第二章矩阵及其运算
第二章 矩阵及其运算
§1矩阵 矩阵概念的引入 、矩阵的定义 三、特殊的矩阵 四、矩阵与线性变换
§1 矩阵 一、矩阵概念的引入 二、矩阵的定义 三、特殊的矩阵 四、矩阵与线性变换
B 矩阵概念的引入 例某航空公司在A、B、C、D四座A4 城市之间开辟了若干航线,四座城市 之间的航班图如图际示,箭头从始发 地指向目的地 D 城市间的航班图情况常用表格来表示 目的地 B D 其中表示有 始发地B/ 航班 D
√ √ √ √ √ 其中√ 表示有 航班 始发地 A B C D 目的地 A B C D 例 某航空公司在 A、B、C、D 四座 城市之间开辟了若干航线，四座城市 之间的航班图如图所示，箭头从始发 地指向目的地. B A C D 城市间的航班图情况常用表格来表示: √ √ 一、矩阵概念的引入
B BCD 为了便于计算,把表中的改成1,空白地方填上0 就得到一个数表: 011 1001 100 0010 0 这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况
为了便于计算，把表中的√改成1，空白地方填上0， 就得到一个数表： A B C D A B C D √ √ √ √ √ √ √ 这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况. 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
例某工厂生产四种货物,它向三家商店发送的货物数量可 用数表表示为: 12 13 14 其中a;表示工厂向第i家商店 21 2 23 24 发送第j种货物的数量 31 33 34 这四种货物的单价及单件重量也可列成数表: 2 b21 31 bb 其中b1表示第i种货物的单价, b;2表示第i种货物的单件重量 32 41 42 ①
其中aij 表示工厂向第 i 家商店 发送第 j 种货物的数量． 例 某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可 用数表表示为： 这四种货物的单价及单件重量也可列成数表： 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 a a a a a a a a a a a a 其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量． 11 12 21 22 31 32 41 42 b b b b b b b b
二、矩阵的定义 由mXn个数an(i=1,2,…,的行列的数表 12 n n m2 称为m行n列矩阵,简称mxn矩阵.记作 12 n amI a mI
由 m×n 个数 a i m j n ij ( 1,2, , ; 1,2, , ) = = 排成的 m 行 n 列的数表 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a 称为 m 行 n 列矩阵，简称 m×n 矩阵． 记作 二、矩阵的定义 11 12 1 21 22 2 1 1 n n m m mn a a a a a a A a a a =
n 22 n 简记为A nxn ij)mxn 这mXn个数称为矩阵4的元素,简称为元. 元素是实数的矩阵称为实矩阵 元素是复数的短阵称为复矩阵
11 12 1 21 22 2 1 1 n n m m mn a a a a a a A a a a = 简记为 ( ) ( ) A A a a = = = m n ij m n ij 元素是实数的矩阵称为实矩阵， 元素是复数的矩阵称为复矩阵. 这 m×n 个数称为矩阵A的元素，简称为元
行列式 矩阵 n n 2 mmI n 行数等于列数 ■行数不等于列数 共有mxn个元素 共有m2个元素 本质上就是一个数表 det(ai)
◼行数不等于列数 ◼共有m×n个元素 ◼本质上就是一个数表 ◼行数等于列数 ◼共有n 2个元素 行列式 矩阵 11 12 1 21 22 2 1 1 n n m m mn a a a a a a a a a 1 2 1 2 1 2 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) 1 2 ( 1) n n n n n n n nn t p p p p p np p p p a a a a a a a a a = − a a a det( )ij a ( )ij m n a
三、特殊的矩阵 1.行数与列数都等于n的矩阵,称为n阶方阵.可记作A 2.只有一行的矩阵A=(a1a2,…,an)称为行矩阵(或行向量) 只有一列的矩阵B 称为列矩阵或列向量) 3.元素全是零的矩阵称为零距阵·可记作O·例如: 00 2×2 Ox=(0000)
1. 行数与列数都等于 n 的矩阵，称为 n 阶方阵．可记作 . 2. 只有一行的矩阵 称为行矩阵(或行向量) . 只有一列的矩阵 称为列矩阵(或列向量) . 3. 元素全是零的矩阵称为零距阵．可记作 O . 1 2 ( , , , ) A a a a = n A n 1 2 n a a B a = 例如： 2 2 0 0 0 0 O = ( ) 1 4 O 0000 = 三、特殊的矩阵
4.形如 的方阵称为对角阵.记作 00 A=lig(1,2,…,) 0 特别的,方阵 称为单位阵记作En 00
4. 形如 的方阵称为对角阵． 特别的，方阵 称为单位阵． 1 2 0 0 0 0 0 0 n 1 2 ( , , , ) A diag = n 记作 1 0 0 0 1 0 0 0 1 记作 E n ．