随机变量的独立性 21.2.20 52.3独立随机变量,条件分布 相互独立随机变量 随机事件4与B相互独立,若 P(AB=P(A)P(B) 定义23.1设引m是二维随机变量若对任意 实数对(x,y)均有 PS<x, n<y=Ps<pin< y 成立,称与相互独立 KUD
随机变量的独立性 电子科技大学 21.2.20 §2.3 独立随机变量，条件分布 定义2.3.1 设(ξ,η)是二维随机变量, 若对任意 实数对( x , y )均有 随机事件A 与B 相互独立，若 P(AB)=P(A)P(B) P{ x, y} = P{ x}P{ y} 成立，称ξ与η相互独立. 一、相互独立随机变量
随机变量的独立性 21.2.20 意义对任意实数对(x,y),随机事件 <x}{/y 在给定概率空间上都相互独立 若与n不独立的,称它们是相依的 例321 等价条件 1.与相互独立 F(x, y)=F(xF(y 对任意实数(x,y)均成立 KUD
随机变量的独立性 电子科技大学 21.2.20 意义 对任意实数对( x , y )，随机事件 {ξ< x }、 {η< y} 在给定概率空间上都 相互独立. 例3.2.1 等价条件 1.ξ与η相互独立 对任意实数(x , y )均成立. F(x, y) F (x)F ( y) = 若ξ与η不独立的，称它们是相依的
随机变量的独立性 21.2.20 2.(离散型)与η相互独立 PS=Xi, n=y=PS=xPn=yi) 或 p(i,j=p(i, p(,j) 对所有(x,y)均成立 充分性 注若否定结论只需找到一个证明见 、P132 p(i,j≠p(i,)(,j 必要性证明 (x, y)=F(xF() 处处成立,则对任意实数x1<x2,y1<y2因
随机变量的独立性 电子科技大学 21.2.20 2. (离散型)ξ与η 相互独立 { , } { } { } i j i j P = x = y = P = x P = y 对所有(xi , yj )均成立. 注 若否定结论, 只需找到一个点 或 p(i , j) = p(i,·)p(·, j ) p(i , j) ≠ p(i,·)p(·, j ) 充分性 证明见 P132 必要性证明 F(x, y) F (x)F ( y) = 处处成立, 则对任意实数 x1 x2 , y1 y2 ，因
随机变量的独立性 21.2.20 P{x1≤5<x23=F(x2)-F(x1) Psn<v23=F(2)-F(u 同时成立两式相乘可得 P{x1≤5<x2P{y1≤7<y2}= P{x1≤5<x2,1≤m<y2 构造事件列 x≤5<x1+},{y≤n<y1+3}, n {x1≤5<x1+-,V≤m<y1+-},n=1,2, n KUD
随机变量的独立性 电子科技大学 21.2.20 { } ( ) ( ) 1 2 2 1 P x x F x F x = − { } ( ) ( ) 1 2 2 1 P y y F y F y = − 同时成立. 两式相乘可得 P{x1 x2 }P{ y1 y2 } = { , } 1 2 1 2 P x x y y 构造事件列 }, 1 { 1 1 n x x + }, 1 { 1 1 n y y + }, 1,2, 1 , 1 { 1 1 + 1 1 + n = n y y n x x
随机变量的独立性 21.2.20 对n=1,2,满足 {x1≤5<x1+-}{x1≤5<x1+—}, n+1 {x1≤5<x+-}={9=X1} 根据概率的连续性定理 {x1≤5<x+-}=P{5=x1}, n→00 同理 im{y1≤<y1+-}=P{5=y1}, n→00 KUD
随机变量的独立性 电子科技大学 21.2.20 } { }, 1 { 1 1 1 1 = + = = n x n x x 对n=1,2, …满足 }, 1 1 } { 1 { 1 1 1 1 + + + n x x n x x 根据概率的连续性定理 } { }, 1 lim{ 1 1 P x1 n x x n + = = → 同理 } { }, 1 lim{ 1 1 1 P y n y y n + = = →
