2004年数学三试题分析、详解和评注 、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) sIn x (1)若ln (cosx-b)=5,则a=1,b=-4 x→0 【分析】本题属于已知极限求参数的反问题 【详解】因为lin (cosx-b)=5,且 lim sin x·(cosx-b)=0,所以 im(e2-a)=0,得a=1.极限化为 x→0 lim(cosx-b=lm(cosx-b)=1-b=5,b=-4 x-0x 因此 【评注】一般地,已知m(x) 1)若g(x)→>0,则∫(x)→0 (2)若f(x)→0,且A≠0,则g(x)→0 完全类似的例题见《数学复习指南》P36例160,P43第1(3)题,P44第2(10)题 第6题,《数学题型集粹与练习题集》P19例1.34,《数学三临考演习》P79第7题 《考研数学大串讲》P12例17、19 (2)设函数f(u,v)由关系式∫[xg(y),y=x+g(y)确定,其中函数g()可微,且g()≠0, g(v) 8(v) 【分析】令u=xg(),v=y,可得到f(u,v)的表达式,再求偏导数即可 【详解】令n=x(0),y=y,则(x,)=2-+g() 所以, u g(v)dudu 8(v) 【评注】本题属基本题型 类似例题在一般教科书上均可找到 (3)设f(x)= 则|1f(x-1)dx= 【分析】本题属于求分段函数的定积分,先换元:x-1=1,再利用对称区间上奇偶函数 的积分性质即可
1 2004 年数学三试题分析、详解和评注 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） (1) 若 (cos ) 5 sin lim 0 − = → − x b e a x x x ，则 a = 1 ，b = − 4 . 【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为 (cos ) 5 sin lim 0 − = → − x b e a x x x ，且 lim sin (cos ) 0 0 − = → x x b x ，所以 lim ( ) 0 0 − = → e a x x ，得 a = 1. 极限化为 (cos ) lim (cos ) 1 5 sin lim 0 0 − = − = − = → − → x b b x x x b e a x x x x ，得 b = −4. 因此，a = 1，b = −4. 【评注】一般地，已知 ( ) ( ) lim g x f x ＝ A， (1) 若 g(x) → 0，则 f (x) → 0； (2) 若 f (x) → 0，且 A 0，则 g(x) → 0. 完全类似的例题见《数学复习指南》P36 例 1.60，P43 第 1(3)题，P44 第 2(10)题、 第 6 题，《数学题型集粹与练习题集》P19 例 1.34，《数学三临考演习》P79 第 7 题， 《考研数学大串讲》P12 例 17、19. (2) 设函数 f (u , v)由关系式 f [xg(y) , y] = x + g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且 g(y) 0， 则 ( ) ( ) 2 2 g v g v u v f = − . 【分析】令 u = xg(y)，v = y，可得到 f (u , v)的表达式，再求偏导数即可. 【详解】令 u = xg(y)，v = y，则 f (u , v) = ( ) ( ) g v g v u + ， 所以， ( ) 1 u g v f = ， ( ) ( ) 2 2 g v g v u v f = − . 【评注】 本题属基本题型. 类似例题在一般教科书上均可找到. (3) 设 − − = 2 1 1 , 2 1 2 1 , ( ) 2 x xe x f x x ，则 2 1 ( 1) 2 2 1 − = − f x dx . 【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x − 1 = t，再利用对称区间上奇偶函数 的积分性质即可
【详解】令x-1=1,J1f(x-1dx=1f()=」1f(x)dt xeax+]i(-l)d=0+(-)= 【评注】一般地,对于分段函数的定积分,按分界点划分积分区间进行求解 完全类似的例题见《数学复习指南》P96例417,《数学三临考演习》P1 第2题,P68第15题,《考研数学大串讲》P4例14 (4)二次型∫(x,x2x3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2的秩为2 【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩,亦即标准型中平方项的项数,于是利用初等变换 或配方法均可得到答案 【详解一】因为f(x,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2-x)2+(x3+x) 2x2+2x2+2xx2+2xx3-2 于是二次型的矩阵为4=12-1 l-12 由初等变换得 A→03-3-03-3 03-3)(000 从而r(A)=2,即二次型的秩为2 【详解二】因为f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2 =2x+2x2+2x3+2x1x2+2xx3-2x2x3 =2(x1+ x3)2+(x2-x3)2 其中 y1=x1+x2+x3,y2=x2-x 所以二次型的秩为2 【评注】完全类似的例题见《数学复习指南》P379例61,而原题可见文登数学辅导班上讲 授的例子 (5)设随机变量X服从参数为λ的指数分布,则P{X>√DX} 【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案
