绝密★启用前 数学(试卷二)参考解答 填空题(本题共5小题每小题3分,满分15分.) (1)设函数f(x)={ arcsin 在x=0处连续,则a= (2)位于曲线y=xe(0≤x<+∞)下方,x轴上方的无界图形的面积是 (3)微分方程y+y2-0满足初始条件y1-1,1“的特解是x/+ 或y2=x+1 22 0-2-2 (5)矩阵22-2的非零特征值是4 二选择题(本题共5小题每小题3分,满分15分. (1)设函数f(a)可导,y=f(x2)当自变量x在x=-1处取得增量△x=-0.1时,相应的函 数增量△y的线性主部为0.1,则f'(1)= (A)-1 (B)0.1. (C)1 (D)0.5.【D】 (2)设函数f(x)连续,则下列函数中,必为偶函数的是 (A)f() (B)L()dt (C)LI[f(r-f(-t)]dr (D)[tf()+f(-t)]d (3)设y=y(x)是二阶常系数微分方程y2+py+qy=c"满足初始条件y()=y(0)=0 的特解,则当x→0时,函数(+x的极限 (A)不存在 (B)等于1 (C)等于2.(D)等于3.【C 4)设函数y=f(x)在(0,+∞)内有界且可导,则 (A)当limf(x)=0时,必有limf"(x)=0. (B)当limf'(x)存在时,必有limf'(x)=0. (C)当limf(x)=0时,必有imf'(x)=0. (D)当limf'(x)存在时,必有limf'(x)=0
(5)设向量组a1a2,a3线性无关,向量B1可由a1a2,a3线性表示,而向量B2不能由a1,ax2, a3线性表示,则对于任意常数k,必有 (A)a1,a2,a3,4B1+B2线性无关 (B)ar1,x2,a3,4B1+B2线性相关 (C)a1,a2,a3B1+42线性无关 (D)a1,a2,a3B1+42线性相关 三.(本题满分6分) 已知曲线的极坐标方程是r=1-co6,求该曲线上对应于=五处的切线与法线的直角 坐标方程 解此曲线的参数方程为 (I-cos0) y=(l- cos0 )sing, sing- singcos0 由6=,得到切点的坐标(2-31 d d axle.t dx sing+ 2cosesine less 于是所求切线方程为 3.3 +=x 法线方程为 + 四(本题满分7分) 2x+x2,-1≤x<0 设f(x) 求函数F(x)=「/D的 (e+1)2 0≤x≤l 解当 <0时
F(x)=「(2+t2)d=(2+t2) 当0≤x≤1时, F(x)=2)t=了)d+x)d t (e2+1)2 de e'(e+1) e+1 1 所以 五.(本题满分7分) 已知函数fx)在(0,+)内可导,f(x)>0,imf(x)=1,且满足 f(x+hx) lim f(x) 求f(x) f(x+hx) Iny =IIn fa+ hs2 f(x) 因为1my=四=mx知2 lim zl Inf(x hx)-lnf(a21 h
=x[lnf(x)]’, lim/l+ he)t ln=) 由已知条件得c 因此 x[lny(x)]’=1 ln(x)]=1 解之得 f(x)=Ce 由limf(x)=1,得C=1 故 fx) 六(本题满分7分) 求微分方程xdy+(x-2y)dx=0的一个解y=y(x),使得由曲线y=y(x)与直线x= 1,x=2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小 解原方程可化为-2y=-1 则y=[-edx+C x2(-+C) 由曲线y=x+Cx2与直线x=1,x=2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转 体体积为 v(C)=w(x+Cx2)'dx C+ 又P(C)=2m>0,故C=-15为性一极小值点也是最小值点,于是得
75 七(本题满分7分 某闸门的形状与大小如图所示,其中直线l为对称轴,闸门的上部为矩形ABCD,下部由二 次抛物线与线段AB所围成当水面与闸门的上端相平时,欲使闸门矩形部分承受的水压力与 闸门下部承受的水压力之比为5:4,闸门矩形部分的高h应为多少m(米)? 解1如图建立坐标系,则抛物线的方程为 闸门矩形部分承受的水压力 P =2pg(h+1)y- pgh, 其中p为水的密度,g为重力加速度 闸门下部承受的水压力 2pgl÷(h+1) lpg(h 由题意知 PI 即 4(-h+ 解之得h=2,h=-3(舍去),故h=2 即闸门矩形部分的高应为2m 解2如图建立坐标系,则抛物线方程为 闸门矩形部分承受的水压力为
