2005年数学三试题分析、详解和评注

文登学校 2005年数学三试题分析、详解和评注 、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)极限 lim xsin 【分析】本题属基本题型,直接用无穷小量的等价代换进行计算即可 【详解】 lim xsi 2x_ =lim x 【评注】若在某变化过程下,a(x)~a(x),则imf(x)(x)=imf(x)(x) 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P23【例128】 (2)微分方程xy+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为xy=2 【分析】直接积分即可 【详解】原方程可化为(xy)=0,积分得xy=C, 代入初始条件得C=2,故所求特解为xy=2 【评注】本题虽属基本题型,也可先变形 cy y 再积分求解 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P229【例105】 (3)设二元函数二=xe+(x+1)m(1+y),则d=2ex+(e+)hy 【分析】基本题型,直接套用相应的公式即可 【详解】=ey+xe+h(1+y) xex+⊥1x +1 于是d=2edkx+(e+2)dhy 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P166【例76】 (4)设行向量组(2,11,1),(2,1,a,a),(3,2,1,a),(4,3,2,1)线性相关,且a≠1,则 【分析】四个4维向量线性相关,必有其对应行列式为零,由此即可确定a 【详解】由题设,有

文登学校 1 2005 年数学三试题分析、详解和评注 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1）极限 1 2 lim sin 2 → x + x x x = 2 . 【分析】 本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可. 【详解】 1 2 lim sin 2 → x + x x x = 2. 1 2 lim 2 = → x + x x x 【评注】 若在某变化过程下， (x) ~  (x) ，则 lim f (x)(x) = lim f (x) (x). 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.23【例 1.28】 （2） 微分方程 xy  + y = 0 满足初始条件 y(1) = 2 的特解为 xy = 2 . 【分析】 直接积分即可. 【详解】 原方程可化为 (xy) = 0 ，积分得 xy = C ， 代入初始条件得 C=2，故所求特解为 xy=2. 【评注】 本题虽属基本题型， 也可先变形 x dx y dy = − ， 再积分求解. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.229【例 10.5】 （3）设二元函数 z xe (x 1)ln(1 y) x y = + + + + ，则 = (1,0) dz 2edx + (e + 2)dy . 【分析】 基本题型，直接套用相应的公式即可. 【详解】 e xe ln(1 y) x z x y x y = + + +   + + , y x xe y z x y + + = +   + 1 1 , 于是 = (1,0) dz 2edx + (e + 2)dy . 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.166【例 7.6】 （4）设行向量组 (2,1,1,1)， (2,1,a,a) ，(3,2,1, a) ，(4,3,2,1) 线性相关，且 a 1 ，则 a= 2 1 . 【分析】 四个 4 维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定 a. 【详解】 由题设，有

文登学校 321a/(a-2a-1)=0,得a=1a=,但题设a≠1,故a= 【评注】当向量的个数小于维数时,一般通过初等变换化阶梯形讨论其线性相关性 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P312【例33】 (5)从数1,2,34中任取一个数,记为X,再从1,2…,X中任取一个数,记为Y,则 P{Y=2}48 【分析】本题涉及到两次随机试验,想到用全概率公式,且第一次试验的各种两两互 不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分 【详解】P{=2}=P{X=P{Y=2X=1}+P{X=2P(Y=2X=2} +P{X=3P{Y=2X=3}+P{X=4P{Y=2X=4} 4(0+11,1、13 【评注】全概率公式综合考查了加法公式、乘法公式和条件概率,这类题型一直都是 考查的重点 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P407【例131】 (6)设二维随机变量(XY)的概率分布为 0 0 已知随机事件{X=0}与{X+y=1}相互独立,则a=_04,b=-0 【分析】首先所有概率求和为1,可得a+b=05,其次,利用事件的独立性又可得一等 式,由此可确定ab的取值 【详解】由题设,知a+b=0.5 又事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立,于是有 P{X=0,X+Y=1}=P{X=0}P{X+Y=1}, 即a=(04+a)(a+b),由此可解得a=0.4,b=0.1 【评注】本题考查二维随机变量分布律的性质和独立随机事件的概念,均为大纲要求 的基本内容 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P528【习题二,1.(9)】 二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有

