第四章一元函数的导数和微分
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 54-1导数的概念 导数概念的引入 例1.变速直线运动的速度 物体作匀速直线运动时,有速度=路程 时间 即=3这一速度其实是物体走完某一段路程 的平均速度,平均速度记作V.由于匀速运动物 一体的速度是不变的,因此V=V OD 高等數粤
例1. 变速直线运动的速度 物体作匀速直线运动时, 有 ， 时间 路程 速度＝ T S 即V = 这一速度其实是物体走完某一段路程 的平均速度，平均速度记作V. 由于匀速运动物 体的速度是不变的，因此 V = V . §4－1 导数的概念 一、导数概念的引入
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 由于变速直线运动物体的速度(t)是变的 因此,用这个公式算出的平均速度V不能真实反 映物体在时刻t的瞬时速度()如何求t)? 设一物体作变速直线运动,在[0,4这段时间 内所走路程为S=S().下求V(t)如图 s(to) S(to+△t) OD 高等數粤
由于变速直线运动物体的速度 V(t) 是变的， 因此，用这个公式算出的平均速度V不能真实反 映物体在时刻 t0 的瞬时速度 V(t0 ).如何求V(t0 )? 设一物体作变速直线运动，在[0, t]这段时间 内所走路程为 S = S(t). 下求V(t0 ) 如图 • • • S S(t0 ) S(t0+t) 0
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 设物体在t时,所走路程为S(),在to+△t 时所走路程为S(t+△),从而,物体在[to,l0+△ 这段时间内所走路程为 △S=S(to+△)-S() 物体在[t,t+△这段时间内的平均速度为 △S △t OD 高等數粤
设物体在 t0 时，所走路程为 S(t0 )，在 t0+t 时所走路程为 S(t0+t)，从而，物体在 [t0 , t0+t] 这段时间内所走路程为 S = S (t0+t) − S (t0 ) 物体在 [t0 , t0+t] 这段时间内的平均速度为 t S V =
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG △S △t △S △越小,近似值 △t 就越接近精确值κ(o) 当△无限变小时,近似值一就会无限接近 △t 精确值κ(o).也就是 △S S(t0+△)-S(t0) △tM→>0 △t OD 高等數粤
( ) . 0 t S V t V = t越小，近似值 t S 就越接近精确值V(t0 ). 当t无限变小时，近似值 t S 就会无限接近 也就是 t S V t t = →0 0 ( ) lim 精确值V(t0 ). t S t t S t t + − = → ( ) ( ) lim 0 0 0
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例2.曲线的切线斜率 圆的切线可定义为“与曲线(圆)只有一个交 点的直线”,但对一般曲线而言.这一定义是不 合适的如y=x2,x轴和y轴与曲线都只有一个交 点,以哪条直线作为切线呢?如图 X OD 高等數粤
例2. 曲线的切线斜率 圆的切线可定义为“与曲线(圆)只有一个交 点的直线”，但对一般曲线而言. 这一定义是不 合适的.如y=x 2 , x 轴和 y 轴与曲线都只有一个交 点，以哪条直线作为切线呢？如图 y=x 2 0 x y
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 又如,y=x3,如图又比如, sinx,如图 -sinx 2 从直观上看,应以y=1作为y=snx在处的 切线,但y=1与曲线y=snx有无穷多交点 OD 高等數粤
又如，y = x 3 , 如图 又比如，y=sinx, 如图 1 sin . 2 1 sin 切线，但 与曲线 有无穷多交点 从直观上看，应以 作为 在 处的 y y x y y x = = = = 0 x y=x 3 y 0 x y y=sinx 1 –1 2
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 切线的一般定义:如图 设有曲线C及C上一点M,y 在M点外任取C上一点N 作割线M,当点N沿曲 N∠T 线C趋向点M时,如果割 线MN趋向于它的极限位 置MT,则称直线MT为曲 0 线C在点M处的切线 OD 高等數粤
切线的一般定义：如图 设有曲线 C 及 C上一点 M ， 在 M点外任取 C上一点 N ， 作割线MN ，当点 N沿曲 线 C趋向点 M时，如果割 线MN趋向于它的极限位 置MT，则称直线MT为曲 线C在点M处的切线. T M x y0 N C N
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 下面讨论曲线C:y=f(x)在点Mx2y)处的 切线斜率问题 yf(x) 设N的坐标为 (x+Ax,y+2y),割)+y 线M的倾角为 M P 切线M的倾角为 6 6.如图 X 0x0+△x OD 高等數粤
下面讨论曲线C：y = f (x), 在点M(x0 , y0 )处的 切线斜率问题. 设N的坐标为 (x0+x, y0+y), 割 线MN的倾角为, 切线MT的倾角为 . 如图 T y=f (x) M x x0 x0+x x y 0 N C y0+y y0 P
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG yf(x) 割线M的斜率 y+△y k= tgp T NP△y M Jy P MP△x f(x0+△x)-f(x)0 Xo xo+ r t △x 当Ax→>0时,N沿C趋于M,M→M 从而q→>.因此, tgo>tg0 OD 高等數粤
割线 MN 的斜率 k = tg 当x→0 时, N 沿 C 趋于M, MN → MT. 从而→. 因此, tg→tg. T y=f (x) M x x0 x0+x x y 0 N C y0+y y0 x f x x f x + − = ( ) ( ) 0 0 MP NP = x y = P