闸门下部承受的水压力为 P2=2pg 设√h t,得 P2=4pg[(h+1-2)2dt B 以下同解1. 八.(本题满分8分) 设01均有01时,x,-xn=√x,(3-x,)-x,=√xn(3-x,-√x) 因而有xn1≥xn(n>1),即数列|x,}单调增加 由单调有界数列必有极限知lmx,存在 设limx,=a,在x,=√x、(3-x,)两边取极限,得 /a(3-a 解之得a=,a=0(舍去) mx,三
九(本题满分8分) 设0a时q(x)单调减少,又q(a)=0,所以,当x>a时q(x)a>0时,lnb-lmaa>0) 由拉格朗日中值定理知,至少存在一点∈(a,b),使 Inb-Ina (Inx) 由于01> ,从而 证法2设f(x)=(x2+a2)(lnx-lna)-2a(x-a)(x>a>0), 因为f(x)=2(mx-hm)+(x2+d)4-2n 2x(Inx -Ina)+ >0 故当x>a时f(x)单调增加,又f(a)=0,所以当x>a时、f(x)>f(a)=0,即 (x+a)(Inx -Ina)-2a(x-a)>0. 从而当b>a>0时,有(a2+b2)(lnb-lna)-2a(b-a)>0,即
Inb-Ina 62 十.(本题满分8分) 设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,且f(0)≠0f'(0)≠0f"(0)≠0. 证明:存在惟一的一组实数A1,A2,A3使得当h→0时,Af(h)+A2f(2h)+A3f(3h)-f(0)是 比h2高阶的无穷小 证法1只需证存在惟一的一组实数A1,A2,A3,使 mAb)+A(2h)+A3h)-0)=0 由题设和洛必达法则,从 0= lim Av(h)+Af/(2h)+ A(3h)-f(0) AT'(h)+2A,/(2h)+3A,'(3h) AT"(h)+4A,f"(2h)+9(3h) =(A1+4Ax2+9A3)f"(0) 知,A1,A2,A3应满足方程组 A1+A2+A3=1, A1+2A2+3A3=0, A1+4A2+9A3=0. 因为系数行列式 23|=2≠0 所以上述方程组的解存在且惟一,即存在惟一的一组实数A1,A2,A3,使得当h→0时,Af(h) +Af(2h)+A3f(3h)-f(0)是比h2高阶的无穷小 证法2由麦克劳林公式得 fh)=f(0)+f(0)h+3r(e)h(其中6介于0与h之间) 据题设条件,当h→0时 f(h)=f0)+f(0)h+yf(0)h2+"()-f(0)h2
=f(0)+f(0)h+f"(0)h2+0(h2) 理可得 f(2h)=f(0)+2f(0)h+2f"(0)h2+0(h2), f(3h)=f0)+3(0)h+0f"O)2+o(h) 故有Af(h)+A2f(2h)+A3f(3h)-f(0)=(A1+A2+A3-1)f(0)+ (A1+2A2+3A3)f()h+(A1+4A2+9A)f"(0)h2+0(h2) 所以A1,A2,A3应满足方程组 A1+2A2+3A3=0 以下同证法1 一.(本题满分6分) 已知A,B为3阶矩阵,且满足2A-B=B-4E,其中E是3阶单位矩阵 (1)证明:矩阵A-2E可逆; (2)若B=120,求矩阵A 解(1)由2AB=B-4E知 AB-2B-4A=0 从而(A-2E)(B-4E)=8E 或(A-2E)·8(B-4E)=E 故A-2E可逆,且(A-2E) (B-4E) (2)由(1)知A=2E+8(B-4E), 20
00-2 十二(本题满分6分) 已知4阶方阵A=(α1,a2,a3,a4),a1,a2,a3,a4均为4维列向量,其中a2,a3,a4线性无 关,a1=2a2-a,如果B=a1+a2+a3+a4,求线性方程组Ax=B的通解 解法1令x= 则由Ax=(a1,a2,a3,a4 B得 将a1=2a2-a3代入上式,整理后得 由a2,a3,a4线性无关,知 3=0 解此方程组得 其中k为任意常数 解法2由a2,a3,a4线性无关和a1=2a2-a3+0a4,故A的秩为3,因此Ax=0的基 础解系中只包含一个向量 知-2为齐次线性方程组Ax=0的一个解,所以其通解为 k为任意常数