2 【详解】令 x − 1 = t， − − − = = 1 2 1 1 2 1 2 2 1 f (x 1)dx f (t)dt f (x)dt ＝ 2 1 ) 2 1 ( 1) 0 ( 1 2 1 2 1 2 1 2 + − = + − = − − x e dx dx x . 【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解. 完全类似的例题见《数学复习指南》P96 例 4.17，《数学三临考演习》P61 第 2 题，P68 第 15 题，《考研数学大串讲》P41 例 14. (4) 二次型 2 3 1 2 2 3 2 1 2 3 1 2 f (x , x , x ) = (x + x ) + (x − x ) + (x + x ) 的秩为 2 . 【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换 或配方法均可得到答案. 【详解一】因为 2 3 1 2 2 3 2 1 2 3 1 2 f (x , x , x ) = (x + x ) + (x − x ) + (x + x ) 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 = 2x1 + 2x + 2x + 2x x + 2x x − 2x x 于是二次型的矩阵为 − = − 1 1 2 1 2 1 2 1 1 A , 由初等变换得 − − → − − − → 0 0 0 0 3 3 1 1 2 0 3 3 0 3 3 1 1 2 A , 从而 r(A) = 2, 即二次型的秩为 2. 【详解二】因为 2 3 1 2 2 3 2 1 2 3 1 2 f (x , x , x ) = (x + x ) + (x − x ) + (x + x ) 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 = 2x1 + 2x + 2x + 2x x + 2x x − 2x x 2 2 3 2 1 2 3 ( ) 2 3 ) 2 1 2 1 = 2(x + x + x + x − x 2 2 2 1 2 3 = 2y + y , 其中 , 2 1 2 1 1 1 2 3 y = x + x + x 2 2 3 y = x − x . 所以二次型的秩为 2. 【评注】完全类似的例题见《数学复习指南》P.379 例 6.1, 而原题可见文登数学辅导班上讲 授的例子. (5) 设随机变量 X 服从参数为 λ 的指数分布, 则 P{X DX } = e 1 . 【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案
详解】由于DX=,X的分布函数为 F(x)= 0. 故 PX>√Dx}=1-PX≤√DX}=1-P{X≤}=1-F()= 【评注】本题是对重要分布,即指数分布的考查,属基本题型 (6)设总体X服从正态分布N(,a2),总体Y服从正态分布N(2,a2), X1,Xx2,…Xm和H1,H2…2分别是来自总体X和Y的简单随机样本则 ∑(x-X)+∑( E 【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案 【详解】因为E X1-X)2]=a2,E (1-1)2]=a 故应填σ 【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查 完全类似的例题见《数学复习指南》P492例52,《数学三临考演习》P13第一大题的 第6小题或文登数学辅导班上讲授的例子 选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)函数∫(x)= x sin(x-2) 在下列哪个区间内有界 x(x-1)(x-2) (A)(-1,0) (B)(0,1) (C)(1,2) 【分析】如∫(x)在(a,b)内连续,且极限imf(x)与limf(x)存在,则函数f(x) 在(a,b)内有界 【详解】当x≠0,1,2时,f()连续,而m,f(x)=-53 f(x) x→-1 18 sin 2 lim f(x) f(x)=∞,limf(x)=∞
3 【详解】 由于 2 1 λ DX = , X 的分布函数为 − = − 0, 0. 1 , 0, ( ) x e x F x λx 故 P{X DX } = 1− P{X DX } = − } = 1 1 { λ P X ) 1 1 ( λ − F e 1 = . 【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型. (6) 设总体 X 服从正态分布 ( , ) 2 1 N μ σ , 总体 Y 服从正态分布 ( , ) 2 2 N μ σ , 1 , , X1 X2 Xn 和 2 , , Y1 Y2 Yn 分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本, 则 2 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 1 2 σ n n X X Y Y E n j j n i i = + − − + − = = . 