第5章函数 51基本概念 52函数的复合 5.3特殊性质的函数 5.4鸽洞原理
第5章 函数 5.1基本概念 5.2函数的复合 5.3特殊性质的函数 5.4鸽洞原理
第5章函数 函数是数学中最重要的概念之一在数学的各 个分支中,它起着十分重要的作用.本章将用集 论的语言讨论函数概念的本质函数也可以称作映 射,它是一种特殊的二元关系通常,函数可以认 为是梨入和物出布的关系,即对每输 数 或函 所讨论的有关集合或关系的运算和性质对于函 完全适用
第5章 函数 函数是数学中最重要的概念之一.在数学的各 个分支中，它起着十分重要的作用.本章将用集合 论的语言讨论函数概念的本质.函数也可以称作映 射，它是一种特殊的二元关系.通常，函数可以认 为是一种输入和输出之间的关系，即对每一个输 入或自变量，函数能够产生一个输出或函数值.以 前所讨论的有关集合或关系的运算和性质对于函 数完全适用
51基本概念 定义5.1-1设F为二元关系,若对任意的 x∈domF都存在唯一的y∈ranF,使得XFy成立, 则称F为函数如果〈x,y)∈函数F,则记为F(x) y,称y是F在x的函数值 定义5.1-2设F、G是函数,如果它们满足: domF=dog (2)∨X∈domF=domG都有F(x)=G(x), 则称F与G相等,记为F=G 换句话说就是,因为函数是集合,所以,两 个函数F和G相等就是它们的集合表达式相等
5.1 基本概念 定义5.1-1 设F为二元关系，若对任意的 x∈domF都存在唯一的y∈ranF，使得xFy成立， 则称F为函数.如果〈x,y〉∈函数F，则记为F（x） =y，称y是F在x的函数值. 定义5.1-2 设F、G是函数，如果它们满足： (1) domF=domG； (2) x∈domF=domG都有F(x)=G(x)， 则称F与G相等，记为F=G. 换句话说就是，因为函数是集合，所以，两 个函数F和G相等就是它们的集合表达式相等
51基本概念 定义5.1-3设A、B是集合,如果函数f满足以 下条件 1)domf=A; 2) rants 则称f是从A到B的函数,记作fA→B. 定义5.14对于函数fAB,如果 xy〉∈f,则称x为自变量,y为函数f在x处的值 也称y为在作用下x的像,而称x为y的一个像源, 通常也用y=fx)表示〈X,y)〉∈f
5.1 基本概念 定义5.1-3 设A、B是集合，如果函数f满足以 下条件： (1) domf=A； (2) ranf B， 则称f是从A到B的函数，记作f:A→B. 定义5.1-4 对于函数f:A→B,如果 〈x,y〉∈f，则称x为自变量，y为函数f在x处的值. 也称y为在f作用下x的像，而称x为y的一个像源， 通常也用y=f(x)表示〈x,y〉∈f
51基本概念 定义5.1-5设fA→B,A国,则A'在f下的像 是 f(A)={x∈A}=f[A 当A=A时,称fA)=f(A)=ranf是函数的像 定义5.1-6设是从集合A到集合B的关系,A 如果对每个X∈A,存在唯一的y∈B,使 xy>∈f,则称f为x到Y的偏函数记为f×→Y 由偏函数的定义可知,对任意的x∈XX,f(x) 的值没有定义为了区别偏函数和函数,有时把函 数称为全函数通常所说的函数即指全函数
5.1 基本概念 定义5.1-5 设f:A→B，A′ A，则A′在f下的像 是 f(A′)={f(x)|x∈A′}=f［A′］. 当A′=A时，称f(A′)=f(A)=ranf是函数的像. 定义5.1-6 设f是从集合A到集合B的关系，A′ A，如果对每个x∈A′，存在唯一的y∈B，使 〈x,y〉∈f，则称f为X到Y的偏函数.记为 f:X→Y. 由偏函数的定义可知，对任意的x∈X-X′，f(x) 的值没有定义.为了区别偏函数和函数，有时把函 数称为全函数.通常所说的函数即指全函数
52函数的复合 函数是特殊的二元关系,两个函数的复合本质上就是 两个关系的合成,以前给出的有关关系合成的所有定理都 适合于函数的复合 定义52-1设fx→Y和g:Y→是两个函数复合关系: gof={〈Xz)(X∈X)∧(z∈Z)A (y)(y∈Y∧y=f(x)Az=g(y) 称为函数和的复合 函数的复合采用记号gof来代替关系复合中采用的记 弓fog这主要是因为,当写一个变换时,通常把先执行的 运算放在第二个位置上,例如,微积分中大家熟悉的复合 函数sn(nx)的记号
