第6章代数系统 61代数系统的概念 62代数系统的同态和同构 63代数系统的积代数 64半群与独异点 65群与交换群 66环与域 67格与布尔代数
第6章 代数系统 6.1 代数系统的概念 6.2 代数系统的同态和同构 6.3 代数系统的积代数 6.4 半群与独异点 6.5 群与交换群 6.6 环与域 6.7 格与布尔代数
第6章代数系统 代数的概念与方法是研究计算机科学和 工程的重要数学工具.它属于近世代数的内 容众所周知,近世代数是研究具有运算的 集合,它第一次揭示了数学系统的多变性 丰富性,而近世代数研究的中心问题是 代数系统的结构 群、群、格与 跤等代数系统的结构理论可用于计算机 法的复杂度分析,研究抽象数据结构的性 簊础本将对代数系的基本概念发主要一 的代数系统进行重点介绍
第6章 代数系统 代数的概念与方法是研究计算机科学和 工程的重要数学工具.它属于近世代数的内 容.众所周知，近世代数是研究具有运算的 集合，它第一次揭示了数学系统的多变性 与丰富性，而近世代数研究的中心问题是 代数系统的结构：半群、群、格与布尔代 数等.代数系统的结构理论可用于计算机算 法的复杂度分析，研究抽象数据结构的性 质及操作，同时也是程序设计语言的理论 基础.本章将对代数系统的基本概念及主要 的代数系统进行重点介绍
6.1代数系统的概念 ■6.1.1代数运算的定义 ■6.1.2二元运算及其性质 ■613代数系统中的特殊元素
6.1 代数系统的概念 6.1.1 代数运算的定义 6.1.2 二元运算及其性质 6.1.3 代数系统中的特殊元素
6.1.1代数运算的定义 定义6.1-1设S为集合,函数 f:S→S,称为S上的一个一元运算 定义6.1-2设S为集合,函数 f:S×S→S,称为S上的一个二元运算 定义6.1-3设S为集合,函数 f:S×S×.×S→S,称为S上的一个n 元运算
6.1.1 代数运算的定义 定义6.1-1 设S为集合，函数 f:S→S,称为S上的一个一元运算. 定义6.1-2 设S为集合，函数 f:S×S→S,称为S上的一个二元运算. 定义6.1-3 设S为集合，函数 f：S×S×…×S→S,称为S上的一个n 元运算
6.1.1代数运算的定义 定义6.1-4通常用0,*,·等符号表 示二元运算,称为算符设f:S×S→S是S上 的二元运算,对任意的xy∈S,ⅹ与y的运算 结果是z,即 f(〈X,y))=z 可利用算符。简记为 Xo y-Z
6.1.1 代数运算的定义 定义6.1-4 通常用 o ， * , ·等符号表 示二元运算，称为算符.设f:S×S→S是S上 的二元运算，对任意的x,y∈S，x与y的运算 结果是z,即 f(〈x,y〉) = z， 可利用算符 o 简记为 x o y=z
6.1.2二元运算及其性质 1.二元运算 的一乙x运算是最常见的代数运算下面是一些常见集合 是(1)自然数集合N上的乘法是N上的二元运算但除法不 拿,3整数集合z上的加法、减法和乘法是Z上的一元运 但除法不是 3)非零实数集R*上的乘法和除法都是R上的二元运 算,但加法、减法不是. (4)设M(R)表示所有n阶实矩阵的集合(n≥2),即 (见第110页公式) 则矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算 (5)S为任意集合,则∪,∩,-,⊕为S的幂集P(S)上的 元运算 6)S为任意集合,S°是S上的所有函数的集合,则合 成运算o是S°上的二元运算
6.1.2 二元运算及其性质 1.二元运算 二元运算是最常见的代数运算.下面是一些常见集合 的二元运算： (1)自然数集合N上的乘法是N上的二元运算,但除法不 是. (2)整数集合Z上的加法、减法和乘法是Z上的二元运 算，但除法不是. (3)非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运 算，但加法、减法不是. (4)设Mn (R)表示所有n阶实矩阵的集合(n≥2)，即 （见第110页公式） 则矩阵加法和乘法都是Mn (R)上的二元运算. (5)S为任意集合,则∪，∩，-， 为S的幂集P(S)上的 二元运算. (6)S为任意集合，S 是S上的所有函数的集合,则合 成运算 o 是S 上的二元运算. s s
