习题四解答 1.下列数列{an}是否收敛?如果收敛,求出它们的极限: 1)a 2)an=1+ 3)an=(-1)+-,;4)an=eml2 解1)o1+m_1-n2,2n i,又lim 1+n2 =0,故a,收敛 lim a=-1 2)an=1+ 2 又lm √5 0,故an收敛, lim a=0 3)由于an的实部{-1}发散,故an发散 4)由于α=e-m/2=cos"z- isin-,其实部、虚部数列均发散,故α发散 5)a.=-e =-cos--1—Sin n,知lim-cOs m-sin- 故a收敛,li 2.证明 lake lim a"= a= 不存在,|a|=1,a≠1 3.判断下列级数的绝对收敛性与收敛性: LIL ( 2) 3)S6+5):4)S cos In In/ p cOS op sIn cos -+Isin-, ∑—2与∑—2-为收敛的交错项实级数 所以∑收敛,但凹=1,故∑ 发散,原级数条件收敛
习题四解答 1．下列数列{ } αn 是否收敛？如果收敛，求出它们的极限： 1） 1 i 1 i n n n α + = − ；2） i 1 ; 2 n αn − ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3） i ( 1) ; 1 n n n α = − + + 4） ；5） n i / 2 n e π α − = 1 n i / 2 n e n π α − = 解 1） 2 2 2 1 i 1 2 i 1 i 1 1 n n n n n n n α + − = = + − + + ，又 2 2 1 2 lim 1,lim 0 n n 1 1 n n →∞ n n →∞ − 2 = − = + + ，故αn 收敛， lim 1 n n α →∞ = − 2） i 2 1 2 5 n n i n e θ α − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − = + ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ，又 2 lim 0 5 n i n e− θ →∞ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ，故αn 收敛，lim 0 n n α →∞ = 3）由于αn 的实部{( 1) } n − 发散，故αn 发散 4）由于 i / 2 cos isin 2 2 n n n n e π π π α − = = − ，其实部、虚部数列均发散，故αn 发散 5） 1 1 i / 2 1 cos i sin 2 2 n n n n e n n n π π π α − = = − ，知 1 1 lim cos 0,lim sin 0 n n 2 2 n n n n π π →∞ →∞ = = ， 故αn 收敛， lim 0 n n α →∞ = 2．证明： 0, | |1, lim 1, 1, | |=1, 1. n n α α α α α α →∞ ⎧ ⎪ ⎪∞ = ⎨ = ⎪ ⎪ ⎩不存在， ≠ 3．判断下列级数的绝对收敛性与收敛性： 1） 1 i n n n ∞ = ∑ ； 2） 2 i ln n n n ∞ = ∑ ； 3） 1 (6+5i) 8 n n n ∞ = ∑ ； 4） 2 cosi 2n n n ∞ = ∑ 。 解 1）由i cos isin 2 2 n n n π π = + ， 1 cos 2 n n n π ∞ = ∑ 与 1 sin 2 n n n π ∞ = ∑ 为收敛的交错项实级数， 所以 1 i n n n ∞ = ∑ 收敛，但 i 1 n n n = ，故 1 i n n n ∞ = ∑ 发散，原级数条件收敛； 1
2)与1)采用同样的方法,并利用,≥-(n≥2) Inn n 3)因 6+51) (6+5i) 绝对收敛 4)因csin=chm,而lmcm≠0,故∑Sm发散 4.下列说法是否正确?为什么? (1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 (2)每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点: (3)每一个在二连续的函数一定可以在二的邻域内展开成 Taylor级数 解(1)不对。如∑二在收敛圆<1内收敛,但在收敛圆周|=1上并不收敛: (2)不对。幂级数的和函数在收敛圆内为解析函数,不能有奇点 (3)不对。如f()=在全平面上连续,但它在任何点的邻域内均不能展开成 Taylor级 数 5幂级数∑cn(2-2)能否在=0收敛而在z=3发散? 解不能。因如∑cn(-2)在:=0收敛,则由Abel定理其收敛半径 R≥0-2=2,而B-21=1<2即==3在其收敛圆|-2k2内,故级数∑cn(-2)在 =3收敛,矛盾。 6.求下列幂级数的收敛半径: (1)∑(p为正整数):(2)y(n)2 (3)∑(1+1)”=n n=I n (4) 1) 解(1)R=l/lim limOn=1
