§2矩阵的秩
§2 矩阵的秩
矩阵的秩的概念 定义:在mXn矩阵A中,任取k行k列(k≤m,km), 位于这些行列交叉处的k2个元素,不改变它们在A中所处 的位置次序而得的k阶行列式,称为矩阵A的k阶子式 显然,mxn矩阵A的k阶子式共有CC个 概念辨析:k阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式
一、矩阵的秩的概念 定义：在 m×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k ≤ m，k≤n)， 位于这些行列交叉处的 k 2 个元素，不改变它们在 A中所处 的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式． 显然，m×n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 C Cm n k k 个． 概念辨析： k 阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式
12 13 11 12 13 14 21 22 23 24 33 与元素a12相对应的余子式 矩阵A的一个2阶子式 21 12 13 12 相应的代数余子式 矩阵A的一个2阶子块 12=(-1)2M12= 12 3 33
与元素a12相对应的余子式 21 23 12 31 33 a a M a a = 相应的代数余子式 矩阵 A 的一个 2 阶子块 12 13 22 23 a a a a 矩阵 A 的一个 2 阶子式 12 13 22 23 a a a a 1 2 21 23 12 12 31 33 ( 1) a a A M a a + = − = − 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 a a a a a a a a a a a a
定义:设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D,且所有 r+1阶子式(如果存在的话)全等于零,那么D称为矩阵 A的最高阶非零子式,数r称为矩阵A的秩,记作R(A 规定:零矩阵的秩等于零
定义：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有 r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A)． 规定：零矩阵的秩等于零．
11 12 13 14 A na32a334丿矩阵A的2阶子式 矩阵A的一个3阶子式 12 13 22 22 a 23 12 1 2 31 33 31 32 如果矩阵A中所有2阶子式都等于零,那么这个3阶子式也 等于零
22 23 21 23 21 22 11 12 13 32 33 31 33 31 32 a a a a a a a a a a a a a a a = − + 矩阵 A 的一个 3 阶子式 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a 矩阵 A 的 2 阶子式 如果矩阵 A 中所有 2 阶子式都等于零，那么这个 3 阶子式也 等于零 ． 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 a a a a A a a a a a a a a =
定义:设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D,且所有 r+1阶子式(如果存在的话)全等于零,那么D称为矩阵 A的最高阶非零子式,数r称为矩阵A的秩,记作R(A 规定:零矩阵的秩等于零 根据行列式按行(列)展开法则可知,矩阵A中任何一个 r+2阶子式(如果存在的话)都可以用r+1阶子式来表 如果矩阵A中所有r+1阶子式都等于零,那么所有r+2 阶子式也都等于零 事实上,所有高于r+1阶的子式(如果存在的话)也都等 于零 因此矩阵A的秩就是A中非零子式的最高阶数
定义：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有 r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A)． ⚫ 根据行列式按行（列）展开法则可知，矩阵 A 中任何一个 r +2 阶子式（如果存在的话）都可以用 r +1 阶子式来表 示． ⚫ 如果矩阵 A 中所有 r +1 阶子式都等于零，那么所有 r +2 阶子式也都等于零 ． ⚫ 事实上，所有高于 r +1 阶的子式（如果存在的话）也都等 于零 ． 因此矩阵 A 的秩就是 A 中非零子式的最高阶数． 规定：零矩阵的秩等于零．
矩阵A的秩就是A中非零子式的最高阶数 显然, ■若矩阵A中有某个s阶子式不等于零,则R(4)≥s; 若矩阵A中所有t阶子式等于零,则R(4)<t ■若A为n阶矩阵,则A的n阶子式只有一个,即A 当AB0时,R(4)=n; 可逆矩阵〔非奇异矩阵)又称为满秩矩阵 当1A|=0时,R(4)<n; 不可逆矩阵(奇异矩阵)又称为降秩矩阵 若A为mxn矩阵,则0≤R(4)≤min(mn,m) R(4)=R(4)
矩阵 A 的秩就是 A 中非零子式的最高阶数． 显然， ◼ 若矩阵 A 中有某个 s 阶子式不等于零，则 R(A) ≥ s ； 若矩阵 A 中所有 t 阶子式等于零，则 R(A) < t ． ◼ 若 A 为 n 阶矩阵，则 A 的 n 阶子式只有一个，即|A| ． 当|A|≠0 时， R(A) = n ; 可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为满秩矩阵． 当|A| = 0 时， R(A) < n ; 不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵． ◼ 若 A 为 m×n 矩阵，则 0≤R(A)≤min(m, n) ． ◼ R(AT) = R(A) ．
11 1 lI 13 4 22 23 24 14 矩阵A的一个2阶子式 矩阵AT的一个2阶子式 D D AT的子式与A的子式对应相等,从而R(4)=R(4)
矩阵 A 的一个 2 阶子式 T D = 矩阵 AT 的一个 2 阶子式 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 a a a a A a a a a a a a a = 12 13 22 23 a a a a D = AT 的子式与 A 的子式对应相等，从而 R(AT) = R(A) ． 11 21 31 12 22 32 13 23 33 14 24 34 T a a a a a a A a a a a a a = 12 22 13 23 a a a a
例:求矩阵A和B的秩,其中 2-103-2 123 031-25 A=23-5 B 0004-3 00000 解:在A中,2阶子式 ≠0 A的3阶子式只有一个,即4,而且A=0,因此R(4)=2
例：求矩阵 A 和 B 的秩，其中 1 2 3 2 3 5 4 7 1 A = − 2 1 0 3 2 0 3 1 2 5 0 0 0 4 3 0 0 0 0 0 B − − − = − 解：在 A 中，2 阶子式 ． 1 2 0 2 3 A 的 3 阶子式只有一个，即|A|，而且|A| = 0，因此 R(A) = 2 ．
例:求矩阵A和B的秩,其中 123 A=23-5 B 3 解(续):B是一个行阶梯形矩阵,其非零行有3行,因此 其4阶子式全为零 以非零行的第一个非零元为对角元的3阶子式 2-13 还存在其 03-2=24≠0,因此R(B)=3 它3阶非零 子式吗?
例：求矩阵 A 和 B 的秩，其中 1 2 3 2 3 5 4 7 1 A = − 解（续）：B 是一个行阶梯形矩阵，其非零行有 3 行，因此 其 4 阶子式全为零． 以非零行的第一个非零元为对角元的 3 阶子式 2 1 3 0 3 2 24 0 0 0 4 − − = ，因此 R(B) = 3 ． 还存在其 它3 阶非零 子式吗？ 2 1 0 3 2 0 3 1 2 5 0 0 0 4 3 0 0 0 0 0 B − − − = −
