同济大学：《线性代数》课程PPT教学课件（第五版）第五章 相似矩阵及二次型（5.4）对称矩阵的对角化

54对称矩阵的对角化

§4 对称矩阵的对角化

定理:设λ1,2,…,是方阵A的特征值,p1,p2,,pm依 次是与之对应的特征向量,如果41,42,,m各不相同,则 p1,p2…,pn线性无关.(P120定理2)

定理：设 l1 , l2 , …, l m 是方阵 A 的特征值， p1 , p2 , …, pm 依 次是与之对应的特征向量，如果 l1 , l2 , …, l m 各不相同，则 p1 , p2 , …, pm 线性无关． （P.120定理2）

可逆矩阵P,满足P4P=A(对角阵) 矩阵P的 AP=PA 列向量组 线性无关 中1=p(i=1,2,…,n) )y(4-41E)P=0 A的 对应的 特征值 (特征向量 其中 12 A(n1,P2…,Pn)=(n,P2…,Dn n

可逆矩阵 P ，满足 P −1AP = L （对角阵） AP = PL Api = li pi (i = 1, 2, …, n) A 的 特征值 对应的 特征向量 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) n n n A p p p p p p l l l       =       其中 ? (A−li E) pi = 0 矩阵 P 的 列向量组 线性无关

定理:设λ1,2,…,是方阵A的特征值,p1,p2,,pm依 次是与之对应的特征向量,如果41,42,,m各不相同,则 p1,p2…,pmn线性无关.(P20定理2) 定理:n阶矩阵A和对角阵相似(即A能对角化)的充分 必要条件是A有n个线性无关的特征向量.(P123定理4) 推论:如果A有n个不同的特征值,则A和对角阵相似 说明:当A的特征方程有重根时,就不一定有n个线性无关 的特征向量,从而不一定能对角化.(P.118例6)

定理：设 l1 , l2 , …, l m 是方阵 A 的特征值， p1 , p2 , …, pm 依 次是与之对应的特征向量，如果 l1 , l2 , …, l m 各不相同，则 p1 , p2 , …, pm 线性无关．（P.120定理2） 定理： n 阶矩阵 A 和对角阵相似（即 A 能对角化）的充分 必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量．（P.123定理4） 推论：如果 A 有 n 个不同的特征值，则 A 和对角阵相似． 说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关 的特征向量，从而不一定能对角化．（P.118例6）

定理:设λ1,2,…,是方阵A的特征值,p1,p2,,pm依 次是与之对应的特征向量,如果41,42,,m各不相同,则 P1,p2…,pmn线性无关.(P20定理2) 定理:设1和λ2是对称阵A的特征值,p1,p2是对应的特 征向量,如果41≠A2,则p,P2正交.(P.124定理6) 证明:Ap1=A11,Ap2=422,λ1≠2 (1-12)p 因为孔1≠42,则p1p2=0,E

定理：设 l1 , l2 , …, l m 是方阵 A 的特征值， p1 , p2 , …, pm 依 次是与之对应的特征向量，如果 l1 , l2 , …, l m 各不相同，则 p1 , p2 , …, pm 线性无关．（P.120定理2） 定理：设 l1 和 l2 是对称阵 A 的特征值， p1 , p2 是对应的特 征向量，如果 l1 ≠ l2 ，则 p1 , p2 正交．（P.124定理6） 证明： A p1= l1 p1， A p2= l2 p2 ， l1 ≠ l2 l1 p1 T = (l1 p1 ) T = (A p1 ) T = p1 T AT = p1 T A （A 是对称阵） l1 p1 T p2 = p1 T A p2 = p1 T (l2 p2 ) = l2 p1 T p2 (l1 − l2 ) p1 T p2 = 0 因为l1 ≠ l2 ，则 p1 T p2 = 0，即 p1 , p2 正交．

定理:n阶矩阵A和对角阵相似(即A能对角化)的充分 必要条件是A有n个线性无关的特征向量.(P123定理4) 推论:如果A有n个不同的特征值,则A和对角阵相似 说明:当A的特征方程有重根时,就不一定有n个线性无关 的特征向量,从而不一定能对角化 定理:设A为n阶对称阵,则必有正交阵P,使得 P-AP= PTAP=4 其中A是以A的n个特征值为对角元的对角阵(不唯一) (P.124定理7)