2）与 1）采用同样的方法，并利用 1 1 ( 2 ln n n n ≥ ≥ )； 3）因 (6+5i) 61 8 8 n n n ⎛ ⎞ = ⎜ ⎜ ⎝ ⎠⎟ ⎟ ，而 1 61 8 n n ∞ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ 收敛，故 1 (6+5i) 8 n n n ∞ = ∑ 绝对收敛； 4）因cosin = chn ，而 ch lim 0 2n n n →∞ ≠ ，故 2 cosi 2n n n ∞ = ∑ 发散。 4．下列说法是否正确？为什么？ （1）每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛； （2）每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点； （3）每一个在 z0 连续的函数一定可以在 z0 的邻域内展开成 Taylor 级数。 解（1）不对。如∑ 在收敛圆 ∞ n=0 n z z < 1内收敛，但在收敛圆周 z = 1上并不收敛； （2）不对。幂级数的和函数在收敛圆内为解析函数，不能有奇点； (3)不对。如 f (z) = z 在全平面上连续,但它在任何点的邻域内均不能展开成 Taylor 级 数。 5.幂级数 ( 能否在 收敛而在 0 2 n n n c z ∞ = ∑ − ) z = 0 z = 3发散？ 解 不能。因如 ( ) 在 0 2 n n n c z ∞ = ∑ − z = 0 收敛，则 由 Abel 定理其收敛 半 径 R ≥ 0 − 2 = 2 ，而 3 − 2 = 1 < 2 即 z = 3 在其收敛圆| z − 2 |< 2 内，故级数 在 收敛，矛盾。 ( ) 0 2 n n n c z ∞ = ∑ − z = 3 6．求下列幂级数的收敛半径： （1） 1 ( ) n p n z p n ∞ = ∑ 为正整数 ； （2） 1 ! n n n n z n ∞ = ∑ （ ）2 ； （3） ； 0 1 )n n n i z ∞ = ∑（＋ （4） 1 i n n n e z ∞ π = ∑ ； （5） 1 i ch ( 1) n n z n ∞ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ∑ ； （6） 1 ln i n n z n ∞ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ 。 解 （1） 1/ lim lim 1 n p n n n n R a n →∞ →∞ = = = ； 2
(2)R=1/lim =Im lim -n=0 (3)R=1/lim vla I =liml/|1+i|=1/ (4)R=l/lim va, =l R=1/lim 1/lim alch 1/ lima/cos-=l (6)R=1/lim vla, =lim(In inI=co 7.如果∑cn”的收敛半径为R,证明级数∑(Recn)=”的收敛半径≥R 证明对于圆|=kR内的任意一点z,由已知∑-”绝对收敛即∑cn收敛,又 因Re|sn},从而 Recm=slc,‖=P,故由正项级数的比较判别法∑Recn也 收敛即∑(Rec2)”在=kR内绝对收敛,于是其收敛半径≥R 8.证明:如果lm存在(≠∞),下列三个幂级数有相同的收敛半径 ∑c2":∑ 证明设lim==P,则幂级数∑C2"的收敛半径为/l 幂级数∑=1的收敛半径为R=lm/an1cnn+1)=1/1 n+1 cn/(n+2) 幂级数∑mc;的收敛半径为R=/imn=lmn=1pl n-y an+o(n+1)c 故以上三个幂级数有相同的收敛半径。 9.设级数∑cn收敛,而∑|c1发散,证明∑cn="的收敛半径为1
（2） 1 1 1 (1 ) 1/ lim lim lim 0 1 n n n n n n n n a a n R a a n + →∞ →∞ →∞ + + = = = + = ; （3） 1/ lim n lim1/ |1 i | 1/ 2 n n n R a →∞ →∞ = = + = ； （4） 1/ lim n 1 n n R a →∞ = = ； （5） 1 1/ lim n 1/ lim n ch 1/ lim n cos 1 n n n n i R a →∞ →∞ n n →∞ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ = ； （6） 1/ lim lim | ln i | n n n n R a n →∞ →∞ = = = ∞ ; 7．如果 的收敛半径为 R，证明级数 的收敛半径 0 n n n c z ∞ = ∑ ( ) 0 Re n n n c z ∞ = ∑ ≥ R 。 