万学教育海文考研 2008年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题 选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内 (1)设0<a<b,则lm(a"+b-)2() (B) (C)b 分析:m(a"+b5)=lm =lima1+ b f(ndt (2)设函数∫(x)在区间[11上连续,则x=0是函数g(x)= (4)间断(2)可去间断点()无穷间断点(D.抵间断点 分析:1img(x)=mf( =1imf(x)=/(0)所以x=0是函数g(x)的可去间断点 (3)设f(x)是连续奇函数,g(x)是连续偶函数,区域 D=()≤x≤1-≤y≤则正确的 ()g()g(x)b=0 (B)IIf(x)g()dxdy =0 (C)J0/a+s①)d=0.(D)J()+s(可pahp=0 D 解 分析:(4)中f(y)为奇函数,g(x)为偶函数,所以fg(x)dy=0 (4)曲线方程为y=f(x)函数在区间[O,a]上有连续导数,则定积分xf(x)xtx() (4)曲边梯形ABCD面积 (B)梯形ABCD面积 (C)曲边三角形ACD面积 (D)三角形ACD面积 第1页共11页
万学教育 海文考研 第 1 页 共 11 页 2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设 0 a b ，则 ( ) 1 0 lim n n n n a b − − → + （ ） ( A) a . (B) 1 a − . (C) b . (D) 1 b − . 解： (B) 分析； ( ) 1 1 0 0 lim lim 1 n n n n n n n n n b a b a a − − − − → → − + = + 1 1 0 1 lim 1 n n n a a b a − → = + = （2）设函数 f x( ) 在区间 [ 1,1] − 上连续，则 x = 0 是函数 0 ( ) ( ) x f t dt g x x = 的（ ） ( A) 跳跃间断点. (B) 可去间断点. (C) 无穷间断点 (D) 振荡间断点 解 ：(B) 分析： ( ) ( ) 0 0 0 0 ( ) lim ( ) lim lim 0 x x x x f t dt g x f x f → → → x = = = 所以 x = 0 是函数 g x( ) 的可去间断点 （3）设 f x( ) 是连续奇函数， g x( ) 是连续偶函数，区域 D x y x x y x = − ( , ) 0 1, 则正确的（ ） ( A) ( ) ( ) 0 D f y g x dxdy = . (B) ( ) ( ) 0 D f x g y dxdy = . (C) [ ( ) ( )] 0 D f x g y dxdy + = . (D) [ ( ) ( )] 0 D f y g x dxdy + = . 解 ：( A) 分析： ( A) 中 f y( ) 为奇函数， g x( ) 为偶函数，所以 ( ) ( ) 0 D f y g x dxdy = （4）曲线方程为 y f x = ( ) 函数在区间 [0, ] a 上有连续导数，则定积分 ' 0 ( ) a xf x dx （ ） ( A) 曲边梯形 ABCD 面积. (B) 梯形 ABCD 面积. (C) 曲边三角形 ACD 面积. (D) 三角形 ACD 面积. 解： C
万学教育海文考研 分析:J”矿(x)=x(x)可d(a)-(x)h 其中af(a)是矩形面积,f(x)d为曲边梯形的面积 所以y(x为曲边三角形的面积。 (5)设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵.若A3=0,则() (4)E-A不可逆,E+A不可逆 (B)E-A不可逆,E+A可逆 (C)E-A可逆,E+A可逆 (D)E-A可逆,E+A不可逆 分析:(E-A+A+A)=E-A=E,(E+A)E-A+A)=E+A=E, 故E-A,E+A均可逆。 2 (6)设A= 则在实数域上与A合同的矩阵为() B D -12 解:选(D 分析:|ZE-4 (2-1)-4=2-2-3=(2+1)(2-3y)=0 则λ1=-1,2=3。记 则 ZE E-Dl (+1)(2-3)=0 则2=-12=3,正、负惯性指数相同,故选(D) (7)随机变量X,独立同分布且x的分布函数为F(x),则Z=max{X,}的分布函数 为( (4)F2(x) (B) F()F(y (C)1-[1-F(x) (D)[1-F(x)[1-F(y)] 第2页共11页
