第三章函数的极限与连续性
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 第一节函数的极限 前面讨论了数列xnf(m)的极限,它是函 数极限中的特殊情形,特殊性在于:n只取自 然数,且n趋于无穷大 现在讨论yf(x)的极限,自变量x大致有 两种变化形式(1)x→>∞,(2)x-x0(有限数 并且,x不是离散变化的,而是连续变化的 OD 高等數粤
前面讨论了数列xn =f (n)的极限, 它是函 数极限中的特殊情形, 特殊性在于: n只取自 然数, 且n趋于无穷大. 现在讨论y=f (x)的极限, 自变量x大致有 两种变化形式. (1) x→, (2) x→x0 (有限数). 并且, x不是离散变化的, 而是连续变化的. 第一节 函数的极限
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG x->o时,fx)的极限 定义1.设f(x)在(M,+∞)(或(-∞,-M内有定义, 若∨E>0,3X>0,当x>(或x-∞)时 的极限,记作 imf(x)=a也可记为f(x)→>an,(x-)+∞) x→)+o limf(x)=a也可记为f(x)>a,(x→>-∞) OD 高等數粤
一、x→时, f(x)的极限 定义1. 设f (x)在(M, +) 内有定义, f x a x = →+ lim ( ) 也可记为 f (x)→a, (x→+) 若 >0, X >0, 当x>X (或x<−X)时, 相应的函数值f (x)满足| f (x)−a |<. 则称常数a为f (x)当x→+ 时 的极限, 记作 (或(−−)) (或x→−) f x a x = →− ( lim ( ) 也可记为 f (x)→a, (x→−))
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 此时也称当x)+∞(x-)-∞)时,f(x)的极限 存在.否则,称它的极限不存在 若∨E>0,3X>0,当xX(或x0,彐正整数N,使得当n>N时,都 有nc以<6.=xmi呗 OD 高等數粤
此时也称当x→+(x→–)时, f (x)的极限 存在. 否则, 称它的极限不存在. f x a x x = →− →+ lim ( ) ( ) 则记 若 >0, X >0, 当x>X (或x0, 正整数N, 使得当n>N 时, 都 有|xn−a|<, . a n x lim n = → 则记
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 注1.将这个定义和数列极限定义相比较, 就是将xnf(n)换成了f(x).将“3正 整数N换成“彐实数X>0:但是,数 列极限中n是离散变化的,而这里x是 连续变化的 OD 高等數粤
注1. 将这个定义和数列极限定义相比较, 就是将xn =f (n)换成了f (x). 将“ 正 整数N”换成“ 实数X >0”.但是, 数 列极限中n是离散变化的, 而这里x是 连续变化的
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 若VE>0,彐X>0,当x>X 例1.证明lima=0, (或xlo 取X=logE 则当x>时有|a2-0kE x→>+ 故 lim a=0.看图 x→)+0 高等歐學
例1. 证明 lim = 0, →+ x x a 其中 00, X >0, 当x>X (或x<−X) 时, 有|f (x)−a |<
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 定义2.设f(x)在(-0,-M(M,+∞)内有定义 若∨E>0,3X>0,当x>时,相应的函 数值满足 f(rake 则称a为f(x)当x->∞时的极限,记作 imf(x)=a或∫(x)→>a,(x→>∞) 由定义1,2可知 lim f (x=a e lim f (x)=lim f(x=a x→00 OD 高等數粤
定义2. 设f (x)在(−, −M) (M, +)内有定义. 若 >0, X >0, 当|x|>X时, 相应的函 数值满足 | f (x) −a |< 则称a为 f (x)当x→时的极限, lim ( ) = ( ) → ,( → ) → f x a f x a x x 或 由定义1, 2可知 f x a f x f x a x x x = = = → →+ →− lim ( ) lim ( ) lim ( ) 记作
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG limf(x)=a的几何意义 1. lim f(x=a x→)+∞ 直观地,limf(x)=a表示当自变量x无限 增大时,曲线y=f(x)上的对应点的纵坐标f(x)会 无限接近于数a 从而曲线y=f(∞x)会越来越贴近直线y=a 即,当x无限增大时,曲线y=f(x)以直线y=a为 渐近线 OD 高等數粤
lim f (x) a的几何意义. x = → f x a x = →+ 1. lim ( ) 直观地, 表示当自变量 x 无限 增大时, 曲线 y = f (x)上的对应点的纵坐标f (x)会 无限接近于数a. f x a x = →+ lim ( ) 从而曲线 y = f (x)会越来越贴近直线 y=a . 即, 当x无限增大时, 曲线 y = f (x)以直线 y=a为 渐近线
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 如图 y=f(r) 按极限定义,lmf(x)=a就是vE>0,3X>0,当x>X时, 有|f(x)-akE.即a-E<f(x)<a+E OD 高等數粤
如图 a x yo | ( ) | . , lim ( ) 0, 0 , − = →+ f x a f x a X x X x 有 按极限定义 就是 ，当 时 即,a − f (x) a + . y = f (x )
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 因此,1imf(x)=a的几何意义是 x→>+∞ 任作直线y=atE(v8>0),都存在X>0.当 x>X时,函数y=f(x)的图形夹在这两直线之间 如图 y=f(r) a-8 X X OD 高等數粤
因此 f x a的几何意义是 x = →+ , lim ( ) 任作直线 y = a. ( > 0), 都存在X > 0. 当 x > X 时, 函数 y = f (x)的图形夹在这两直线之间. 如图 a x y o a+ a− X y = f (x)