证明 对于圆| z |< R 内的任意一点 z，由已知 绝对收敛即 0 n n n c z ∞ = ∑ 0 n n n c z ∞ = ∑ 收敛，又 因 Re n c ≤ cn ，从而 Re | || | n n n n c z ≤ c z ，故由正项级数的比较判别法 0 Re n n n c z ∞ = ∑ 也 收敛即 ( ) 在 0 Re n n n c z ∞ = ∑ | z |< R 内绝对收敛，于是其收敛半径≥ R 。 8．证明：如果 1 lim n n n c c + →∞ 存在（ ≠ ∞ ），下列三个幂级数有相同的收敛半径 n n ∑c z ； 1 1 cn n z n + + ∑ ； n 1 n nc z − ∑ 。 证明 设 1 lim n n n c c ρ + →∞ = ，则幂级数 的收敛半径为1/ n n ∑c z | ρ | ； 幂级数 1 1 cn n z n + + ∑ 的收敛半径为 1 1 /( 1) 1/ lim lim 1/ | | /( 2) n n n n n n a c n R a c n ρ + →∞ →∞ + + = = = + ； 幂级数 的收敛半径为 n 1 n nc z − ∑ 1 1 1/ lim lim 1/ | | ( 1) n n n n n n a nc R a n c ρ + →∞ →∞ + = = = + ； 故以上三个幂级数有相同的收敛半径。 9．设级数 收敛，而 0 n n c ∞ = ∑ 0 n n c ∞ = ∑ 发散，证明 0 n n n c z ∞ = ∑ 的收敛半径为 1。 3
证明由级数∑cn收敛,知幂级数∑cn"在二=1处收敛,由Abe定理知∑cn 的收敛半径R21:而∑kn发散知∑|cn="|在1=|=1处发散,故∑cn”的收敛半径 R≤1。所以∑cn”的收敛半径为1 10.如果级数∑cn”在它的收敛圆的圆周上一点二处绝对收敛,证明它在收敛圆所 围的闭区域上绝对收敛。 证明由Abel定理知∑cn"在其收敛圆内绝对收敛,再证其在圆周上绝对收敛即 可。在圆周上任取一点,∑|cn”=∑c-|,知∑cn”绝对收敛,故结论成立 11.把下列各函数展开成z的幂级数,并指出它们的收敛半径。 (1) 1+4 +:)2:(3)c02:(4)$hz (5)chz;(6) 2sin2:(7)e;(8)sm、 解(1)由,1=1-2+2-2+…l=k1,故 1+ (-1) 而收敛半径R=1 (2)因1=1 1+= 2-x3+…+(-1)=+…,|=k1 故 +-) 3)因c:12+4+…故1-2+-+
证明 由级数 0 n n c ∞ = ∑ 收敛，知幂级数 0 n n n c z ∞ = ∑ 在 z =1处收敛，由 Abel 定理知 的收敛半径 0 n n n c z ∞ = ∑ R ≥1；而 0 n n c ∞ = ∑ 发散知 在 0 | | n n n c z ∞ = ∑ | | z =1 处发散，故 0 n n n c z ∞ = ∑ 的收敛半径 R ≤1。所以 的收敛半径为 1。 0 n n n c z ∞ = ∑ 10．如果级数 0 n n n c z ∞ = ∑ 在它的收敛圆的圆周上一点 处绝对收敛，证明它在收敛圆所 围的闭区域上绝对收敛。 0 z 证明 由 Abel 定理知 在其收敛圆内绝对收敛，再证其在圆周上绝对收敛即 可。在圆周上任取一点 0 n n n c z ∞ = ∑ η ， 0 ，知 0 0 | | | n n n n n n c c η ∞ ∞ = = ∑ = ∑ z | 0 n n n c η ∞ = ∑ 绝对收敛，故结论成立。 11．把下列各函数展开成 z 的幂级数，并指出它们的收敛半径。 （1） 3 1 1 + z ；（2） ( )2 2 1 1 + z ；（3）cos z 2 ；（4）sh z ； （5）ch z ；（6） sin 2 ；（7） 2 e z z 1 z z e − ；（8） 1− z 1 sin 解 （1）由 1 ,| | 1 1 1 2 3 = − + − + < + z z z z z " ，故 = − + − +…+ ( ) − +… + n n z z z z z 3 6 9 3 3 1 1 1 1 ，| z |< 1， 而收敛半径 R=1； （2）因 = − + − +…+ ( ) − +… + n n z z z z z 1 1 1 1 2 3 ，| z |< 1， 故 = − + +…+ ( ) − +… + n n z z z z 2 4 2 2 1 1 1 1 ，| z |< 1， 又因 ⎟′ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 z ( ) 2 2 1 2 z z + − = ， ( ) ⎟′ = − + − +… ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = − + 2 4 6 2 2 2 1 2 3 4 1 1 2 1 1 1 z z z z z z ，| z |< 1， 而 R =1； （3）因 , , 2! 4! 6! cos 1 2 4 6 = − + − +… z < ∞ z z z z 故 = − + − +" 2! 4! 6! cos 1 4 8 12 2 z z z z 4