【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案. 【详解】因为 2 1 2 1 ( ) ] 1 1 [ 1 X X σ n E n i i − = − = , 2 1 2 2 ( ) ] 1 1 [ 2 Y Y σ n E n j j − = − = , 故应填 2 σ . 【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查. 完全类似的例题见《数学复习指南》P.492 例 5.2, 《数学三临考演习》P.13 第一大题的 第 6 小题或文登数学辅导班上讲授的例子. 二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数 2 ( 1)( 2) | |sin( 2) ( ) − − − = x x x x x f x 在下列哪个区间内有界. (A) (−1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). [ A ] 【分析】如 f (x)在(a , b)内连续，且极限 lim f (x) x a → + 与 lim f (x) x b → − 存在，则函数 f (x) 在(a , b)内有界. 【详解】当 x 0 , 1 , 2 时，f (x)连续，而 18 sin 3 lim ( ) 1 = − + →− f x x ， 4 sin 2 lim ( ) 0 = − → − f x x ， 4 sin 2 lim ( ) 0 = → + f x x ， = → lim ( ) 1 f x x ， = → lim ( ) 2 f x x
所以,函数f(x)在(-1,0)内有界,故选(A) 【评注】一般地,如函数f(x)在闭区间a,b上连续,则f(x)在闭区间[a,b]上有界 如函数∫(x)在开区间(a,b)内连续,且极限lmf(x)与lmf(x)存在,则函数f(x) 在开区间(a,b)内有界 完全类似的例题见《数学题型集粹与练习题集》P4例110,《数学三临考演习》P51 第15题 (8)设f(x)在(-,+∞)内有定义,且lmnf(x)=a (x) 3≠0 (A)x=0必是g(x)的第一类间断点.(B)x=0必是g(x)的第二类间断点 (C)x=0必是g(x)的连续点 (D)g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关 I D 【分析】考查极限lg(x)是否存在,如存在,是否等于g(0)即可,通过换元≈1 可将极限lmg(x)转化为lmf(x) 【详解】因为lmg(x)=limf(-)=lmf()=a令l=-),又g(O)=0,所以 当a=0时,img(x)=g(0),即g(x)在点x=0处连续,当a≠0时, img(x)≠g(0),即x=0是g(x)的第一类间断点,因此,g(x)在点x=0处的连续性 与a的取值有关,故选(D) 【评注】本题属于基本题型,主要考查分段函数在分界点处的连续性 完全类似的例题见《数学复习指南》P41例170,《数学题型集粹与练习题集》P20例135. (A)x=0是f(x)的极值点,但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点 (B)x=0不是f(x)的极值点,但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点 (C)x=0是f(x)的极值点,且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点 (D)x=0不是f(x)的极值点,(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点 【分析】由于f(x)在x=0处的一、二阶导数不存在,可利用定义判断极值情况 考查f(x)在x=0的左、右两侧的二阶导数的符号,判断拐点情况 【详解】设00,而f(O)=0,所以x=0是f(x) 的极小值点 显然,x=0是f(x)的不可导点.当x∈(-8,0)时,f(x)=-x(1-x),f"(x)=2>0, 当x∈(0,δ)时,f(x)=x(1-x),∫"(x)=-2<0,所以(0,0)是曲线y=f(x)的拐点 故选(C 【评注】对于极值情况,也可考查∫(x)在x=0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断 完全类似的例题见《数学复习指南》P141例6.9,《考研数学大串讲》P96例5
4 所以，函数 f (x)在(−1 , 0)内有界，故选(A). 【评注】一般地，如函数 f (x)在闭区间[a , b]上连续，则 f (x)在闭区间[a , b]上有界； 如函数 f (x)在开区间(a , b)内连续，且极限 lim f (x) x a → + 与 lim f (x) x b → − 存在，则函数 f (x) 在开区间(a , b)内有界. 完全类似的例题见《数学题型集粹与练习题集》P4 例 1.10，《数学三临考演习》P51 第 15 题. (8) 设 f (x)在(− , +)内有定义，且 f x a x = → lim ( ) ， = = 0 , 0 ) , 0 1 ( ( ) x x x f g x ，则 (A) x = 0 必是 g(x)的第一类间断点. (B) x = 0 必是 g(x)的第二类间断点. (C) x = 0 必是 g(x)的连续点. (D) g(x)在点 x = 0 处的连续性与 a 的取值有关. [ D ] 【分析】考查极限 lim ( ) 0 g x x→ 是否存在，如存在，是否等于 g(0)即可，通过换元 x u 1 = ， 可将极限 lim ( ) 0 g x x→ 转化为 lim f (x) x→ . 