6.1.2二元运算及其性质 2.二元运算的性质 定义6.1-5设0为S上的二元运算,如果对任意的 xy∈S都有 Xo y=y oX, 则称运算。在S上是可交换的,或者说o在S上适合交 换律 定义6.1-6设o为S上的二元运算,如果对任意的 xy,z∈S都有 (X o y)o Z=X o y o z) 则称运算。在S上是可结合的,或者说o在S上适合结 合律
6.1.2 二元运算及其性质 2.二元运算的性质 定义6.1-5 设 o 为S上的二元运算，如果对任意的 x,y∈S都有 x o y=y o x, 则称运算 o 在S上是可交换的，或者说 o 在S上适合交 换律. 定义6.1-6 设 o 为S上的二元运算，如果对任意的 x,y,z∈S都有 (x o y) o z=x o (y o z), 则称运算 o 在S上是可结合的，或者说 o 在S上适合结 合律
6.1.2二元运算及其性质 定义6.1-7设0为S上的二元运算,如果对任意的 X∈S都有 则称运算。适合幂等律,也可以说S中的全体元素都 是幂等元 定义6.1-8设o和*为S上的二元运算,如果对任意的 xy,z∈S都有 X( y o Z =(Xy)o(Xz (y o Z*X(y*Xo(Zx) 则称运算*对0在S上是可分配的,或者说*对在S上 适合分配律
6.1.2 二元运算及其性质 定义6.1-7 设 o 为S上的二元运算，如果对任意的 x∈S都有 x o x=x, 则称运算 o 适合幂等律，也可以说S中的全体元素都 是幂等元. 定义6.1-8 设 o 和*为S上的二元运算，如果对任意的 x,y,z∈S都有 x*(y o z)=(x*y) o (x*z), (y o z)*x=(y*x) o (z*x)， 则称运算*对 o 在S上是可分配的，或者说*对 o 在S上 适合分配律
6.1.2二元运算及其性质 定义6.1-9设o和*为S上的两个可交换的二元运算, 如果对任意的Xy∈S都有 X (X y=X, Xo Xy)=X, 则称运算o和*满足吸收律. 例如,在幂集P(S)上∪和∩是满足吸收律的
6.1.2 二元运算及其性质 定义6.1-9 设 o 和*为S上的两个可交换的二元运算， 如果对任意的x,y∈S都有 x*(x o y)=x， x o (x*y)=x， 则称运算 o 和*满足吸收律. 例如,在幂集P(S)上∪和∩是满足吸收律的
6.1.3代数系统中的特殊元素 给定集合A上的二元运算。,这里集合A可以是单个元 素,如:整数集合乙,其运算为乘法,在乙中存在元素 使得i∈Z*1=;若运算为加法,则在乙中存在元素0,使 入i∈ZH+0=于是,对满足这种特性的元素,应给予 定义 定义6.1-10设o为S上的二元运算,如果存在元素e (或e)∈S使得对任意X∈S,都有 eox=x(或xoe=X) 则称e(或e是S中关于运算的,个左么元(或右么 元)若e∈S关于0既是左么元,又是右幺元,则称e为S上 关于运算。的幺元
6.1.3 代数系统中的特殊元素 给定集合A上的二元运算 o ，这里集合A可以是单个元 素，如：整数集合Z，其运算为乘法，在Z中存在元素1， 使得 i∈Z,i*1=i；若运算为加法,则在Z中存在元素0，使 得 i∈Z,i+0=i.于是，对满足这种特性的元素，应给予一 个定义． 定义6.1-10 设 o 为S上的二元运算,如果存在元素el (或er )∈S使得对任意x∈S, 都有 el o x=x （或x o er=x）, 则称el (或er )是S (或右幺 元).若e∈S关于 o 既是左幺元, 又是右幺元，则称e为S上 关于运算 o 的幺元