zk<+∞而其收敛半径R=+∞; (4)因shz=e-e 2c=1++57+3+…k+,2x <+∞0 故 shz=z+-++…,|-k+∞,而收敛半径R=+0 (5)chz=1+++…,|k+∞ (6)因c2=1+2+5++,,k+如n=2=2-++…!k+ 故e2snx2=|1+2+++…∥-:5+ +z4+-+…,|-k< 而收敛半径R=+∞ (7)因e=1+二+5++…,|k+∞, ∑=1k1 C∑=)2C= ∑ n+1+-n=0-n=0 +…|=k1, 而收敛半径R=1。 (8)因sin Sin l cos +cos l sin ∑="1=k1 故sn=(+2+2+}1(+2+2+.)+…=+2+5=3+…,1=k1 2-+2 十 故 =sin1==+.+cos 12+=2+ 5 =sin 1+(cos 1)=+ cos1-3sinI 而收敛半径R=1 12.求下列各函数在指定点0处的 Taylor展开式,并指出它们的收敛半径:
| z |< +∞ 而其收敛半径 R = +∞ ； （4）因 ,| | , 2! 3! , 1 2 sh 2 3 = + + + +… < +∞ − = − z z z e z e e z z z z ,| | , 2! 3! 1 2 3 = − + − +… < +∞ − z z z e z z 故 ,| | , 3! 5! sh 3 3 = + + +… z < +∞ z z z z 而收敛半径 R = +∞ ； （5） 2 4 ch 1 ,| | , 2! 4! z z z z = +++… < +∞ （6）因 ,| | , 2! 3! 1 4 6 2 2 = + + + +… z < +∞ z z e z z ,| | , 3! 5! sin 6 10 2 2 = − + +… z < +∞ z z z z 故 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ − + +… ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + + + +… 3! 5! . 2! 3! sin 1 6 10 2 4 6 2 2 2 z z z z z e z z z ,| | , 3 6 2 4 = + + +… z < +∞ z z z 而收敛半径 R = +∞; （7）因 2 3 1 ,| 2! 3! z z z e z = + + + +… z |< +∞, 2 3 1 0 ,| | 1, 1 n n z z z z z z z ∞ + = = − − − −…= − < − ∑ 故 1 2 1 3 2 3 1 1 0 0 0 ( ) ( ) 1 1 2! 3! 2! 3! n n z z n n n n z z z z e z z ∞ ∞ + + ∞ − + = = = = − + − + = − − − + < ∑ ∑ ∑ " ",| z | 1， 而收敛半径 R=1。 （8）因 , 1 cos1sin 1 sin1cos 1 sin 1 1 1 sin z z z z z z z − + − ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = + − ,| | 1, 1 0 2 3 1 = + + +…= < − ∑ ∞ = + z z z z z z z n n 故 = ( ) + + +… − ( ) + + +… +… − 3 2 3 2 3 3! 1 1 sin z z z z z z z z = + 2 + 3 +… 6 5 z z z ，| z |< 1， = − ( + + +…) − ( ) + + +… +… − 4 2 3 2 2 3 4! 1 2 1 1 1 cos z z z z z z z z = − 2 − 3 +… 2 1 1 z z ，| z |< 1， 故 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + + + +… ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − − +… − 2 3 2 3 6 5 cos1 2 1 sin1 1 1 1 sin z z z z z z = ( ) cos1 sin1 ,| | 1 6 5 sin1 2 1 sin1 cos1 cos1 2 3 ⎟ + < ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + z + − z z " z ， 而收敛半径 R=1。 12．求下列各函数在指定点 z0 处的 Taylor 展开式，并指出它们的收敛半径： 5
(1) (z+1)(+2) (3)1 (4) (5)tan:, =0=T/4 (6) arctan:, =0=0 及 zk1。故 (-) +(-1)y (- 于是收敛半径R=2 (2)因 2 (=+1)(=+2)2(x+2x+1)二+2+1 及 故原式=21- (-2) (- 2),|z-2k3,而R 故 2(=+)+…+n( (n+1Xx+1,1z+1k R