文登学校 2 = 4 3 2 1 3 2 1 2 1 2 1 1 1 a a a (a −1)(2a −1) = 0 , 得 2 1 a = 1,a = ，但题设 a 1 ，故 . 2 1 a = 【评注】 当向量的个数小于维数时，一般通过初等变换化阶梯形讨论其线性相关性. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.312【例 3.3】 （5）从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为 X, 再从 1,2,  , X 中任取一个数，记为 Y, 则 P{Y = 2} = 48 13 . 【分析】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互 不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分. 【详解】 P{Y = 2}= P{X =1}P{Y = 2 X =1} + P{X = 2}P{Y = 2 X = 2} + P{X = 3}P{Y = 2 X = 3} + P{X = 4}P{Y = 2 X = 4} = . 48 13 ) 4 1 3 1 2 1 (0 4 1  + + + = 【评注】 全概率公式综合考查了加法公式、乘法公式和条件概率，这类题型一直都是 考查的重点. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.407【例 1.31】 （6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件 {X = 0} 与 {X + Y = 1} 相互独立，则 a= 0.4 , b= 0.1 . 【分析】 首先所有概率求和为 1，可得 a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等 式，由此可确定 a,b 的取值. 【详解】 由题设，知 a+b=0.5 又事件 {X = 0} 与 {X + Y = 1} 相互独立，于是有 P{X = 0, X + Y = 1} = P{X = 0}P{X + Y = 1}， 即 a= (0.4 + a)(a + b), 由此可解得 a=0.4, b=0.1 【评注】 本题考查二维随机变量分布律的性质和独立随机事件的概念，均为大纲要求 的基本内容. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.528【习题二，1.（9）】 二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一

文登学校 项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)当a取下列哪个值时,函数f(x)=2x3-9x2+12x-a恰好有两个不同的零点 【分析】先求出可能极值点,再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析, 当恰好有一个极值为零时,函数f(x)恰好有两个不同的零点 【详解】f(x)=6x2-18x+12=6(x-1)x-2),知可能极值点为x=1,x=2,且 f(1)=5-a,f(2)=4-a,可见当a=4时,函数f(x)恰好有两个零点 故应选(B) 【评注】对于三次多项式函数fx)=ax3+bx2+cx+d,当两个极值同号时,函数fx) 只有一个零点:当两个极值异号时,函数f(x)有三个零点:当两个极值有一为零时,函数 f(x)有两个零点 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P151【例626】 (8)112=cx2+ydo,1=-josx2+y2)a,=』ox2+y)d 其中D=1(x,y)x2+y2≤1,则 (A)13>12>1 (B)I1>12>/3 (C)12>11>13 (D)13>1>12 【分析】关键在于比较√x2+y2、x2+y2与(x2+y2)2在区域 D={(x,y)x2+y2≤1}上的大小 【详解】在区域D=(x,y)x2+y2s1上,有0≤x2+y2≤1,从而有 >1≥√x2+y2≥x2+y2≥(x2+y2)2≥0 由于cosx在(0,)上为单调减函数,于是 0≤cosx2+y2≤cos(x2+y2)≤cos(x2+y2)2 因此∫osx2+ y'do<[cos(x2+y2)<∫osx2+y2)d,故应选(A) 【评注】本题比较二重积分大小,本质上涉及到用重积分的不等式性质和函数的单调 性进行分析讨论 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P183【例82】