万学教育 海文考研 第 2 页 共 11 页 分析： 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) a a a xf x dx xdf x af a f x dx = = − 其中 af a( ) 是矩形面积， 0 ( ) a f x dx 为曲边梯形的面积 所以 0 ( ) a xf x dx 为曲边三角形的面积。 （5）设 A 为 n 阶非零矩阵， E 为 n 阶单位矩阵. 若 3 A = 0 ，则（ ） ( A) E A − 不可逆， E A + 不可逆. (B) E A − 不可逆， E A + 可逆. (C) E A − 可逆， E A + 可逆. (D) E A − 可逆， E A + 不可逆. 解： (C) 分析： 2 3 ( )( ) E A E A A E A E − + + = − = ， 2 3 ( )( ) E A E A A E A E + − + = + = ， 故 E A E A − + , 均可逆。 （6）设 1 2 2 1 A = ，则在实数域上与 A 合同的矩阵为（ ） ( A) 2 1 1 2 − − (B) 2 1 1 2 − − (C) 2 1 1 2 (D) 1 2 2 1 − − 解：选 (D) 分析： ( ) ( )( ) 2 2 1 2 1 4 2 3 1 3 0 2 1 E A − − − = = − − = − − = + − = − − 则 1 2 = − = 1, 3 。记 1 2 2 1 D − = − ，则 ( ) ( )( ) 2 2 1 2 1 4 2 3 1 3 0 2 1 E D − − = = − − = − − = + − = − 则 1 2 = − = 1, 3，正、负惯性指数相同，故选 (D) （7）随机变量 X Y, 独立同分布且 X 的分布函数为 F x( ) ，则 Z X Y = max , 的分布函数 为（ ） ( A) ( ) 2 F x . (B) F x F y ( ) ( ) . (C) ( ) 2 1 1 − − F x . (D) 1 1 − − F x F y ( ) ( )
万学教育海文考研 分析 F(2)=P(z≤)=P{mx{x,}s+=P(Xs)P(≤=)=F()F()=F(-) (8)随机变量X-N1),Y-N(1,4)且相关系数Pm=1,则( (4)P{=-2X-1}=1 (B)P{y=2X-1l}=1 (C)P{Y=-2X+l}=1 (D)P(Y=2X+1) 解:选( 分析:用排除法 设Y=a+b,P=1,知道x正相关,得a>0,排除(小)、(C) H- N(O, 1),Y-N(, 4), H EX=0, EY=1, E(Y)=E(aX+b)=aEX +b a×+bb=排除(B) 故选择(D) 、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上 lasc (9)设函数f(x)= 在(-∞+0)内连续 解 分析:由m/(x)=mf(x)→c2+1=→c=1 x→c (10)已知函数f(x)连续且1imf(x) =2,则曲线y=f(x)上对应x=0处切线方程 解: 分析:由Im(2=2且()连续,则/(0)=0,f(0=-im(x)-(0=2,所以 切线方程为:y=2x (11)dx x In xd 第3页共11页
万学教育 海文考研 第 3 页 共 11 页 解： ( A) 分析： F Z P Z z P X Y z ( ) = = ( ) max , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 = = = P X z P Y z F z F z F z （8）随机变量 X N(0,1) ，Y N(1,4) 且相关系数 1 XY = ，则（ ） ( A) P Y X = − − = 2 1 1 . (B) P Y X = − = 2 1 1 . (C) P Y X = − + = 2 1 1 . (D) P Y X = + = 2 1 1 . 解：选 (D) 分析：用排除法 设 Y aX b = + ，由 1 XY = ，知道 X Y, 正相关，得 a 0 ，排除 ( A) 、(C) 由 X N Y N ~ (0,1), ~ (1,4) ，得 EX EY = = 0, 1， E Y E aX b aEX b ( ) ( ) = + = + 1 0 , 1 = + = a b b 排除 (B) 故选择 (D) 二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）设函数 2 1, ( ) 2 , x x c f x x c x + = 在 ( , ) − + 内连续，则 c = . 解：1 分析：由 ( ) ( ) 2 2 lim lim 1 1 x c x c f x f x c c c → → + − = + = = （10）已知函数 f x( ) 连续且 0 ( ) lim 2 x f x → x = ，则曲线 y f x = ( ) 上对应 x = 0 处切线方程 为 . 解： y x = 2 分析：由 0 ( ) lim 2 x f x → x = 且 f x( ) 连续，则 f (0 0 ) = ， ( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim 2 x f x f f → x − = = ，所以 切线方程为： y x = 2 . （11） 2 1 1 0 ln y dx x xdy = . 解： 1 2
