y l ⎯→ + + f (x, y) → f (x + x, y + y) 则z = f (x + x, y + y) − f (x, y) 2 2 1 =| PP |= (x) + (y)
定义.若lim=lim f(+Ar, y+Ay)-f(x, y) 0 0 存在,则称此极限值为f(x,y)在P点沿着方向l 的方向导数 记为 f lim ∫(x+Ax,y+△y)-f(x,y) alp→0 平行x轴:=imfx+A,y)-/(x,y) al△x->0 △ 平行轴:9=1mf(,y+今)-f(x,D Ol|4y->0 △y 显然fx,是f(x,y沿x,y轴的方向导数 沿x,y轴正向时为x,负向时为一f-f国四
. ( , ) ( , ) lim 0 f x x y y f x y l f + + − = → 记为 . , ( , ) ( , ) ( , ) lim lim 0 0 的方向导数 存在 则称此极限值为 在 点沿着方向 若 f x y P l z f x x y y f x y + + − = → → 定义. 显然fx , f y是f (x, y)沿x, y轴的方向导数 | | ( , ) ( , ) : lim | | 0 x f x x y f x y l f x x + − = → 平行 轴 | | ( , ) ( , ) : lim | | 0 y f x y y f x y l f y y + − = → 平行 轴 , , ; , . x y x y 沿x y轴正向时为f f 负向时为− f − f
2.的存在定理 若z=f(x,y)在P(x,y)可微, 则函数在该点沿任一方向L的方向导数存在,且 ∫xc0sa+jyc0sB, 其中cosa,cosB为方向/的方向余弦 Proof..∵:z=∫(x,y)可微, Az=fx△x+J4y+O(P) +4,0) K
2. 的存在定理 l f 若z = f (x, y)在P(x, y)可微, 则函数在该点沿任一方向 l 的方向导数存在，且 cos cos , x y f f l f = + 其中cos ,cos 为方向l的方向余弦. Proof. z = f (x, y)可微, z f x f y o(), = x + y + , ( ) y o f x f z x y + + = o x y P P1 x y
△ fxc0sa+f,c0s月+ .O P 0-tox cos a+fy cosB+p) im=lim[f alx cosa+f, cos B 由于a+B=土 元 从而有=0+ f sin p 其中p=a为方向与x轴正向的夹角
, ( ) cos cos o f f z = x + y + ], ( ) lim lim[ cos cos 0 0 o f f z = x + y + → → cos cos . x y f f l f = + , 2 由于 + = cos sin. x y f f l f = + 从而有 其中 为方向l与x轴正向的夹角. =
3推广 对于u=f(x,y,z),它在P(x,y,z)沿方向方向导数为 alal p-0 P f(x+△x,y+△y,z+△z)-f(x,y,z) in →>0 其中p=√(△x)2+(△y)2+(△z)2 设方向的方向角为a,B,y, △x=pc0sa,y=pc0s,△z=pc0sy, 且 af af of O f coS a+cos B+cos y O
3. 推广 对于u = f (x, y,z),它在P(x, y,z)沿方向l的方向导数为 = = = → u l f l u 0 lim ( , , ) ( , , ) lim 0 f x + x y + y z + z − f x y z → 其中 2 2 2 = (x) + (y) + (z) 设方向l的方向角为, , , x = cos, y = cos , z = cos , cos cos cos . z f y f x f l f + + = 且
ex求z=x2+y2在点(1,2)处沿从(1,2)到(22+3) 的方向的方向导数 Solution.:z(1,2)=2xlk=1=2,(1,2)=2yly=2=4 方向l={1 COSC 1+32,c0sB=3 1+32 z =x(,2)cosa+z,(1,2)cosB=1+2√3 (1,2)
. 1. (1,2) (1,2) (2,2 3) 2 2 的方向的方向导数 ex 求z = x + y 在点 处沿从 到 + Solution. (1,2) 2 | 2, zx = x x=1= z y (1,2) = 2y | y=2= 4 方向l = {1, 3} , 2 1 1 3 1 cos = + = 2 3 1 3 3 cos = + = (1,2)cos (1,2)cos 1 2 3. (1,2) = + = + zx z y l z
ex2求z=1-(2+2)在点, 2 处沿曲线 x y 十 2√2 2 在这点的内法线方向的方向导数 Solution.如图所示 2 26≈1切线倾角满足 十 b x tan a=y= 在( 22迹处tana=~6 b <a<丌) 2
) 1 2 , 2 2. 1 ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 = − + + = b y a a b x b y a x ex 求z 在点 处沿曲线 在这点的内法线方向的方向导数. Solution. 如图所示 y o x y x a b y b y a x 2 2 2 2 2 2 tan 1 = = − + = 的切线倾角满足 ) 2 ) tan ( 2 , 2 ( = − a a b b 在 处