（1） 1 1 + − z z ， z0 = 1 （2） ( ) z +1 (z + 2) z ， z0 = 2 （3） 2 1 z ， z0 = −1 （4） 4 3z 1 − ， 1 i z0 = + （5） tan z ， 0 z = π / 4 （6）arctan z ， 0 z = 0 解 （1）因 ( )( ) 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 − + − = − + = − + − z z z z z z 及 1 ,| | 1 1 1 2 3 = − + − + < + z z z z z " 。故 ( ) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ − + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − − − = + − − − " " 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 n z z z n z z z " ( ) ⎟ +" ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ + + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = − n z z n z 2 1 1 2 1 2 1 1 2 ( ) ( ) n n n n z 1 2 1 1 1 − − = ∑ ∞ = − ， | z −1|< 2 于是收敛半径 R=2。 （2）因 ( )( ) 1 1 2 2 1 2 2 4 2 1 1 2 + − + ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + = z + z + z z z z z 及 ( ) 4 2 1 1 4 1 4 2 1 2 1 − + = + − = z + z z , | 2 | 4 4 2 4 2 1 4 1 2 − < ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − = − z z z " ( ) 3 2 1 1 3 1 3 2 1 1 1 − + = + − = z + z z = , | 2 | 3 3 2 3 2 1 3 1 2 − < ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − − z z z " 故原式 ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − − − = − ⋅ " 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 4 2 z z ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + − − − 2 " 2 3 2 3 2 1 3 1 z z = ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ∞ = ∞ = − − − − − 0 0 2 3 1 2 3 1 2 1 2 2 1 n n n n n n n n z z ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ( ) ∞ = + ∞ = + − − − − − = 0 1 0 2 1 2 3 1 2 2 1 n n n n n n n n z z ∑( ) ( ) ∞ = + + ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − − 0 2 1 1 2 3 1 2 1 1 n n n n n z ，| z − 2 |< 3，而 R = 3。 （3）因 ⎟′ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − z z 1 1 2 及 ( ) = −[ + ( ) + + ( ) + +"] − + = − 2 1 1 1 1 1 1 1 z z z z ， | z +1|< 1， 故 = + ( ) + +"+ ( ) + +" −1 2 1 2 1 1 1 n z n z z ∑( )( ) ∞ = = + + 0 1 1 n n n z ，| z +1|< 1， 而 R=1。 6