万学教育海文考研 分析:∫xh对=减xd=小(x=1)=2 (12)微分方程(y+x2e)dx-xdh=0通解是y 分析 P O=xe (13)设3阶矩阵A的特征值互不相同,若行列式4=0,则A的秩为 分析:设A的特征值为,24,A≠2≠,则存在可逆矩阵P,使 P-lAP 4 A4=2 24=0 又码是互不相同,则,是中有且只有一个为零故rA)=nB22 (14)设随机变量X服从参数为1的泊松分布,则P{X=EN 分析:因为DX=EF2-(BX)2,所以EX2=2,X服从参数为1的泊松分布, 所以P{X=2)} 三、解答题:15-23小题,共94分请将解答写在答题纸指定的位置上解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤 (15)(本题满分10分) sinx 求极限lm-ln 解:lim-ln =lim-In 1+ x→0x 第4页共11页
万学教育 海文考研 第 4 页 共 11 页 分析： 2 1 2 1 2 1 1 0 1 0 1 0 ln ln y y y dx x xdy xdx x dy dx dx = = ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 x = − = − = x dx x （12）微分方程 2 ( ) 0 x y x e dx xdy − + − = 通解是 y = . 解： x y xe Cx − = − + 分析： y x y xe x − − = ， 1 P x = − ， x Q xe− = 1 1 dx dx x x x y e xe e dx C − − = + ( ) x x x e dx C xe Cx − − = + = − + . （13）设 3 阶矩阵 A 的特征值互不相同，若行列式 A = 0 ，则 A 的秩为 . 解：2 分析：设 A 的特征值为 1 2 3 , , ， 1 2 3 ，则存在可逆矩阵 P ，使得 1 1 2 3 P AP B − = = ，故 1 1 2 3 A P P − = ，由 A = 0， 1 1 1 2 2 1 2 3 3 3 A P P 0 − = = = = 又 1 2 3 , , 互不相同，则 1 2 3 , , 中有且只有一个为零，故 r A r B ( ) ( ) 2 = = （14）设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，则 2 P X EX = = . 解： 1 1 2 e − 分析：因为 2 2 DX EX EX = −( ) ，所以 2 EX = 2， X 服从参数为 1 的泊松分布， 所以 1 1 2 2 P X e− = = 三、解答题：15－23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. (15)（本题满分 10 分） 求极限 2 0 1 sin lim ln x x → x x . 解： 2 2 0 0 1 sin 1 sin lim ln lim ln 1 1 x x x x → → x x x x = + −
万学教育海文考研 li (16)(本题满分10分) 设f(x)=[1(-x)d,00知f(一) 为极小值 (17)(本题满分10分) 求函数u=x2+y2+22在在约束条件二=x2+y2和x+y+z=4下的最大和最小值 解:设F(x,y,=)=x2+y2+x2+A1(x2+y2-2)+A2(x+y+2-4) +2=0 F(x,y-)=02y+2y+k2=0 得方程组{F(x,y,)=0即{2=-1+2=0,解得{y=-2或{y=1 0 0 x+v+2 = (-2)2+(-2)2+82=72,Um=12+12+22=6 第5页共11页
万学教育 海文考研 第 5 页 共 11 页 3 2 0 0 0 sin cos 1 sin 1 lim lim lim x x x 3 6 6 x x x x → → → x x x − − = = = − = − (16) （本题满分 10 分） 设 ( ) ( ) 1 0 f x t t x dt = − ，0 1 x ，求 f x( ) 的极值、单调区间和凹凸区间. 解： 1 1 2 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x f x t x t dt t t x dt tx t dt t tx dt = − + − = − + − 2 3 3 2 3 3 3 3 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 2 3 3 2 3 2 0 t t t t x x x x x x x x x = − + − = − + − − − 3 3 1 6 3 2 6 x x x = + − + 3 1 3 2 3 x x = − + . 2 1 ( ) 2 f x x = − ,令 f x ( ) 0 = ，得 2 2 x = .