【详解】因为 ) lim ( ) 1 lim ( ) lim ( 0 0 f u x g x f x→ x→ u→ = = = a(令 x u 1 = )，又 g(0) = 0，所以， 当 a = 0 时， lim ( ) (0) 0 g x g x = → ，即 g(x)在点 x = 0 处连续，当 a 0 时， lim ( ) (0) 0 g x g x → ，即 x = 0 是 g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点 x = 0 处的连续性 与 a 的取值有关，故选(D). 【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性. 完全类似的例题见《数学复习指南》P41 例 1.70，《数学题型集粹与练习题集》P20 例 1.35. (9) 设 f (x) = |x(1 − x)|，则 (A) x = 0 是 f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线 y = f (x)的拐点. (B) x = 0 不是 f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. (C) x = 0 是 f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. (D) x = 0 不是 f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线 y = f (x)的拐点. [ C ] 【分析】由于 f (x)在 x = 0 处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况， 考查 f (x)在 x = 0 的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况. 【详解】设 0 0，而 f (0) = 0，所以 x = 0 是 f (x) 的极小值点. 显然，x = 0 是 f (x)的不可导点. 当 x (− , 0)时，f (x) = −x(1 − x)， f (x) = 2 0 ， 当 x (0 , )时，f (x) = x(1 − x)， f (x) = −2 0 ，所以(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. 故选(C). 【评注】对于极值情况，也可考查 f (x)在 x = 0 的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. 完全类似的例题见《数学复习指南》P141 例 6.9，《考研数学大串讲》P96 例 5
(10)设有下列命题: (1)若∑(l2n1+m2n)收敛,则∑4n收敛 )若∑n收敛,则∑un+00收敛 (3)若m+>1,则∑发散 (4)若∑(n+n)收敛,则∑v,∑都收敛 则以上命题中正确的是 (A)(1)(2) (B)(2)(3) (C)(3)(4) (D)(1)(4) B 【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性 【详解】(1)是错误的,如令ln=(-1)”,显然,∑n分散,而∑(l2n=1+2n)收敛 2)是正确的,因为改变、增加或减少级数的有限项,不改变级数的收敛性 (3)是正确的,因为由lm>1可得到an不趋向于零(n→),所以∑n发散 (4是错误的,如令xn=1,m=-1,显然,∑n,∑n都发散,而 ∑(un+vn)收敛.故选(B n=1 【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法,属于基本题型 类似的命题在一般教科书上均可找到 (11)设∫(x)在[a,b]上连续,且∫(a)>0,f(b)f(a (B)至少存在一点x∈(a,b),使得f(x0)>f(b) (C)至少存在一点x∈(a,b),使得∫(x0)=0 (D)至少存在一点x∈(a,b),使得∫(x0)=0 D 【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项,由排除法可选出错误选项 【详解】首先,由已知f(x)在[a,b上连续,且f(a)>0,f(b)<0,则由介值定理