(4)因 4-3:4--(+)-3-3i1-3--(+ 1-31-3[-(+1-3 其中 1,故 -(+i,|z-0+ 且收敛半径R=Y10 (5)因tanz=z+ 1+tan(二-) 1-tan(z-学) tan=[+tan(二-)](+tan(-于)+tan2(二-哥)+ =1+2(-xz)+2(=-z)2+9(=-z)+…,且收敛半径R=z。 (6)因( arctan)'= 又 ,|-k1,故 arctan 51+==∑1y2=∑(- K<I 2n+1 且收敛半径R=1。 13.为什么在区域|二kR内解析且在区间(-R,R)取实数值的函数f(=)展开成二的 幂级数时,展开式的系数都是实数? 解f(-)展开成二的幂级数时,展开式的系数为cn-m!’而函数f()在区间 (-R,R)取实数值,可知∫"(O)也为实数。故展开式的系数都是实数。 4.证明在f(二)=cos(二+-)以二的各幂表出的洛朗展开式中的各系数为 cos(2cos6)cosn6d6,(n=0,±1,±2,…) 证明f(二)=cos(z+-)在复平面内出去点z=0外解析,所以在04=k+∞内可 展开成洛朗级数cos(二+-) n,其中 =①
（4）因 4 3[ ] ( ) 1 i 3 3i 1 4 3 1 − − + − − = − z z 1 3i 3[ ] ( ) 1 i 1 − − − + = z [ ] ( ) 1 i 1 3i 3 1 1 1 3i 1 − + − − − = z [ ] ( ) [ ( )] ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ − + + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + + − + − = " 2 2 1 i 1 3i 3 1 i 1 3i 3 1 1 3i 1 z z ， 其中 [ ( ) 1 i ] 1 1 3i 3 − + < − z ，故 ( ) [ ] ( ) n n n n z z 1 i 1 3i 3 4 3 1 0 1 − + − = − ∑ ∞ = + ， ( ) 3 10 3 1 3i | 1 i | = − z − + < ， 且收敛半径 3 10 R = 。 （5）因 3 2 5 tan ,| | 3 15 2 z z z z z π = + + +" < ，又 4 4 1 tan( ) tan 1 tan( ) z z z π π + − = − − ，故 2 4 4 4 tan z z [1 tan( )](1 tan(z ) tan (z ) ) π π π = + − + − + − +" ＝ 2 8 3 1 2( ) 2( ) ( ) , 4 4 3 4 z z z π π π + − + − + − +" 且收敛半径 4 R π = 。 （6）因 2 1 (arctan )' 1 z z = + ，又 2 4 2 1 1 , 1 z z z z = − + − | |<1 + " ，故 2 1 2 2 0 0 0 0 1 arctan ( 1) ( 1) 1 2 n z z n n n n z z dz z dz z n 1 ∞ ∞ + = = = − = − + + ∫ ∫ ∑ ∑ ，| | z <1， 且收敛半径 R =1。 13．为什么在区域| | z < R 内解析且在区间 ( , −R R) 取实数值的函数 f (z) 展开成 的 幂级数时，展开式的系数都是实数？ z 解 f (z)展开成 z 的幂级数时，展开式的系数为 ( ) (0) ! n n f c n = ，而函数 f (z)在区间 ( , −R R)取实数值，可知 也为实数。故展开式的系数都是实数。 ( ) (0) n f 14．证明在 1 f z( ) cos(z ) z = + 以 z 的各幂表出的洛朗展开式中的各系数为 2 0 1 cos(2cos ) cos ,( 0, 1, 2, ) 2 n c n d n π θ θ θ π = = ∫ ± ± " 。 证明 1 f z( ) cos(z ) z = + 在复平面内出去点 z = 0外解析，所以在 内可 展开成洛朗级数 0 | < < z | +∞ 1 cos( ) n n n z c z ∞ =−∞ + = ∑ z ，其中 7
coS(z+ d=,(n=0,±1,±2,…01),因此不能相加。 16.把下列各函数在指定的圆环域内展开成 Laurent级数 E2+ 1<=k2; (2)0-,04k10kl (3) ,0<-1k1,1<-2 <+0 (4)el (5) 在以i为中心的圆环域内6)sin (7) (二-1)(二-2) 3<zk4,44-k 解(1)因 (x2+1)(z-2)x2+1x2+1z-2 故 21 +1)(=-2)5x
1 | | 1 cos( ) 1 ,( 0, 1, 2, ,0 ) 2 n n z r z z c dz n πi z + = + = = ± ± 1），因此不能相加。 16．把下列各函数在指定的圆环域内展开成 Laurent 级数。 （1） ( ) 1 ( ) 2 1 2 z + z − ，1 <| z |< 2 ； （2） ( )2 1 1 z − z ，0 <| z |< 1,0 <| z −1|< 1； （3） ( )( ) < − < < − < +∞ − − ,0 | 1| 1,1 | 2 | 1 2 1 z z z z （4） 1 1 z e − ，1 <| z |< +∞ （5） 2 1 z z( i − ) ，在以i 为中心的圆环域内 （6） 1− z 1 sin ，0 <| z −1|< +∞ （7） ( 1)( 2) ,3 | | 4,4 | | ( 3)( 4) z z z z z z − − < < < < + − − ∞ 解 （1）因 2 5 1 1 5 2 1 5 1 ( 1)( 2) 1 2 2 2 − + + − + + − = + − z z z z z z 故 2 1 1 10 1 1 1 1 1 5 2 1 1 1 1 5 1 ( 1)( 2) 1 2 2 2 2 2 z z z z z z z z − − + − + = − ⋅ + − 8