因为 0 1 x ，所以 2 2 x = . f x ( ) 0 ，得 2 1 2 x f x ( ) 0 ，得 2 0 2 x 因此， f x( ) 的单调增区间是 2 ( ,1) 2 ；单调减区间是 2 (0, ) 2 . 由 f x x ( ) 2 = ，可知 (0,1) 为凹区间. 由 2 2 ( ) 0, ( ) 0, 2 2 f f = 知 2 2 1 ( ) 2 6 3 f = − + 为极小值. (17)（本题满分 10 分） 求函数 2 2 2 u x y z = + + 在在约束条件 2 2 z x y = + 和 x y z + + = 4 下的最大和最小值. 解：设 2 2 2 2 2 1 2 F x y z x y z x y z x y z ( , , ) ( ) ( 4) = + + + + − + + + − 得方程组 2 2 ( , , ) 0 ( , , ) 0 ( , , ) 0 0 4 0 x y z F x y z F x y z F x y z x y z x y z = = = + − = + + − = 即 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 0 2 2 0 2 0 0 4 0 x x y y z x y z x y z + + = + + = − + = + − = + + − = ，解得 2 2 8 x y z = − = − = 或 1 1 2 x y z = = = 得 2 2 2 max U = − + − + = ( 2) ( 2) 8 72 ， 2 2 2 min U = + + = 1 1 2 6
万学教育海文考研 (18)(本题满分10分) 设z=(x,y)是由方程x2+y2-z=(x+y+=)所确定的函数,其中q具有2阶导 数且p≠-1时 求(1)dz (2)2(xy)=1(-21,求a (1)2xx+2yb-=q(x+y+-)(x+d+), (q+1)d=(-g+2x)dx+(-q+2y)d 止(q+2)4++21(w= (2) (x,y) -g+2x-+2y p+ -2y+2x2 x-yg+1φ an2o7(1+ 20(1+1+ (1++2x-)2g°1+2x) (q+1) (o+ (19)(本题满分10分) f(x)是周期为2的连续函数 (1)证明对任意实数都行(x)d=/( (2)证明g(x)=2f()-「”(d是周期为2的周期函数 解:(1)对于∫”f(x),令x=2+,则厂f(xd=/(2+)hm 因为/(x)的周期为2,所以。f(x)k=J(x) 所以∫”f()k=-∫()女+(x)+”()=(x)d (2)8(x+2)2「"12/()-“f()m 第6页共11页
万学教育 海文考研 第 6 页 共 11 页 (18)（本题满分 10 分） 设 z z x y = ( , ) 是由方程 ( ) 2 2 x y z x y z + − = + + 所确定的函数，其中 具有 2 阶导 数且 −1 时， 求(1) dz （2）记 ( ) 1 , z z u x y x y x y = − − ，求 u x . 解： (1) 2 2 xdx ydy dz x y z dx dy dz + − = + + + + ( ) ( ), ( + = − + + − + 1 2 2 )dz x dx y dy ( ) ( ) ( 2 2 ) ( ) 1 x dx y dy dz − + + − + = + ( −1) (2) ( ) 1 , ( ) 1 2 2 ( ) 1 1 1 2 2 2 1 1 z z u x y x y x y x y x y y x x y = − − − + − + = − − + + − + = = − + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 2 (1 ) 2 (1 ) 1 2 (1 2 ) 2 (1 2 ) 1 1 1 1 z x u x x x x − − + + + + − + + = = − = − = − + + + + (19)（本题满分 10 分） f x( ) 是周期为 2 的连续函数， （1）证明对任意实数都有 ( ) ( ) 2 2 0 t t f x dx f x dx + = （2）证明 ( ) ( ) ( ) 2 0 2 x t t g x f t f s ds dt + = − 是周期为 2 的周期函数． 解：（1）对于 ( ) t 2 t f x dx + ，令 x u = +2 ，则 ( ) ( ) 2 0 2 t t t f x dx f u du + = + 因为 f x( ) 的周期为 2，所以 ( ) ( ) 2 2 0 t t f x dx f x dx + = 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 2 2 0 2 0 t t t t f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx + + = + + = （2） ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 2 x t t g x f t f s ds dt + + + = −