5.2 函数的复合 函数是特殊的二元关系，两个函数的复合本质上就是 两个关系的合成，以前给出的有关关系合成的所有定理都 适合于函数的复合. 定义5.2-1 设f:X→Y和g:Y→Z是两个函数.复合关系： g o f={〈x,z〉|(x∈X)∧(z∈Z)∧ ( y)(y∈Y∧y=f(x)∧z=g(y))} 称为函数和的复合. 函数的复合采用记号g o f来代替关系复合中采用的记 号f o g.这主要是因为，当写一个变换时，通常把先执行的 运算放在第二个位置上，例如，微积分中大家熟悉的复合 函数sin(lnx)的记号
52函数的复合 定理52-1设fX→Y,g:Y→乙,则函数的 复合go是一个从X到Z的函数,且对所有 的x∈X,(gof)(x)=g(f(x) 定义522A上的恒等关系|就是A上的 恒等函数,对于所有的X∈A都有A(x)=x 定理522和是恒等函数,函数 f:×→Y,则fokx=of=f
5.2 函数的复合 定理5.2-1 设f:X→Y,g:Y→Z,则函数的 复合g o f是一个从X到Z的函数，且对所有 的x∈X,(g o f)(x)=g(f(x)). 定义5.2-2 A上的恒等关系IA就是A上的 恒等函数，对于所有的x∈A都有IA (x)=x. 定理5.2-2 IX和IY是恒等函数，函数 f:X→Y，则f o IX=IY o f=f
52函数的复合 定理52-3设有函数fX→Y,g:Y→Z及 h:z→W,则函数的复合具有可结冷性,即 h o g o f=(h o go f=h o g o f 定义52-3若fX→,则函数f能够对自身复 任意多次用于f对其自身的多次复合归纳定义如 (1)f0(a)= 2)f(a=f(fn(a) 另外,函数的定义域可以是集合的n阶笛卡儿 乘积子集,具有这样定义的函数称为多元函数F 在(〈X1,X2…,xn〉处的值表示为f(x1,x2,…,Xn)
5.2 函数的复合 定理5.2-3 设有函数f:X→Y，g:Y→Z及 h:Z→W，则函数的复合具有可结合性，即 h o (g o f)=(h o g) o f=h o g o f. 定义5.2-3 若f:X→X，则函数f能够对自身复 合任意多次.用于f对其自身的多次复合归纳定义如 下： (1) f (a)=IX， (2) f (a)=f(f (a)). 另外，函数的定义域可以是集合的n阶笛卡儿 乘积子集，具有这样定义的函数称为多元函数.F 在〈x1 ,x2 ,…,xn〉处的值表示为f(x1 ,x2 ,…,xn ). 0 n+1 n
53特殊性质的函数 本节将讨论具有特殊性质的函数,并给出一些有关的 术语 定义5.3-1设一个函数fX→Y, (1)若对于每个y∈Y,都存在x且有y=f(×),则称f是满 射的,即 f是满射的≈y∈Y→X(X∈XAf(x)=y) 单的,任意的xx()1)一为y则称是 f是单射的→X1∈Ⅹ∧X2∈XAf(x)=f(x2)→X1=x2 (3)若f既是满射的又是单射的,则称f是双射的 具有上述特征的函数分别称为满射函数,单射函数 双射函数
5.3 特殊性质的函数 本节将讨论具有特殊性质的函数，并给出一些有关的 术语. 定义5.3-1 设一个函数f:X→Y， (1) 若对于每个y∈Y，都存在x且有y=f(x)，则称f是满 射的，即 f y∈Y→ x(x∈X∧f(x)=y). (2) 若对任意的x1 ,x2∈X有f(x1 )=f(x2 ) x1=x2，则称f是 单射的，即 f x1∈X∧x2∈X∧f(x1 )=f(x2 )→x1=x2. (3) 若f既是满射的又是单射的，则称f是双射的. 具有上述特征的函数分别称为满射函数，单射函数， 双射函数
53特殊性质的函数 定理53-1设fB→C,g:A→B (1)如果f,g是满射的,则fog:A→C也是满射的 (2)如果f,g是单射的,则fogA→C也是单射的. (3)如果f,g是双射的,则fog:A→C也是双射的 定义53-2设函数fX→Y,如果对于所有的ⅹ∈Ⅹ, 存在某一个y∈Y,使得f(x)=y,即f(×)={y},则称f为常 值函数 定义53-3设:X→Y是双射函数,它的反函数是f 的逆关系,记为f1 定理53-2设:X→Y是双射函数,则其逆关系f1也 是双射函数,并且f1:Y
5.3 特殊性质的函数 定理5.3-1 设f:B→C，g:A→B. (1) 如果f，g是满射的，则f o g:A→C也是满射的. (2) 如果f，g是单射的，则f o g:A→C也是单射的. (3) 如果f，g是双射的，则f o g:A→C也是双射的. 定义5.3-2 设函数f:X→Y，如果对于所有的x∈X， 存在某一个y∈Y，使得f(x)=y，即f(x)={y}，则称f为常 值函数. 定义5.3-3 设f:X→Y是双射函数，它的反函数是f 的逆关系，记为f . 定理5.3-2 设f:X→Y是双射函数，则其逆关系f 也 是双射函数，并且f :Y→X. -1 -1 -1