5 (10) 设有下列命题： (1) 若 = − + 1 2 1 2 ( ) n u n u n 收敛，则 n=1 n u 收敛. (2) 若 n=1 n u 收敛，则 = + 1 1000 n un 收敛. (3) 若 lim 1 1 + → n n n u u ，则 n=1 n u 发散. (4) 若 = + 1 ( ) n n n u v 收敛，则 n=1 n u ， n=1 n v 都收敛. 则以上命题中正确的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). [ B ] 【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明 4 个命题的正确性. 【详解】(1)是错误的，如令 n un = (−1) ，显然， n=1 n u 分散，而 = − + 1 2 1 2 ( ) n u n u n 收敛. (2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性. (3)是正确的，因为由 lim 1 1 + → n n n u u 可得到 n u 不趋向于零(n → )，所以 n=1 n u 发散. (4)是错误的，如令 n v n un n 1 , 1 = = − ，显然， n=1 n u ， n=1 n v 都发散，而 = + 1 ( ) n n n u v 收敛. 故选(B). 【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型. 类似的命题在一般教科书上均可找到. (11) 设 f (x) 在[a , b]上连续，且 f (a) 0, f (b) 0 ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点 ( , ) x0 a b ，使得 ( ) 0 f x > f (a). (B) 至少存在一点 ( , ) x0 a b ，使得 ( ) 0 f x > f (b). (C) 至少存在一点 ( , ) x0 a b ，使得 f (x0 ) = 0 . (D) 至少存在一点 ( , ) x0 a b ，使得 ( ) 0 f x = 0. [ D ] 【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项. 【详解】首先，由已知 f (x) 在[a , b]上连续，且 f (a) 0, f (b) 0 ，则由介值定理
至少存在一点x0∈(a,b),使得f(x0)=0 另外,f(a)=mJ(x)-f>0,由极限的保号性,至少存在一点x∈(ab) 使得(x)-/()>0,即(x)>f(a).同理,至少存在一点x∈(ab xo -a 使得∫(x0)>∫(b).所以,(A)(B)(C)都正确,故选(D). 【评注】本题综合考查了介值定理与极限的保号性,有一定的难度 完全类似的例题见《数学复习指南》P130例58,《数学题型集粹与练习题集》P70例54 (12)设n阶矩阵A与B等价,则必有 (A)当A=a(a≠0)时,|B=a.(B)当A=a(a≠0)时,|B|=-a (C)当|A|≠=0时,|B=0 (D)当A|=0时,|B=0 [D] 【分析】利用矩阵A与B等价的充要条件:r(4)=r(B)立即可得 【详解】因为当A}=0时,r(A)<n,又A与B等价,故r(B)<n,即BF=0,故选OD) 【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查,属基本题型.相关知识要点见《数学复习指南》 P284-286 (13)设n阶矩阵A的伴随矩阵A≠0,若12,5324是非齐次线性方程组Ax=b的 互不相等的解,则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系 (A)不存在 (B)仅含一个非零解向量 (C)含有两个线性无关的解向量.(D)含有三个线性无关的解向量 B 【分析】要确定基础解系含向量的个数,实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩 【详解】因为基础解系含向量的个数=n-r(A),而且 n, r(A)=n, r()={,r(4)=n-1 0,r(A)<n-1 根据已知条件A≠0,于是r(A)等于n或n-1.又Ax=b有互不相等的解, 即解不惟一,故r(A)=n-1.从而基础解系仅含一个解向量,即选(B) 【评注】本题是对矩阵A与其伴随矩阵A的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个 知识点的综合考查 类似问题可见《数学复习指南》P327例3.31和《考研数学大串讲》(2002版,世界图 书出版公司)P57例4
6 至少存在一点 ( , ) x0 a b ，使得 f (x0 ) = 0 ； 另外， 0 ( ) ( ) ( ) lim − − = → + x a f x f a f a x a ，由极限的保号性，至少存在一点 ( , ) x0 a b 使得 0 ( ) ( ) 0 0 − − x a f x f a ，即 ( ) ( ) f x0 f a . 同理，至少存在一点 ( , ) x0 a b 使得 ( ) ( ) f x0 f b . 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D). 【评注】 本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度. 完全类似的例题见《数学复习指南》P130 例 5.8，《数学题型集粹与练习题集》P70 例 5.4. (12) 设 n 阶矩阵 A 与 B 等价, 则必有 (A) 当 | A |= a(a 0) 时, | B |= a . (B) 当 | A |= a(a 0) 时, | B |= −a . (C) 当 | A | 0 时, | B |= 0 . (D) 当 | A |= 0 时, | B |= 0 . [ D ] 【分析】 利用矩阵 A 与 B 等价的充要条件: r(A) = r(B) 立即可得. 【详解】因为当 | A |= 0 时, r(A) n, 又 A 与 B 等价, 故 r(B) n , 即 | B |= 0 , 故选(D). 