定理：设 A 为 n 阶对称阵，则必有正交阵 P，使得 P −1AP = P TAP = L， 其中 L 是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵（不唯一）. （P.124定理7） 定理： n 阶矩阵 A 和对角阵相似（即 A 能对角化）的充分 必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量． （P.123定理4） 推论：如果 A 有 n 个不同的特征值，则 A 和对角阵相似． 说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关 的特征向量，从而不一定能对角化．

定理:n阶矩阵A和对角阵相似(即A能对角化)的充分 必要条件是A有n个线性无关的特征向量.(P123定理4) 推论:如果A有n个不同的特征值,则A和对角阵相似 说明:当A的特征方程有重根时,就不一定有n个线性无关 的特征向量,从而不一定能对角化 推论:设A为n阶对称阵,4是A的特征方程的k重根,则 矩阵A-E的秩等于n-k, 恰有k个线性无关的特征向量与特征值对应

定理： n 阶矩阵 A 和对角阵相似（即 A 能对角化）的充分 必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量． （P.123定理4） 推论：如果 A 有 n 个不同的特征值，则 A 和对角阵相似． 说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关 的特征向量，从而不一定能对角化． 推论：设 A 为 n 阶对称阵，l 是 A 的特征方程的 k 重根，则 • 矩阵 A −lE 的秩等于 n − k， • 恰有 k 个线性无关的特征向量与特征值 l 对应．

0-1 例:设A=-101,求正交阵P,使P1AP=A对角阵 解:因为A是对称阵,所以A可以对角化 -1 A-E=-1-21|=-(-1)2(+2) 求得A的特征值礼1=-2,A2=3=1

例：设 ，求正交阵 P，使P −1AP = L对角阵. 解：因为 A 是对称阵，所以 A 可以对角化． 求得 A 的特征值 l1 = −2， l2 = l3 = 1 ． 0 1 1 1 0 1 1 1 0 A   −   = −      2 1 1 | | 1 1 ( 1) ( 2) 1 1 A E l l l l l l − − − = − − = − − + −

当41=-2时,解方程组(A+2E)x=0 2-11(10 A+2E=-121|-011,得基础解系5 112)(000 当A2=43=1时,解方程组(-E)x=0 A-E 000,得 53 11-1(000 0 200 令P=(5,52,3)=-110,则PAP=A=010 问题:这样的解法对吗?

当 l1 = −2 时， 解方程组 (A + 2E) x = 0． ，得基础解系 ． 当 l2 = l3 = 1 时， 解方程组 (A−E) x = 0． ，得 ． 令 ，则 . 问题：这样的解法对吗？ 2 1 1 1 0 1 2 1 2 1 ~ 0 1 1 1 1 2 0 0 0 r A E     −     + = −            1 1 1 1    −   = −      1 1 1 1 1 1 1 1 1 ~ 0 0 0 1 1 1 0 0 0 r A E     − − −     − = − −             − 2 3 1 1 1 , 0 0 1       −     = =             1 2 3 1 1 1 ( , , ) 1 1 0 1 0 1 P      − −   = = −      1 0 0 0 0 0 0 2 1 1 P AP −     = L =       −

口当入=2时,对应的特征向量为51=-1 口当2=42=1时,对应的特征向量为点2=1 显然,必有引1⊥,生,但25未必成立 于是把与2,正交化: 此时⊥n2,51⊥73,m2⊥m3

 当 l1 = −2时，对应的特征向量为 ；  当 l2 = l3 = 1 时，对应的特征向量为 . 显然，必有1⊥2 ， 1⊥3 ，但2⊥3 未必成立． 于是把 2 , 3 正交化： 此时1⊥h2 ， 1⊥h3 ，h2⊥h3 ． 1 1 1 1    −   = −      2 3 1 1 1 , 0 0 1       −     = =             3 2 2 2 3 3 2 2 2 1 1 [ , ] 1 1 , 1 [ , ] 2 0 2  h h  h  h h h     −     = = = − =            