文登学校 3 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）当 a 取下列哪个值时，函数 f (x) = 2x − 9x +12x − a 3 2 恰好有两个不同的零点. (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ B ] 【分析】 先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析， 当恰好有一个极值为零时，函数 f(x)恰好有两个不同的零点. 【详解】 ( ) 6 18 12 2 f  x = x − x + = 6(x −1)(x − 2) ，知可能极值点为 x=1,x=2，且 f (1) = 5 − a, f (2) = 4 − a ，可见当 a=4 时，函数 f(x) 恰好有两个零点， 故应选(B). 【评注】 对于三次多项式函数 f(x)= ax + bx + cx + d 3 2 ,当两个极值同号时，函数 f(x) 只有一个零点；当两个极值异号时，函数 f(x) 有三个零点；当两个极值有一为零时，，函数 f(x) 有两个零点. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.151【例 6.26】 （8）设 I x y d D  = + 2 2 1 cos , I x y d D  = cos( + ) 2 2 2 , I x y d D  = + 2 2 2 3 cos( ) , 其中 {( , ) 1} 2 2 D = x y x + y  ，则 (A) 3 2 1 I  I  I . （B） 1 2 3 I  I  I . (C) 2 1 3 I  I  I . (D) 3 1 2 I  I  I . [ A ] 【 分 析 】 关 键 在 于 比 较 2 2 x + y 、 2 2 x + y 与 2 2 2 (x + y ) 在区域 {( , ) 1} 2 2 D = x y x + y  上的大小. 【详解】 在区域 {( , ) 1} 2 2 D = x y x + y  上，有 0 1 2 2  x + y  ，从而有 2 2 1 2   x + y   2 2 x + y  ( ) 0 2 2 2 x + y  由于 cosx 在 ) 2 (0,  上为单调减函数，于是 2 2 0  cos x + y cos( ) 2 2  x + y  2 2 2 cos(x + y ) 因此 +   x y d D 2 2 cos +   x y d D cos( ) 2 2 x y d D  + 2 2 2 cos( ) ，故应选(A). 【评注】 本题比较二重积分大小，本质上涉及到用重积分的不等式性质和函数的单调 性进行分析讨论. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.183【例 8.2】

文登学校 )设an>0n=12,…若∑an发散,∑(-1)an收敛,则下列结论正确的是 A∑a2n收敛,∑a2发散.(B)∑a2n收敛,∑a21发散 ∑(a2n1+a2)收敛 a2n-1-a2n)收敛 【分析】可通过反例用排除法找到正确答案 【详解】取an=-,则∑an发散,∑(-1)an收敛, 但∑a2n1与∑an均发散,排除(A(B选项,且∑(a2n+a2)发散,进一步排除 (C),故应选(D)事实上,级数∑(a2n1-a2n)的部分和数列极限存在 【评注】通过反例用排除法找答案是求解类似无穷级数选择问题的最常用方法 (10)设f(x)=xsnx+cosx,下列命题中正确的是 (A)fO)是极大值,∫(∞)是极小值.(B)f(O)是极小值,∫(一)是极大值 (C)fO)是极大值,∫(⌒)也是极大值.(D)f(O)是极小值,∫(x)也是极小值 【分析】先求出f(x)f"(x),再用取极值的充分条件判断即可 【详解】f(x)=sinx+ x cosx-snx= x cosx,显然∫(0)=0,f()=0, 又f(x)=cox-xsmx,且f"(0)=1>0,f7(z)=-x<0,故f0)是极小值, f(x)是极大值,应选(B 【评注】本题为基本题型,主要考查取极值的充分条件 对应定理公式见《数学复习指南》(经济类)P41 (11)以下四个命题中,正确的是 (A)若f(x)在(0,1)内连续,则f(x)在(0,1)内有界 (B)若f(x)在(0,1)内连续,则f(x)在(0,1)内有界

