电子科技大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 随机变量的数字特征（3.6）多维正态随机变量

多维正态随机变量 21.2.20 53.6多维正态随机变量 二维正态机变量的已知结论 设二维随机变量(ξ)的联合概率密度为 P(x,y) 2To,0 1-r2ps 2-(x (x-m1)(y-m2),(y-m2 2-7,(x,y)ER 其中m,m2,o1>0a2>0,均为常数<1

多维正态随机变量 电子科技大学 21.2.20 §3.6 多维正态随机变量 一 . 二维正态随机变量的已知结论 设二维随机变量(ξ,η )的联合概率密度为 , ( , ) , ( )( ) ( ) 2 ( ) 2(1 ) 1 exp 2 1 1 ( , ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 x y R x m y m y m r x m r r x y        −  + − − −        − − − − =         , , 0, 0, , 其中m1 m2  1   2  均为常数 r  1

多维正态随机变量 21.2.20 称(,n服从二维正态分布,记为 (2,7)~N( 192902 若(,m)~N(m1,2;m2,O2;r),有下述结论成立 1每个分量服从正态分布(P125例224) 5~N(m1,a72),n~N(m2a2) 2.正态随机变量的线性函数服从正态分布 a5+b~N(m1+b,ao1);(P15565244)

多维正态随机变量 电子科技大学 21.2.20 称(ξ, η)服从二维正态分布，记为 ~ ( , ), 2  N m1  1 ~ ( , ). 2  N m2  2 ( , ) ~ ( , ; , ; ), 2 2 2 2 1 1 若   N m  m  r 有下述结论成立： 1. 每个分量服从正态分布 2. 正态随机变量的线性函数服从正态分布 ~ ( , ); 2 1 2 a + b N am1 + b a  (P155例2.4.4) ( , ) ~ ( , ; , ; ) 2 2 2 2 1 1   N m  m  r (P125例2.2.4)

多维正态随机变量 21.2.20 3.正态分布具有可加性 5+m~N(m1+m2a12+G2) 问题将2和3合起来得到什么结论? 4.正态分布的数字特征: E(4)=m12D(4)=a; E(m)=m2,D()=o2; 5.正态随机变量(,η)的协方差和相关系数分 别为cov(5,m7)=b12=r2,=r

多维正态随机变量 电子科技大学 21.2.20 3. 正态分布具有可加性 ~ ( , ) 2 2 2  + N m1 + m2  1 + 问题 将2和3合起来得到什么结论？ 4. 正态分布的数字特征： ( ) , ( ) ; 2 E  = m1 D  =  1 ( ) , ( ) ; 2 E  = m2 D  =  2 cov( , ) ,   12  1  2 = b = r 5. 正态随机变量(ξ, η)的协方差和相关系数分 别为 = r. 

多维正态随机变量 21.2.20 CoW5,m)=ro1a2(证明见P210) Cov(E, n) 7 roo=r D(4)√D(m)oo2 6.正态随机变量(,)相互独立的充分必要 条件是r=0 从而与相互独立兮均n不相关 白第1条知 P(x, y)=p(x)o(y) r=0

多维正态随机变量 电子科技大学 21.2.20 1 2 Cov(,) = r  （证明见P210） . ( ) ( ) ( , ) 1 2 1 2 r r D D Cov = = =           6. 正态随机变量(ξ, η)相互独立的充分必要 条件是r = 0. (x, y) = (x) ( y)  r = 0.    由第1条知 从而 与相互独立与不相关

多维正态随机变量 21.2.20 7.密度函数的矩阵表示 (5,7)~N(m1, 2902 记「E1[E(m=M均值向量 E 7」LE()」[m2 2 p0协方差短阵 poor O其中c o1>0,a2>0, lrk<1,故协方差矩 J 阵满足Σ0 40p

多维正态随机变量 电子科技大学 21.2.20 记 M m m E E E  =       =       =      2 1 ( ) ( )            = 2 1 2 2 1 2 2 1         ( , ) ~ ( , ; , ; ) 2 2 2 2 1 1   N m  m  r 均值向量 协方差矩阵 其中σ1>0,σ2>0, | r |<1, 故协方差矩 阵满足|Σ|≠0.       = y x X 7. 密度函数的矩阵表示