随机变量的独立性 21.2.20 im{x1≤5<x+,n≤<+}=P19=x1,m= n→0 P1=x1,n=y1}=P{=x1}P{m= 由和y的任意性必要性得证 3.(连续型与η相互独立 证明见 ∫(x,y)=f(x)n(y) P133 在平面上除去“面积”为0的集合外成 例322例32.3例3.4练习
随机变量的独立性 电子科技大学 21.2.20 } { , } 1 , 1 lim{ 1 1 1 1 1 1 P x y n y y n x x n + + = = = → { , } { } { } 1 1 1 1 P = x = y = P = x P = y 由x和y的任意性,必要性得证. 3. (连续型)ξ与η相互独立 在平面上除去“面积”为0 的集合外成 立. f (x, y) f (x) f ( y) = 证明见 P133 例3.2.2 例3.2.3 例3.2.4 练习
随机变量的独立性 21.2.20 多雏陶机变量的独立性 定义232设n维随机变量(31,k2,,n)的联 合分布函数为F(x1,x2,xn),若对任意实 数u 1929···9 xn均有 15299n )=IF2(xz), 称1,2…,n相互独立 思考与以下n个随机事件的独立性有矛盾吗? {5;p
随机变量的独立性 电子科技大学 21.2.20 多维随机变量的独立性 定义2.3.2 设 n 维随机变量(ξ1 ,ξ2 ,…,ξn )的联 合分布函数为 F(x1 , x2 ,…, xn )， 若对任意实 数x1 , x2 ,…, xn 均有 称ξ1 ,ξ2 ,…,ξn 相互独立. ( , , , ) ( ), 1 1 2 = = n i n i i F x x x F x 思考 与以下n个随机事件的独立性有矛盾吗? { i xi },i = 1,2, ,n
随机变量的独立性 21.2.20 定义23.3设21,52 .·95n9 00 为随机变量序列,若 其任意有限维随机向量(5,,(5都相 互独立,称该序列是相互独立随机变量序列 定理231若n维随机变量(1,2,,1)相互独 立,则 1)其中任意k个随机变量(2≤k≤n)也相互独立 2)随机变量g1(1),2(2),…,n(3n也相互独立 4.p
随机变量的独立性 电子科技大学 21.2.20 定义2.3.3 设ξ1 ,ξ2 ,…,ξn , …为随机变量序列, 若 其任意有限维随机向量 (1<k)都相 互独立，称该序列是相互独立随机变量序列. ( , , , ) 1 2 k i i i 定理2.3.1 若n维随机变量(ξ1 ,ξ2 ,…,ξn ) 相互独 立，则 1) 其中任意k个随机变量( 2 k n )也相互独立. 2) 随机变量 g1 (ξ1 ), g2 (ξ2 ),…, gn (ξn )也相互独立
随机变量的独立性 21.2.20 注随机变量相互独立则一定兩两独立,逆不真. 反例 多维随机向量间的独立性见P136 定理232着n维随机变量(1,2,n)相互 独立,则 1)m维随机向量(,k2,mn)与n维随机向 量(m1,mn2,,ln)也相互独立 2)mn=h1(5n1,a2,…,bm),(i=1,2,…,k)必为 随机变量,而且也相_立 IUD
随机变量的独立性 电子科技大学 21.2.20 注 随机变量相互独立则一定两两独立，逆不真. 反例 多维随机向量间的独立性见P136. 定理2.3.2 若n维随机变量(ξ1 ,ξ2 ,…，ξn ) 相互 独立，则 1) m维随机向量(ξ1 , ξ2 ,…, ξm ) 与n维随机向 量(ξm+1 , ξm+2 ,…, ξn ) 也相互独立. . 2) ( , , , ), ( 1,2, , ) 1 2 随机变量，而且也相互独 立 i = hi i i i ni i = k 必 为
随机变量的独立性 21.2.20 其中n1+n2+…+n=n h1(x1,x12,…,xn),(i=1,2,…,k) 是实变实值连续函数 随机变量的独立性本质上 是事件的独立性 IUD
随机变量的独立性 电子科技大学 21.2.20 其中 n1 + n2 ++ nk = n . ( , , , ), ( 1,2, , ) 1 2 是实变实值连续函数 h x x x i k i i i i i n = 随机变量的独立性本质上 是事件的独立性