Chapter 1 3 逆阵与分块矩阵
Chapter 1(3) 逆阵与分块矩阵
教学要求: 1.了解逆矩阵的概念,掌握逆矩阵的性质以及矩阵可 逆的充要条件; 2.理解伴随矩阵的概念,会用伴随矩阵求矩阵的逆; 3.了解分块矩阵的概念,掌握分块矩阵的运算法贝 KDD
教学要求： 1. 了解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可 逆的充要条件; 2. 理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆; 3. 了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则
一逆阵的引入 二逆阵的定义 三.逆阵的性质 四例题分析 五.分块矩阵的讨论 K
一 .逆阵的引入 二.逆阵的定义 三.逆阵的性质 四.例题分析 五.分块矩阵的讨论
逆阵的引入 y1=1x1+12x2+…+a1nxn 设有线性变换12=+2+…+2nxn Vn=an1x1tan2C2 ∴+LnX nn n J 记A= an ≈/2 nn 则Y=AX
一 .逆阵的引入 = + + + = + + + = + + + n n n nn n n n n n y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 设有线性变换 , 1 21 2 2 11 1 1 = n ni nn i n i n a a a a a a a a a A 记 , 2 1 = xn x x X , 2 1 = n y y y Y 则 Y = AX(*)
当A≠0时,x1=4 A2|43 93 其中4(j=1,2,…,m)为4中第冽元素被,2,…,n 代换而成;把41,42…An按1,2,…,m列展开得 x1=b1y1+b2y2+…+bnyn「b1 n x2=b211+b22+…+b2mnB=/21 n n=bn1y1+bn22+… nn」n nn 则X=BY (*)称为()的逆变换 K
0 , , , , , . 3 3 2 2 1 1 A A x A A x A A x A A A x n 当 时 = = = n = ; ( 1,2, , ) , , , 1 2 代换而成 其中 j 为 中第 列元素被 n A j = n A j y y y , , 1,2, , 把 A1 A2 An按 n列展开得 = + + + = + + + = + + + n n n nn n n n n n x b y b y b y x b y b y b y x b y b y b y 1 1 2 2 2 21 1 22 2 2 1 11 1 12 2 1 = n ni nn i n i n b b b b b b b b b B 1 21 2 2 11 1 1 则 X = BY(**) (**)称为(*)的逆变换
Y=AX=ABY=(AB)Y, X=BY= BAX=(BA)X, 从而可知AB=E=BA, 正如数一样若ab=ba=1,则a=b-1,b=a-1, 记B=A-,称其为逆矩阵 K
Y = AX = ABY = (AB)Y, X = BY = BAX = (BA)X, 从而可知 AB = E = BA, , 1, , , −1 −1 正如数一样 若ab = ba = 则a = b b = a , . 记B = A −1 称其为逆矩阵
二逆阵的定义 1.定义 设4为n阶方阵,若存在n阶方阵B使得AB=BA=E, 则称4是可逆矩阵或非奇异矩阵;B是4的逆矩阵, 记为A-1=B 2.几点说明 (1)A,B必须是方阵; (2)若A的逆矩阵存在,则必唯 设B,B2是4的逆矩阵, AUAB=BA=E, AB2=B2A=E, TO B,=BE=B(AB2)=(BA)B2=EB2= B2
二.逆阵的定义 1. 定义 . ; , , , 1 A B A B A A n n B AB BA E = = = 记为 − 则称 是可逆矩阵或非奇异矩阵 是 的逆矩阵 设 为 阶方阵 若存在 阶方阵 使得 2. 几点说明 (1) A,B必须是方阵; (2) 若A的逆矩阵存在, 则必唯一; , , 设B1 B2是A的逆矩阵, , 则AB1 = B1A = E AB2 = B2A = E ( ) 而 B1 = B1E = B1 AB2 ( ) . = B1A B2 = EB2 = B2
(3)若的逆矩阵存在则记为A1从而AA1=E; (4)4≠,A4≠1; (5)A与B是互逆的 3.伴随矩阵 设4;是矩阵的行列式4中a1的代数余子式, Au 矩阵A 12 22 n2|称为4的伴随矩阵 n 2n nn K
(3) , . ; 1 1 A A AA = E 若 的逆矩阵存在 则记为 − 从而 − , 1; 1 (4) 1 1 − − AA A A (5) A与B是互逆的. 3. 伴随矩阵 设 是矩阵 的行列式 中 的代数余子式, Ai j A A ai j . 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 矩阵 * 称为A的伴随矩阵 A A A A A A A A A A n n nn n n =
注意 11 12 22 12 A22 AA 2 n2 nn In 2n nn A 0 0 041 =AE同理AA=AE 00 (1)A4=A*A=AE(d) c a
注意： * AA = n n nn n n n n nn n n A A A A A A A A A a a a a a a a a a 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = A A A 0 0 0 0 0 0 = AE A A = AE 同理 * AA = A A = AE * * (1) − − = c a d b c d a b * (2)
逆阵的性质 定理1矩阵A可逆的充要条件是A≠0,且 其中A*为矩阵A的伴随矩阵 证明若A可逆,即有A使A4=E 故A41=4A1=1=1,所以4≠0 若A≠0,A4=AA=AE→A A=E 按逆矩阵的定义得A可逆,且41=
三.逆阵的性质 定理1 矩阵 可逆的充要条件是 ，且 , −1 1 = A A A A A 0 证明 若 A 可逆， A AA = E. 即有 −1使 −1 1, 1 1 = = = − − 故 AA A A E 所以A 0. 其中A 为矩阵A的伴随矩阵. 若 A 0, AA = A A = AE A E, A A A A A = = . 1 A A A − 按逆矩阵的定义得A可逆,且 =