《线性代数》第三章（3.2）n维向量空间

Chapter 3(2 m维向量空间

Chapter 3(2) n维向量空间

EEMT PeA AP 1.了解n维向量空间、子空间、基、维数、坐标 等概念; 2.了解内积的概念; 3.了解标准正交基的概念; 4.掌握线性无关向量组标准规范化的 Schmidt (施密特)方法 K心

教学要求： 1. 了解n维向量空间、子空间、基、维数、坐标 等概念; 2. 了解内积的概念; 3. 了解标准正交基的概念; 4. 掌握线性无关向量组标准规范化的Schimidt (施密特)方法

向量空间 二基,维数和坐标 三向量的内积 四标准正交基 五线性无关组的正交化单位化 Schmidt正交化方法 K

一 .向量空间 二.基,维数和坐标 三.向量的内积 四.标准正交基 — Schimidt . 正交化方法 五 线性无关组的正交化单位化

向量空间 定义1设V为n维向量的集合,如果集合非空, 且集合对于加法及乘数两种运算封闭,那么就称 集合V为向量空间 注意 1.集合V对于加法及乘数两种运算封闭指 若a∈V,B∈V,则a+B∈V; 若a∈V,∈R,则礼a∈V 2.n维向量的集合是一个向量空间记作R 3.向量空间也称为线性空间.为满足一定条件 的向量组

一 .向量空间 注意 若 V,  R, 则  V. 2．n 维向量的集合是一个向量空间,记作 . n R 若 V, V, 则 +  V; 定义1 设 为 维向量的集合，如果集合 非空， 且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 集合 为向量空间． n V V V V 1．集合 V 对于加法及乘数两种运算封闭指 3. 向量空间也称为线性空间. 为满足一定条件 的向量组

ex1.3维向量的全体R3,是一个向量空间 Solution 乘3维向量仍然是3维向量,它们都属于P 因为任意两个3维向量之和仍然是3维向量, 类似地,n维向量的全体R",也是一个向量空 K

1. 3 , . ex 维向量的全体R 3 是一个向量空间 3 3 . 3 3 , 3 乘 维向量仍然是 维向量，它们都属于R 因为任意两个 维向量之和仍然是 维向量 数  . 间 类似地，n维向量的全体R n，也是一个向量空 Solution

ex2.判别下列集合是否为向量空间. = 9299n 29n ∈R Solution.V是向量空间 因为对于V的任意两个元素 9299 B= (0 9025 b)∈V 有a+B=(0,a2+b2,…,an+bn)∈V aa=(0,an2,…,an)∈V1

ex2. 判别下列集合是否为向量空间. V x ( x x ) x xn R T 1 = = 0, 2 ,  , n 2 ,  ,  Solution. V 是向量空间 . 1 因为对于V1的任意两个元素 ( ) ( ) T n T  = 0,a2 ,  ,an ,  = 0,b2 ,  ,b V ,  1 ( ) 2 2 1 0,a b , ,a b V T 有  +  = +  n + n  (0, , , ) . a2 a V1 T  =    n 

ex3.判别下列集合是否为向量空间 2 29 ) x 29 ∈R Solution.V,不是向量空间 因为若a=(,a2…,an)∈V2, 则2a=(2,2a2,…,2an)≤V2 K

ex3. 判别下列集合是否为向量空间. V x ( x x ) x xn R T 2 = = 1, 2 ,  , n 2 ,  ,  Solution. 2 (2,2 , ,2 ) . a2 a V2 T 则  =  n  V 不是向量空间 . 2 (1, , , ) , 2 V2 a a T 因为若 =  n 

ex4.设a,b为两个已知的m维向量,集合 V={x=M+pb,∈R 试判断集合是否为向量空间 Solution.V是一个向量空间 因为若x1=41a+1b,x2=2+2b, 则有x1+x2=(1+12)+(1+2)b∈V, kx1=(k1)a+(k山1)b∈ 这个向量空间称为由向量a,b所生成的向量空

ex4.设a,b为两个已知的n维向量，集合 V = x = a + b,  R 试判断集合是否为向量空间. Solution. x2 = 2a +  2b， 则有 ( ) ( ) , x1 + x2 = 1 + 2 a + 1 +  2 b V ( ) ( ) . kx1 = k1 a + k1 bV . , 间 这个向量空间称为由向量a b所生成的向量空 V是一个向量空间. , 因为若x1 = 1a + 1b

般地,由向量组a1,a2…,an所生成的向量空 间为 ={x=41a1+12n2+…+namA4,2,…,n∈R ex设向量组a1,…,am与向量组b1,…,b等价,记 V={=q1+2a2+…+3nm1,2,…,m∈R} 2={x=山1b1+2b2+…+b,山1,42,…H∈R 试证:V1= Proof K

V = x = 1a1 + 2a2 ++  mam 1 ,2 ,  , m  R 间 一般地， 由向量组a1 ,a2 ,,am所生成的向量空 为     . , , , , , 5. , , , , 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 V V V x b b b R V x a a a R ex a a b b s s s m m m m s = = = + + +  = = + + +  试证： 设向量组 与向量组 等价，记                   Proof

设x∈V则x可由a1,…an线性表示 因a1,…,an可由b1,…,b线性表示,故x可由b1,…, b线性表示,所以x∈V2 这就是说,若x∈V1,则x∈V2 因此v1cV2 类似地可证:若x∈V2,则x∈V1, 因此v2cV 因为VcV2,V2CV1所以V=V2 证明两向量空间相等与证明两集合相等方法一样!

, , . 设x V1，则x可由a1  am线性表示 : , , 类似地可证 若x V2 则x V1 . 因为V1  V2，V2  V1，所以V1 = V2 线性表示， 因 可由 线性表示，故 可由 s m s b a , ,a b , ,b x b , , 1  1  1  . 所以x V2 这就是说，若x V1，则x V2， . 因此V1  V2 . 因此V2  V1 证明两向量空间相等与证明两集合相等方法一样!