《微积分》课程教学课件（PPT讲稿）第四章 曲线积分与曲面积分（4.7）Stokes公式及环量与旋度

Chapter 4(7 Stokes公式及环量与旋度

Chapter 4(7) Stokes公式及环量与旋度

教学要求: 1.了解 Stokes公式; 2.了解旋度的概念,并会计算; 3.了解环流量的概念,并会计算; 4.了解空间曲线积分与路径无关的几个等价关系 K<DD

教学要求： 1. 了解Stokes公式; 2. 了解旋度的概念，并会计算; 3. 了解环流量的概念，并会计算; 4. 了解空间曲线积分与路径无关的几个等价关系

一. Stokes公式 二空间曲线积分与路径无关的条件 三.环流量与旋度 K心

一 . Stokes公式 二.空间曲线积分与路径无关的条件 三.环流量与旋度

. Stokes公式 曲面的侧与边界曲线的方向作如下规定(右手法则) 当右手四指依r的绕行方向时,大拇指所指的方向与 ∑上法向量的指向相同,这时称r是有向曲面∑的正向 边界曲线 n 定理)设光滑曲耐》昀热是按段光滑的连续曲线 (2)P(x,y,z),g(x,y,.2R(y,z)在X(连同r)上连续, 且有一阶连续偏导 OR 80 OP aR ao aP 小yz+ dzdx ∑ ay az az ax ax a fPax +Ody+Rdz 其中∑的侧与r的方向按右手法则确定 K心

一 . Stokes公式 曲面的侧与边界曲线的方向作如下规定(右手法则): 当右手四指依的绕行方向时，大拇指所指的方向与 上法向量的指向相同，这时称是有向曲面的正向 边界曲线. n    定理1. (1)设光滑曲面的边界是按段光滑的连续曲线; 且有一阶连续偏导 则 在 连同 上连续 ; (2)P(x, y,z),Q(x, y,z), R(x, y,z) ( ) ,     = + +         −    +        −    +        −   Pdx Qdy Rdz dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R 其中的侧与的方向按右手法则确定

Pro0.思路:曲面积分二重积分曲线积分 先证roP aP zdu dxdy=k Pdx ∑C (1)设平行于坐标轴的直线与∑的交点不多于一个,则 ∑:z=孔(x,y ∑:z=z(x,y) y=y(z,r) x=x(, 2) 设当∑为z=xxy)上侧,在 XO面上投影区域为D汤 T在xoy面上的投影曲 为C时,如图所示 D K心

Proof. 思路: 曲面积分 1 二重积分 2 曲线积分    =   −   dxdy Pdx y P dzdx z P 先证 (1)设平行于坐标轴的直线与∑的交点不多于一个，则 ( , ) ( , ) : ( , ) x x y z y y z x z z x y = =  = 设当∑为z=z(x,y)上侧,在 xoy面上投影区域为Dxy, Г在xoy面上的投影曲线 为C时, 如图所示. o x y z  : z = z(x, y) Dxy C

∑的法向量为n={-x1,-z1,1}, 方向余弦为cosa= 2 B 1+3x+Zy 2 COS 2 1+z+z cos a cos cos y 2 1+z++Z 2 4y cos y cos y rr oP dzdex-opdxdy=ls aP OP cos- cos y ds ay z ∑ aP aP cos B--cos y z aPaP +oz, dxdy ∑ K心

{ , ,1}, x y  n = −z −z  的法向量为 方向余弦为 , 1 cos 2 2 x y x z z z + + −  = , 1 cos 2 2 x y y z z z + + −  = , 1 1 cos 2 2 x y + z + z  = . cos cos , cos cos     则zx = − z y = −     −    dxdy y P dzdx z P dS y P z P           −   = cos  cos    cos cos cos dxdy y P z P           −   =            −   = − dxdy z P y P   cos cos z dxdy z P y P  y          +   = −

P(x,y,2)+a-P(x,y,2).y lady z Plx, y, z(x, y)lardy O D Gre公式 =Px,y,2(x,y)=P(x,y,) ∑取下侧同样成立 同理可证ad 0 ∑ z dydz=f edy OR 三式相加 dtx=Rz即得结论 ∑ ax (2)若平行于坐标轴的直线与∑的交点 多于一个时,作辅助线可得结论成立 K心

    +   = − Dxy P x y z z y dxdy z P x y z y [ ( , , ) ( , , ) ] P x y z x y dxdy y Dxy    = − [ , , ( , )] P x y z x y dx c Green =======  [ , , ( , )] 公式 P(x, y,z)dx.  = 取下侧同样成立     =   −   dydz Qdy z Q dxdy x Q 同理可证     =   −   dzdx Rdz x R dydz y R 三式相加 即得结论. (2)若平行于坐标轴的直线与∑的交点 多于一个时，作辅助线可得结论成立

注意: 1)便于记忆, Stokes公式可用行列式表示为 dydz dzdx dxdy -J Pdx+ody+ Rdz ∑ ay a P Q R (2)利用两类曲面积分的关系,得 Stokes公式的另一形式 cosa cos B cos y S=Px+Q小+Rd ax O ∑ P o R 其中n={cosa,cosB,osy} K心

注意: (1) 便于记忆, Stokes公式可用行列式表示为    = + +       Pdx Qdy Rdz P Q R x y z dydz dzdx dxdy (2) 利用两类曲面积分的关系, 得Stokes公式的另一形式    = + +       dS Pdx Qdy Rdz P Q R x y z cos cos  cos n = {cos,cos  ,cos }  其中

(3) Stokes公式的实质:表达了有向曲面上的曲面积分 与其边界曲线上的曲线积分之间的关系 (4)当∑是xoy面的平面闭区域时, Stokes公式 特殊情形 Green公式 也称 Stokes公式为空间的Gren公式 (5) Stokes公式理论上很重要, 用它来计算曲线积分并不很方便 K心

(3) Stokes公式的实质:表达了有向曲面上的曲面积分 与其边界曲线上的曲线积分之间的关系. (4)当Σ是xoy面的平面闭区域时, Stokes公式 特殊情形 Green公式 也称Stokes公式为空间的Green公式. (5) Stokes公式理论上很重要, 用它来计算曲线积分并不很方便

exl.计算g2yx-zdy-xt, C:x+y+z=R2 方向为由x轴正向看去是逆时针的 x+z=R Solution.如图所示 取Σ为x+z=R的上侧n={1,0,1}, CoSa= 2, cos B=0, cosy 2 「2dx--xbt=∫ 200 00 2 ds ax ay az 2y-x K心

: . 2 2 2 2 方向为由x轴正向看去是逆时针的 x z R x y z R C    + = + + = Solution. 如图所示 1. 2 ,  − − c ex 计算 ydx zdy xdz o x y z 取为x + z = R的上侧, n = {1,0,1},  2 1 , cos 0, cos 2 1 cos =  =  =  − − c 2ydx zdy xdz   − −       = dS y z x x y z 2 2 1 0 2 1