文登学校 4 （9）设 a  0,n =1,2,  , n 若   n=1 n a 发散，   = − − 1 1 ( 1) n n n a 收敛，则下列结论正确的是 (A)   = − 1 2 1 n a n 收敛，   =1 2 n a n 发散 . （B）   =1 2 n a n 收敛，   = − 1 2 1 n a n 发散. (C) ( ) 1  2 1 2  = − + n a n a n 收敛. (D) ( ) 1  2 1 2  = − − n a n a n 收敛. [ D ] 【分析】 可通过反例用排除法找到正确答案. 【详解】 取 n an 1 = ，则   n=1 n a 发散，   = − − 1 1 ( 1) n n n a 收敛， 但   = − 1 2 1 n a n 与   =1 2 n a n 均发散，排除(A),(B)选项，且 ( ) 1  2 1 2  = − + n a n a n 发散，进一步排除 (C), 故应选(D). 事实上，级数 ( ) 1  2 1 2  = − − n a n a n 的部分和数列极限存在. 【评注】 通过反例用排除法找答案是求解类似无穷级数选择问题的最常用方法. （10）设 f (x) = x sin x + cos x ,下列命题中正确的是 (A) f(0)是极大值， ) 2 (  f 是极小值. （B） f(0)是极小值， ) 2 (  f 是极大值. （C） f(0)是极大值， ) 2 (  f 也是极大值. (D) f(0)是极小值， ) 2 (  f 也是极小值. [ B ] 【分析】 先求出 f (x), f (x) ，再用取极值的充分条件判断即可. 【详解】 f (x) = sin x + x cos x − sin x = x cos x ，显然 ) 0 2 (0) = 0, ( =  f f ， 又 f (x) = cos x − x sin x ，且 0 2 ) 2 (0) = 1  0, ( = −    f f ，故 f(0)是极小值， ) 2 (  f 是极大值，应选(B). 【评注】 本题为基本题型，主要考查取极值的充分条件. 对应定理公式见《数学复习指南》（经济类）P.141 （11）以下四个命题中，正确的是 (A) 若 f (x) 在（0，1）内连续，则 f(x)在（0，1）内有界. （B）若 f (x) 在（0，1）内连续，则 f(x)在（0，1）内有界

文登学校 (C)若f(x)在(0,1)内有界,则fx)在(0,1)内有界 (D)若∫(x)在(0,1)内有界,则f(x)在(0,1)内有界 【分析】通过反例用排除法找到正确答案即可 【详解】设f(x)=-,则fx)及∫(x) 均在(0,1)内连续,但fx)在(0,1) 内无界,排除(A)、(B),又f(x)=√x在(0,1)内有界,但f(x) 在(0,1)内 无界,排除(D).故应选(C 【评注】本题也可直接证明:用拉格朗日中值定理,有 f(x)-f()=f(x-),在(0,1)之间,由此容易推知若∫(x)在(0, 1)内有界,则f(x)在(0,1)内有界 (12)设矩阵A=(an)3满足A=A,其中A是A的伴随矩阵,A为A的转置 矩阵.若a1,a12,a13为三个相等的正数,则a1为 【分析】题设与A的伴随矩阵有关,一般联想到用行列展开定理和相应公式: AA=AA=AE 【详解】由A=及A!=A4=4E,有a1=A2,j=12,3,其中A为an的 代数余子式,且AF=14E→1=4→=0或A=1 而A4=a141+a142+a143=301≠0,于是4=1,且an13故正确选项 为(A) 【评注】涉及伴随矩阵的问题是常考题型,只需注意到两个重要思路:一是用行列展 开定理,另一是用公式:AA'=AA=AE 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P272【例18】 (13)设A1,A2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为a1,a2,则a1, A(a1+a2)线性无关的充分必要条件是 (A)A1=0.(B)A2=0.(C)A1≠0.(D)A2≠0