【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型. 相关知识要点见《数学复习指南》 P.284-286. (13) 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 0, * A 若 1 2 3 4 ξ ,ξ ,ξ ,ξ 是非齐次线性方程组 Ax = b 的 互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量. (C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. [ B ] 【分析】 要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩. 【详解】 因为基础解系含向量的个数= n − r(A) , 而且 − = − = = 0, ( ) 1. 1, ( ) 1, , ( ) , ( ) * r A n r A n n r A n r A 根据已知条件 0, * A 于是 r(A) 等于 n 或 n −1. 又 Ax = b 有互不相等的解, 即解不惟一, 故 r(A) = n −1. 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B). 【评注】本题是对矩阵 A 与其伴随矩阵 * A 的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个 知识点的综合考查. 类似问题可见《数学复习指南》P.327 例 3.31 和《考研数学大串讲》(2002 版, 世界图 书出版公司) P.157 例 4
(14)设随机变量X服从正态分布N(01),对给定的a∈(0,1),数a满足P{X>un}=a 若P{Xkx}=a,则x等于 (A)u (B)u (C)u1 (D) [ C 【分析】利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得 【详解】由P{Xkx}=a,以及标准正态分布密度曲线的对称性可得 PIX>x) 故正确答案为() 【评注】本题是对标准正态分布的性质,严格地说它的上分位数概念的考查 见《数学复习指南》P489分位数概念的注释 三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分8分) 求lm( 【分析】先通分化为0,型极限,再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可 【详解】lm( x→0sn2x +2)=lim x -sin xcos x x sin x sina in 4. = lim -= lm cos 4x lim x2x>06x23 【评注】本题属于求未定式极限的基本题型,对于“”型极限,应充分利用等价无穷小 替换来简化计算. 完全类似的例题见《数学复习指南》P28例145 (16)(本题满分8分) 求「/yx2+y2+y)d,其中D是由圆x2+y2=4和(x+1)2+y2=1所围成的 D 平面区域(如图) 【分析】首先,将积分区域D分为大圆D={(x,y)x2+y2≤4}减去小圆 D2={(x,y)(x+1)2+y2≤1},再利用对称性与极坐标计算即可 【详解】令D={(x,y)x2+y2≤4},D2=(x,y)(x+1)2+y2≤1}, 由对称性,yda=0 7
7 (14) 设随机变量 X 服从正态分布 N(0,1) , 对给定的 α (0,1), 数 α u 满足 P{X uα } = α , 若 P{| X | x} = α , 则 x 等于 (A) 2 α u . (B) 2 1 α u − . (C) 2 1 α u − . (D) α u1− . [ C ] 【分析】 利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得. 【详解】 由 P{| X | x} = α , 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得 2 1 { } α P X x − = . 故正确答案为(C). 【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考查. 见《数学复习指南》P.489 分位数概念的注释. 三、解答题(本题共 9 小题，满分 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分 8 分) 求 ) cos sin 1 lim ( 2 2 2 0 x x x x − → . 【分析】先通分化为“ 0 0 ”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可. 【详解】 x x x x x x x x x x 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 sin sin cos ) lim cos sin 1 lim ( − − = → → = 3 4 6 (4 ) 2 1 lim 6 1 cos4 lim 4 sin 4 2 1 2 lim sin 2 4 1 lim 2 2 0 2 0 3 0 4 2 2 0 = = − = − = − → → → → x x x x x x x x x x x x x x . 