∑(-y (-1) 1、二n (-) (-1 21111 +5x+-2-2-10-20-40-80-1k2 (2)在0<=k1内, (1-x) 1+2+32+…+(+)=+…=∑+ 1内 (-1)(z-1) (-)(=-1) (3)0<z-1k1内 -(=-1) ∞ 内 (-1(x-2)z-2z-1-2(-2)+1 z-2x-2 ∑-y 1+r-r ∑-y (4)在14k+内,因 +2*)=
∑ ∑ ( ) ∑( ) ∞ = ∞ = ∞ = = − ⋅ − − − − 0 0 0 2 1 2 2 2 10 2 1 1 1 5 1 2 1 1 5 1 n n n n n n n n z z z z z z ∑( ) ∑( ) ∑ ∞ = ∞ = + ∞ = + = − − − − − 0 0 2( 1) 0 2 1 10 2 1 1 1 5 1 2 1 5 1 n n n n n n n n n z z z ="+ + − − − − − − −" 10 20 40 80 1 1 5 1 1 5 1 2 5 1 1 5 2 2 3 4 3 2 z z z z z z z 1 <| z |< 2 ； （2）在0 <| z |< 1内， ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 = + + +"+ +" − n z z z z z z = ( + + +"+ ( ) + +") n z z n z z 1 2 3 1 1 2 = + 2 + 3 +"+ ( ) +1 −1 +" 1 n z n z z ∑( ) ∞ =− = + 1 2 n n n z 在0 <| z −1|< 1内， ( ) ( ) ( ) ( ) ∑( ) ( ) ∞ = − − − = − + − = − 0 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n z z z z z z ( ) ( ) n n n 1 z 1 2 = ∑ − − ∞ =− ； （3）0 <| z −1|< 1内， ( ) 1 1 1 1 1 1 1 2 1 ( 1)( 2) 1 − − − − = − − − = z − z − z z z z ( ) ∑( ) ∞ = − = − − − − − − − = − 0 1 1 1 1 1 1 1 1 n n z z z z ∑( ) ∞ =− = − − 1 1 n n z 在1 <| z − 2 |< +∞ 内 ( 2) 1 1 2 1 1 1 2 1 ( 1)( 2) 1 − + − − = − − − = z − z − z z z z 2 1 1 1 2 1 z 2 1 − + − − − = z z ( ) ( )n n n z z z 2 1 1 2 1 2 1 0 − − − − − = ∑ ∞ = ( ) ( ) ∑ ∞ = + + − + − − = 0 1 1 2 1 1 2 1 n n n z z ( ) ( ) ∑ ∞ = − + − − = 1 2 1 1 2 1 n n n z z ( ) ( ) ∑ ∞ = − − = − 2 1 2 1 1 n n n z （4）在1 <| z |< +∞ 内，因 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = − + + + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = − 2 " 2 3 " 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 z z z z z z z z z 9
1_11 (5)在0=∑(-1yn+1) 2(x-i)1(x-i)+2”(2-i)y+3 (6)因sin==∑(-) (2n+1 |1|<+∞,故 ∑(-1 (2n+1)(-)m ∑(- (2n+1)(z-1) 0d-1k<+∞ (7)在3<zk4内,因 (二-1)(二-2) 3+2) (二-3)(二-4) (二2-3=+2)( 1-2)4(1- (2-3+2∑n+∑ n=-1 在44zk+内 (二-1)(-2) =(=2-32+2)( (二-1)(二-2) =(=2-3z+2) z(1-4)z(1 2n-1 -n+ =1+∑ 17.函数tan-能否在圆环域0<zkR(0<R<+∞)内展开成洛朗级数? 为什么?