文登学校 5 （C）若 f (x) 在（0，1）内有界，则 f(x)在（0，1）内有界. (D) 若 f (x) 在（0，1）内有界，则 f (x) 在（0，1）内有界. [ C ] 【分析】 通过反例用排除法找到正确答案即可. 【详解】 设 f(x)= x 1 , 则 f(x)及 2 1 ( ) x f  x = − 均在（0，1）内连续，但 f(x)在（0，1） 内无界，排除(A)、(B); 又 f (x) = x 在（0，1）内有界，但 x f x 2 1 ( ) = 在（0，1）内 无界，排除(D). 故应选(C). 【评注】 本题也可直接证明：用拉格朗日中值定理，有  ), 2 1 ) ( )( 2 1 f (x) − f ( = f  x − 在(0,1)之间，由此容易推知若 f (x) 在（0， 1）内有界，则 f(x)在（0，1）内有界. （12）设矩阵 A= 3 3 ( ) aij  满足 T A = A * ，其中 * A 是 A 的伴随矩阵， T A 为 A 的转置 矩阵. 若 11 12 13 a ,a ,a 为三个相等的正数，则 11 a 为 (A) 3 3 . (B) 3. (C) 3 1 . (D) 3 . [ A ] 【分析】 题设与 A 的伴随矩阵有关，一般联想到用行列展开定理和相应公式： . * * AA = A A = AE . 【详解】 由 T A = A * 及 AA = A A = AE * * ，有 aij = Aij ,i, j = 1,2,3 ，其中 Aij 为 ij a 的 代数余子式，且 0 2 3 AA = A E  A = A  A = T 或 A = 1 而 3 0 2 A = a11A11 + a12A12 + a13A13 = a11  ，于是 A = 1 ，且 . 3 3 a11 = 故正确选项 为(A). 【评注】 涉及伴随矩阵的问题是常考题型，只需注意到两个重要思路：一是用行列展 开定理，另一是用公式： . * * AA = A A = AE 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.272【例 1.8】 （13）设 1 2  , 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1 2  , ，则 1， ( ) A 1 +2 线性无关的充分必要条件是 (A) 1 = 0 . (B) 2 = 0 . (C) 1  0 . (D) 2  0 . [ D ]

学校 【分析】讨论一组抽象向量的线性无关性,可用定义或转化为求其秩即可 【详解】方法一:令k1a1+k2A(a1+a2)=0,则 k1a1+k241a1+k22a2=0,(k1+k221)ax1+k22a2=0. 由于ax1,a,线性无关,于是有 +k21=0 k2=0 当入≠0时,显然有k1=0,k2=0,此时a1,A(a1+a2)线性无关;反过来 若a1,A(a1+a2)线性无关,则必然有2≠0(否则,a1与A(ax1+a2)=1a1线性相关) 故应选(B) 方法二:由于[a1,Aa1+a2)=[a1,A1ax1+Aa2]={a1,a2 2 可见a1,Aa1+a2)线性无关的充要条件是A=2≠0故应选D) 【评注】本题综合考查了特征值、特征向量和线性相关与线性无关的概念 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P320【例317】 (14)设一批零件的长度服从正态分布N(A,a2),其中,O2均未知.现从中随机抽 取16个零件,测得样本均值x=20(cm),样本标准差s=l(cm),则μ的置信度为090 的置信区间是 (A)(20-5(16),20+to5(16)(B)(20-to(16 (C)(20-to5(15)20+t0o5(15).(D)(20-to1(1520+ta1(15) 【分析】总体方差未知,求期望的区间估计,用统计量 ~1(n-1) 【详解】由正态总体抽样分布的性质知, x-ll ~((n-1),故的置信度为0.90的 置信区间是(-=1(n-1)x+-=ta(n-1),即(20-05(15),20+to5(15)故 √ni 选(C