【评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“ 0 0 ”型极限，应充分利用等价无穷小 替换来简化计算. 完全类似的例题见《数学复习指南》P28 例 1.45. (16) (本题满分 8 分) 求 + + D ( x y y)d 2 2 ，其中 D 是由圆 4 2 2 x + y = 和 ( 1) 1 2 2 x + + y = 所围成的 平面区域(如图). 【分析】首先，将积分区域 D 分为大圆 {( , )| 4} 2 2 D1 = x y x + y 减去小圆 {( , )|( 1) 1} 2 2 D2 = x y x + + y ，再利用对称性与极坐标计算即可. 【详解】令 {( , )| 4}, {( , )|( 1) 1} 2 2 2 2 2 D1 = x y x + y D = x y x + + y ， 由对称性， = 0 D yd
5V22+yodo=S5vx2+y2do-[2+y2d de r-ar cosr dr 所以,∫(√x2+y2+y)da=。(3x-2) 【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型,对于二重积分,经常利用对称性 及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算 完全类似的例题见《数学题型集粹与练习题集》P101例812(1),《数学三临考演习》P16 第17题,《考研数学大串讲》P9例2. (17)(本题满分8分 设∫(x),8(x)在[a,b]上连续,且满足 /OM2J80Mh,x∈[a,b,J。()m=,8( ∫(x) drsg(r)dr 【分析】令Fx)=(-8x),G(x)=F(,将积分不等式转化为函数不等式即可 【详解】令Fx)=f(x)-g(x,G(x)=F(n)dt, 由题设G(x)≥0,x∈{a,b, G(a)=G(b)=0,G(x)=F(x) 从而「xF(x)d=[xdG(x)=x(x G(xdx=- G(x 由于G(x)≥0,x∈[a,b,故有 G(x)dx≤0, 即xF(x)x≤0 因此x/(x)dx≤xg(x)lx 【评注】引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法 完全类似的例题见《考研数学大串讲》P60例4 (18)(本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q=100-5P,其中价格P∈(0,20),Q为需求量 ()求需求量对价格的弹性Ea(Ea4>0)
8 + = + − + 1 2 2 2 2 2 2 2 D D D x y d x y d x y d − = − 2cos 0 2 2 3 2 2 0 2 2 0 d r dr d r dr . (3 2) 9 16 9 32 3 16 = − = − 所以， (3 2) 9 16 ( ) 2 2 + + = − D x y y d . 【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性 及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算. 完全类似的例题见《数学题型集粹与练习题集》P101 例 8.12(1)，《数学三临考演习》P16 第 17 题，《考研数学大串讲》P79 例 2. (17) (本题满分 8 分) 设 f (x) , g(x)在[a , b]上连续，且满足 x a x a f (t)dt g(t)dt ，x [a , b)， = b a b a f (t)dt g(t)dt . 证明： b a b a xf (x)dx xg(x)dx . 【分析】令 F(x) = f (x) − g(x)， = x a G(x) F(t)dt ，将积分不等式转化为函数不等式即可. 【详解】令 F(x) = f (x) − g(x)， = x a G(x) F(t)dt ， 由题设 G(x) 0，x [a , b]， G(a) = G(b) = 0，G(x) = F(x) . 从而 = = − = − b a b a b a b a b a x F(x)dx xdG(x) x G(x) G(x)dx G(x)dx ， 由于 G(x) 0，x [a , b]，故有 − ( ) 0 b a G x dx ， 即 ( ) 0 b a xF x dx . 因此 b a b a xf (x)dx xg(x)dx . 【评注】引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法. 完全类似的例题见《考研数学大串讲》P60 例 4. (18) (本题满分 9 分) 设某商品的需求函数为 Q = 100 − 5P，其中价格 P (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性 Ed ( Ed > 0)；