多维正态随机变量 21.2.20 联合概率密度为 p(x, y) 1(x-m)2 ex 2 270,o, v1-r 2(1-r 2r (x-m1)(y-m2),(y +2,(,y)∈R2 ex (x-M)2-(X-M) 2π∑ 记为(m)~N(M,∑)

多维正态随机变量 电子科技大学 21.2.20 , ( , ) , ( )( ) ( ) 2 ( ) 2(1 ) 1 exp 2 1 1 ( , ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 x y R x m y m y m r x m r r x y        −  + − − −        − − − − =         联合概率密度为       − −  −  = − ( ) ( ) 2 1 exp 2π 1 1 2 1 X M X M 记为(ξ,η) ～N(M, Σ)

多维正态随机变量 21.2.20 多维正态随机变量 定义3.3.5设n维随机变量(1,2,2联 9···9。n 合概率密度为 15~29 ex (X-M)Σ(X-M) (2r)22 其中=(q)是h阶正定对称矩阵,其行列式, X=( 19~29· ),M=(,m2smn) 称(31,2,服从n维正态分布

多维正态随机变量 电子科技大学 21.2.20 二. 多维正态随机变量 定义3.3.5 设 n维随机变量(ξ1 , ξ2 ,…, ξn ) 联 合概率密度为 ( , ,..., )  x1 x2 xn       − −  −  = − ( ) ( ) 2 1 exp (2π) 1 1 2 2 1 n X M X M ( , ,... ) , ( , ,... ) 1 2 1 2 =  =  n M m m mn X x x x 其中Σ=(σij)是n 阶正定对称矩阵,  是其行列式， 称(ξ1 , ξ2 ,…, ξn )服从n维正态分布

多维正态随机变量 21.2.20 1.q(x1,x2y…,xn)是概率密度 证明Σ是正定阵,存在正交矩阵T使 0 CETET 0 n →∑=TCT" Cs}z>0,i=1,2,…,n =T2-T 令X-M=T"Y,有 p(ux 19~29·°9n R

多维正态随机变量 电子科技大学 21.2.20 1.(x1 , x2 ,..., xn )是概率密度； 证明 Σ是正定阵，存在正交矩阵T 使 c i n c c C T T i i nn , 0, 1,2, , 0 0 2 2 2 1 1   =            =  = TCT C T T 1 1 , − −   =  =  令 X − M = TY ，有 x x xn dx dxn Rn  ( 1 , 2 ,..., ) 1 

多维正态随机变量 21.2.20 1m2 ex YY}d1… (2丌) R exp(-32)y1=1 √2πc;-∞ 2 注着式中行列式=0,n元概率密度无意 义,(31,2,5)可能服从退化正态分布或奇 异正态分布 2.M=(m1,m2y…,mn)是(1,2…,n)的均值 向量即 E(5;)=m1,i=1,2,…,n

多维正态随机变量 电子科技大学 21.2.20 n R n Y Y dy dy n  1 1  2 2 1 exp (2π) 1 2 1       −   = −   ) 1 2 exp( 2π 1 2 2 1 = − =    − = i i i n i i dy c y c 注 若式中行列式 , n元概率密度无意 义, (ξ1 , ξ2 ,…, ξn )可能服从退化正态分布或奇 异正态分布.  = 0 ( ) , 1,2, , ; , 2. ( , ,..., ) ( , , , ) 1 2 1 2 E m i n M m m m i i n n   = = =       向 量 即 是 的均值

多维正态随机变量 21.2.20 3.Σ=(o)是(3,2…,)的协方差矩阵,即 oi=E{5;-E(川l;-E(5;)B,i,j=1,2,…,n 注n维正态随机变量的分布由一阶矩和二 阶矩完全确定 定理342设(1,42,)服从m维正态分 布,且D(2)>0,÷=1,2,…,,以下命题等价 1.51,2…,相互独立;

多维正态随机变量 电子科技大学 21.2.20 3. Σ=(σij)是(ξ1 , ξ2 ,…, ξn )的协方差矩阵，即  i j = E{[ i − E( i )][ j − E( j )]}, i, j = 1,2,  ,n 注 n维正态随机变量的分布由一阶矩和二 阶矩完全确定. 定理3.4.2 设(ξ1 , ξ2 ,…, ξn )服从n维正态分 布, 且D(ξi )>0，i=1,2, …,n,以下命题等价： 1. ξ1 , ξ2 ,…, ξn相互独立；