万学教育海文考研 2/()-“(+[20)厂()a g()+g{2/0)-r”(2m =g(x)+2()d-「"厂() )dsdt 因为厂f(x)d=(x) 所以 ∫"∫"f()sh=-∫",()dt 2(x)d=2/(x)d 所以8(+2)=8(+3()23/(=8( + 所以()是周期为2的周期函数 (20)(本题满分11分) 设矩阵Aa2a 现矩阵A满足方程AX=B,其中X=(x,x), (100) (1)求证|4(n+1)q (2)a为何值,方程组有唯一解 (3)a为何值,方程组有无穷多解 解:① 2 a22 2 第7页共11页
万学教育 海文考研 第 7 页 共 11 页 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 2 2 x t x t t x t f t f s ds dt f t f s ds dt + + + = − + − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x t x t g x f t f s ds dt + + = + − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x x t x x t g x f t dt f s dsdt + + + = + − 因为 ( ) ( ) 2 2 0 t t f x dx f x dx + = 所以 ( ) ( ) 2 2 2 2 0 x t x x t x f s dsdt f s dsdt + + + = ( ) ( ) 2 2 2 0 0 2 x x t f s ds f s ds + = = ( ) ( ) 2 2 0 2 2 x x f x dx f x dx + = 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 g x g x f t dt f s ds g x + = + − = 2 2 2 所以 g x( ) 是周期为 2 的周期函数 （20）（本题满分 11 分） 设矩阵 2 2 2 1 2 1 2 n n a a a A a a = ，现矩阵 A 满足方程 AX B = ，其中 ( 1 , , ) T X x x = n ， (1,0, ,0) T B = ， （1）求证 ( 1) n A n a = + （2） a 为何值，方程组有唯一解 （3） a 为何值，方程组有无穷多解 解：① 2 2 2 2 2 2 1 2 1 3 2 1 0 1 2 2 2 1 1 2 2 a a a a a a a A a a a a a a = =
万学教育海文考研 2a1 4c 3a4a(n+1) (n+1) n ②方程组有唯一解 由Ax=B,知4≠0,又= 记A=A,由克莱姆法则知 2a1 l)a"(n+1)a a22 第8页共11页
万学教育 海文考研 第 8 页 共 11 页 2 1 3 0 1 2 4 0 3 4 ( 1) 3 2 ( 1) 2 3 1 ( 1) 0 n a a a a a n a a n a n n a n + = = = + + ②方程组有唯一解 由 Ax B = ，知 A 0 ，又 ( 1) n A n a = + ，故 a 0。 记 A A = n n ，由克莱姆法则知， 2 2 1 ( 1) ( 1) 1 2 2 2 1 1 0 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 n n n n a a a A a a A x A A a a a a a a a − − = = = 2 2 2 ( 1) ( 1) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 n n a a a a a a a a a a a a a a − − = 1 ( 1) ( 1) n n na n n a n a − = = + +
万学教育海文考研 ③方程组有无穷多解 01 由4=0,有a=0,则(|B) 故r(4B)=r(4)=n-1 x,= x3=0 Ax=0的同解方程组为 ,则基础解系为k(1,0.0.,0),k为任意常数 又 0 0|=0,故可取特解为7=0 + 0)(0 所以Ax=B的通解为k04+0,k为任意常数。 0 (21)(本题满分11分) 设A为3阶矩阵,a1a2为A的分别属于特征值一1特征向量,向量a满足 Ad,=a2 +a3 证明(1)a1a2a3线性无关 (2)令P=(a1a2),求PAP 解:(1)假设a1,a2,a3线性相关,则ax3可由a1,a2线性表出,不妨设a3=1a1+la2,其 中1,12不全为零(若1,l2同时为0,则a3为0,由Aa3=a2+a3可知a2=0) Ax1=-a1,A2 Aa,=a,+a3=a,+la+la, 又Aa3=A(1a1+l2a2)=-1a1+1a2 1a1+2a2=a2+la1+la2,整理得:21a1+a2=0 第9页共11页