dR 降低价格区SPQ(1-E)其中R为收益,并用弹性E说明价格在何范围内变化时, (I)推 使收益增加 【分析】由于E>0,所以E园如由Q=P及E= Omp/可推导 od- ed) 【详解】()E=P。P lo dP 20-P (I)由R=PQ,得 dR =O+P @(+Pdg )=Q(1-Ea) dP o dP 又由Ed=20-P =1,得P=10 当101,于是 dR 0时,需求量对价格的弹性公式为E1=1=-P o di o dP 利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式 dR dR (-hc,如 (l-Ed)Q ed ER 1-E4(收益对价格的弹性 这些公式在文登学校辅导材料系列之五《数学应用专题(经济类)》有详细的总结 完全类似的例题见《数学复习指南》P255例124,《数学应用专题经济类》P2. (19)(本题满分9分) 设级数 (-∞<x<+∞) 2.42.4.62.4.6.8 的和函数为Sx)求 (D)S(x)所满足的一阶微分方程; (I)S(x)的表达式 【分析】对S(x)进行求导,可得到S(x)所满足的一阶微分方程,解方程可得S(x)的表达式 【详解】()S(x) 2.42.4.62.4·68
9 (II) 推导 (1 ) Q Ed dP dR = − (其中 R 为收益)，并用弹性 Ed 说明价格在何范围内变化时， 降低价格反而使收益增加. 【分析】由于 Ed > 0，所以 dP dQ Q P Ed = ；由 Q = PQ 及 dP dQ Q P Ed = 可推导 (1 ) Q Ed dP dR = − . 【详解】(I) P P dP dQ Q P Ed − = = 20 . (II) 由 R = PQ，得 (1 ) (1 ) Q Ed dP dQ Q P Q dP dQ Q P dP dR = + = + = − . 又由 1 20 = − = P P Ed ，得 P = 10. 当 10 1，于是 0 dP dR ， 故当 10 0 时，需求量对价格的弹性公式为 dP dQ Q P dP dQ Q P Ed = = − . 利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式： dR = (1− Ed )Qdp ， E Q dp dR d = (1− ) ， p dQ E dR d ) 1 = (1− ， Ed Ep ER =1− (收益对价格的弹性). 这些公式在文登学校辅导材料系列之五《数学应用专题(经济类)》有详细的总结. 完全类似的例题见《数学复习指南》P255 例 12.4，《数学应用专题(经济类)》P2. (19) (本题满分 9 分) 设级数 ( ) 2 4 2 4 6 2 4 6 8 4 6 8 + − + + + x x x x 的和函数为 S(x). 求： (I) S(x)所满足的一阶微分方程； (II) S(x)的表达式. 【分析】对 S(x)进行求导，可得到 S(x)所满足的一阶微分方程，解方程可得 S(x)的表达式. 【详解】(I) + + + = 2 4 2 4 6 2 4 6 8 ( ) 4 6 8 x x x S x
易见S(O)=0 S(x)= 22.42.4.6 22.42.4.6 x[+s(x) 因此Sx)是初值问题 y=xy+-,y(0)=0的解 (I)方程y=xy+的通解为 由初始条件yO)=0,得C=1 故y=--+e2-1,因此和函数S(x)=12+2 【评注】本题综合了级数求和问题与微分方程问题,2002年考过类似的题 完全类似的例题见《数学复习指南》P214例919,《数学三临考演习》P2第18题 (20)(本题满分13分) 设a1=(1,20),a2=(1a+2,-3a),a3=(-1-b-2,a+2b),B=(13-3) 试讨论当a,b为何值时 (I)β不能由a12a2,a3线性表示 (Ⅱ)B可由a1,a2,a3唯一地线性表示,并求出表示式 (Ⅲ)B可由a1,a2a3线性表示,但表示式不唯一,并求出表示式 【分析】将B可否由a1,O2,O3线性表示的问题转化为线性方程组ka1+k2a2+k3a3=B 是否有解的问题即易求解 【详解】设有数k1,k2,k3,使得
10 易见 S(0) = 0， + + = + 2 2 4 2 4 6 ( ) 3 5 7 x x x S x ) 2 2 4 2 4 6 ( 2 4 6 + + = + x x x x ( )] 2 [ 2 S x x = x + . 因此 S(x)是初值问题 , (0) 0 2 3 = + y = x y xy 的解. (II) 方程 2 3 x y = xy + 的通解为 ] 2 [ 3 e dx C x y e xdx xdx + = − 2 2 2 1 2 x Ce x = − − + ， 由初始条件 y(0) = 0，得 C = 1. 故 1 2 2 2 2 = − + − x e x y ，因此和函数 1 2 ( ) 2 2 2 = − + − x e x S x . 【评注】本题综合了级数求和问题与微分方程问题，2002 年考过类似的题. 完全类似的例题见《数学复习指南》P214 例 9.19，《数学三临考演习》P82 第 18 题. (20)(本题满分 13 分) 设 T α (1,2,0) 1 = , T α (1,α 2, 3α) 2 = + − , T α ( 1, b 2,α 2b) 3 = − − − + , T β = (1,3,−3) , 试讨论当 a,b 为何值时, (Ⅰ) β 不能由 1 2 3 α ,α ,α 线性表示; (Ⅱ) β 可由 1 2 3 α ,α ,α 唯一地线性表示, 并求出表示式; (Ⅲ) β 可由 1 2 3 α ,α ,α 线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. 【分析】将 β 可否由 1 2 3 α ,α ,α 线性表示的问题转化为线性方程组 k1α1 + k2α2 + k3α3 = β 是否有解的问题即易求解. 【详解】 设有数 , , , 1 2 3 k k k 使得