故 " " "⎟ +" ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ − + + + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + + + + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − + + + − 3 2 3 2 2 3 2 3 1 1 1 1 1 3! 1 1 1 1 2! 1 1 1 1 1 z z z z z z z z z e z ； = − − 2 − 3 + 4 +" 1 4! 1 1 3! 1 1 2! 1 1 1 z z z z （5）在0 | < −z i |<1内，因 1 1 2 1 1 ( 1) ,| | 1 (1 ) n n n nz z z ∞ − − = = − < + ∑ ，故 2 1 z z( i − ) ＝ 2 2 1 i i ( i)(1 ) i z z = − − + 2 1 n+1 1 ( i) ( 1) i n n n n z ∞ − − = − ∑ − 在1 | < −z i |< +∞ 内，因 2 1 z z( i − ) ＝ 3 2 1 i ( i) (1 ) i z z − + − ，故 2 1 z z( i − ) ＝ -1 1 2 3 1 0 i ( ( 1) ( 1) ( -i) ( -i) n n n n n n n n n n z z ∞ ∞ − 1)i + + = = + ∑ ∑ − = − （6）因 ( ) ( ) < +∞ + = ∑ − ∞ = + 0 2 1 ,| | 2 1! sin 1 n n n z n z z ,故 ( ) ( ) ( ) ∑ ∞ = + + − = − − 0 2 1 1 1 2 1! 1 1 1 1 sin n n n z n z ( ) ( ) ( ) < − < +∞ + − = − − + ∞ = ∑ , 0 | 1| 1 1 2 1 ! 1 1 2 1 0 z n z n n n （7）在3 | < z |< 4内，因 2 ( 1)( 2) 1 1 ( 3 2)( ( 3)( 4) 3 4 z z z z z z z z − − = − + − − − − − ) ，故 2 3 4 ( 1)( 2) 1 1 ( 3 2)( ( 3)( 4) (1 ) 4(1 )z z z z z z z z z − − = − − + + − − − − ) ＝ 2 1 1 0 0 3 ( 3 2)( 4 n n n n n n z z z z ∞ ∞ + + = = − − + ∑ +∑ ) ＝ 1 0 1 3 1 2 2 4 3 n n n n n n z z ∞ ∞ + = =− − − ∑ ∑ 在4 | < < z | +∞ 内， 2 ( 1)( 2) 1 1 ( 3 2)( ( 3)( 4) 4 3 z z z z z z z z − − = − + − − − − − ) 2 4 3 ( 1)( 2) 1 1 ( 3 2)( ( 3)( 4) (1 ) (1 ) z z z z z z z z z z − − = − + − − − − − ) ＝ 2 1 1 0 0 4 3 ( 3 2)( n n n n n n z z z z ∞ ∞ + + = = − + ∑ −∑ )＝ 2 1 1 n 1 1 (3 2 2 3 ) n n n z ∞ − − − = + ⋅ ∑ − ⋅ 17．函数 1 tan z 能否在圆环域0 | < z |< R （0 < R < +∞ ）内展开成洛朗级数？ 为什么？ 10