万学教育 海文考研 第 9 页 共 11 页 ③方程组有无穷多解 由 A = 0 ，有 a = 0 ，则 ( ) 0 1 1 0 1 0 | 0 0 1 0 0 A B = ,故 r A B r A n ( | 1 ) = = − ( ) Ax = 0 的同解方程组为 2 3 0 0 0 n x x x = = = ，则基础解系为 (1,0,0, ,0) T k ，k 为任意常数。 又 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 = ，故可取特解为 0 1 0 0 = , 所以 Ax B = 的通解为 1 0 0 1 0 0 , 0 0 k k + 为任意常数。 (21)（本题满分 11 分） 设 A 为 3 阶矩阵， 1 2 , 为 A 的分别属于特征值 −1,1 特征向量，向量 3 满足 A 3 2 3 = + ， 证明（1） 1 2 3 , , 线性无关； （2）令 P = ( 1 2 3 , , ) ，求 1 P AP − . 解：（1）假设 1 2 3 , , 线性相关，则 3 可由 1 2 , 线性表出，不妨设 3 1 1 2 2 = + l l ，其 中 1 2 l l, 不全为零（若 1 2 l l, 同时为 0，则 3 为 0，由 A 3 2 3 = + 可知 2 = 0 ） 1 1 A = − , A 2 2 = A l l 3 2 3 2 1 1 2 2 = + = + + 又 3 1 1 2 2 1 1 2 2 A A l l l l = + = − + ( ) 1 1 2 2 2 1 1 2 2 − + = + + l l l l ，整理得： 1 1 2 2 0 l + =
万学教育海文考研 则a1,a2线性相关,矛盾(因为a1,a2分别属于不同特征值得特征向量,故a1a2线性无关) 故:a12a2a3线性无关 (2)记P=(a1,a2,a3),则P可逆,A(a12a2,ax3)=(Ax1,Aax2,Ax3) =(-a,a2,a2+a3)=(a1,a2a3)011 100 即:AP=P0111P-AP=0 00 001 (22)(本题满分分 设随机变量X与y相互独立,X概率分布为P{X==(=-10.,Y概率密度 0≤y≤1 为f(y) 0其它一记Z=+ (1)求PZ≤-X=0 (2)求Z的概率密度 ld+0=(=+1) Psx==Px+sX=0=P(≤2)=小= 2.当z≥2时,F(=) 当x<-1时,F(=)=0 当-1≤z<2时, F(=)=P(Z≤)=P(X+Y≤=) =P(x+s=|X=-1)PX=-1)+P(X+Y≤=|X=0)P(X=0)+P(X+Ys=|X=1)P(X=1) =[P(Y≤+1)+P(Y≤)+P(≤2-1 当-1≤<0时,F(2)=1“1tb=21(=+1) 第10页共11页
万学教育 海文考研 第 10 页 共 11 页 则 1 2 , 线性相关，矛盾（因为 1 2 , 分别属于不同特征值得特征向量，故 1 2 , 线性无关）. 故： 1 2 3 , , 线性无关. （2）记 1 2 3 P = ( , , ), 则 P 可逆， 1 2 3 1 2 3 A A A A ( , , ) ( , , ) = 1 2 2 3 = − + ( , , ) 1 2 3 1 0 0 ( , , ) 0 1 1 0 0 1 − = 即： 1 0 0 0 1 1 0 0 1 AP P − = 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 P AP − − = . （22）（本题满分 11 分） 设随机变量 X 与 Y 相互独立， X 概率分布为 ( ) 1 1,0,1 3 P X i i = = = − ，Y 概率密度 为 ( ) 1 0 1 0 Y y f y = 其它 ，记 Z X Y = + （1）求 1 0 2 P Z X = （2）求 Z 的概率密度 解：1. 0 1 1 ( ) 1 1 0 ( 1) 3 3 z F z dy z = + + = + 1 2 0 1 1 1 1 ( 0) ( 0) ( ) 1 2 2 2 2 P z X P X Y X P Y dy = = + = = = = 2. 当 z 2 时， F z( ) 1 = 当 z −1 时， F z( ) 0 = 当 − 1 2 z 时， F z P Z z P X Y z ( ) ( ) ( ) = = + = + = − = − + + = = + + = = P X Y z X P X P X Y z X P X P X Y z X P X ( 1) ( 1) ( 0) ( 0) ( 1) ( 1) 1 ( 1) ( ) ( 1) 3 = + + + − P Y z P Y z P Y z 当 − 1 0 z 时， 1 0 1 1 ( ) 1 ( 1) 3 3 z F z dy z + = = +