文登学校 6 【分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可. 【详解】 方法一：令 k11 + k2A(1 +2 ) = 0 ，则 k11 + k211 + k222 = 0， (k1 + k21 )1 + k222 = 0 . 由于 1 2  , 线性无关，于是有    = + = 0. 0, 2 2 1 2 1   k k k 当 2  0 时，显然有 k1 = 0,k2 = 0 ，此时 1， ( ) A 1 +2 线性无关；反过来， 若 1， ( ) A 1 +2 线性无关，则必然有 2  0 (,否则， 1 与 ( ) A 1 +2 = 11 线性相关)， 故应选(B). 方法二： 由于       + = + = 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 0 1 [ , ( )] [ , ] [ , ]    A          ， 可见 1， ( ) A 1 +2 线性无关的充要条件是 0. 0 1 2 2 1 =     故应选(D). 【评注】 本题综合考查了特征值、特征向量和线性相关与线性无关的概念. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.320【例 3.17】 （14） 设一批零件的长度服从正态分布 ( , ) 2 N   ，其中 2 , 均未知. 现从中随机抽 取 16 个零件，测得样本均值 x = 20(cm) ，样本标准差 s = 1(cm) ，则  的置信度为 0.90 的置信区间是 (A) (16)). 4 1 (16),20 4 1 (20 0.05 0.05 − t + t (B) (16)). 4 1 (16),20 4 1 (20 0.1 0.1 − t + t (C) (15)). 4 1 (15),20 4 1 (20 0.05 0.05 − t + t (D) (15)). 4 1 (15),20 4 1 (20 0.1 0.1 − t + t [ C ] 【分析】 总体方差未知，求期望的区间估计，用统计量： ~ ( −1). − t n n s x  【详解】 由正态总体抽样分布的性质知， ~ ( −1) − t n n s x  ， 故  的置信度为 0.90 的 置信区间是 ( 1)) 1 ( 1), 1 ( 2 2 − − + t n − n t n x n x   ，即 (15)). 4 1 (15),20 4 1 (20 0.05 0.05 − t + t 故 应选(C)

文登学校 【评注】正态总体X~N∠)的三个抽样分布:F一 X-H~(0-1、(-1)S~x2(m-1)是常考知识点,应当牢记 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P506【例6.16】 三、解答题(本题共9小题,满分94分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分8分) 求lm( 【分析】"∞-∞”型未定式,一般先通分,再用罗必塔法则 【详解】lm( 1+x1 x+x2-1 =lm x+x-l+e lim <+e-r 3 【评注】本题属基本题型,在里用罗必塔法则求极限的过程中,应注意利用无穷小量 的等价代换进行简化 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P29【例145】 (16)(本题满分8分) 设u具有二阶连续导数,且g(x,y)=f(2)+y(),求x20g-y2a2 g 【分析】先求出二阶偏导数,再代入相应表达式即可 【详解】由已知条件可得 ag g 7

文登学校 7 【 评 注 】 正态总体 ~ ( , ) 2 X N   的三个抽样分布： ~ N(0,1) n X  −  、 ~ ( −1) − t n n S X  、 ~ ( 1) ( 1) 2 2 2 − − n n S   是常考知识点，应当牢记. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.506【例 6.16】 三 、解答题（本题共 9 小题，满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分 8 分） 求 ). 1 1 1 lim ( 0 e x x x x − − + → − 【分析】 " − " 型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则. 【详解】 (1 ) 1 ) lim 1 1 1 lim ( 2 0 0 x x x x x x e x x e e x x − − → − → − + − + − = − + = 2 2 0 1 lim x x x e x x − → + − + = x x e x x 2 1 2 lim 0 − → + − = . 2 3 2 2 lim 0 = + − → x x e 【评注】 本题属基本题型，在里用罗必塔法则求极限的过程中，应注意利用无穷小量 的等价代换进行简化. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.29【例 1.45】 （16）（本题满分 8 分） 设 f(u)具有二阶连续导数，且 ( , ) ( ) ( ) y x yf x y g x y = f + ，求 . 2 2 2 2 2 2 y g y x g x   −   【分析】 先求出二阶偏导数，再代入相应表达式即可. 【详解】 由已知条件可得 ( ) ( ) 2 y x f x y f x y x g = −  +    ， ( ) 1 ( ) ( ) 2 4 2 2 3 2 y x f y y x f x y x y f x y x g =  +  +    ， ( ) ( ) ( ) 1 y x f y x y x f x y f y x g =  + −   

学校 - g g=f"(2)-xf 所以 ar2 8 (2)+f(2)+xf()-2f( 【评注】本题属基本题型,但在求偏导数的过程中应注意计算的准确性 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P171【例718】 (17)(本题满分9分) 计算二重积分∫2+y2-1,其中D={xy)0≤x10sys 【分析】被积函数含有绝对值,应当作分区域函数看待,利用积分的可加性分区域积 分即可 详解】记D1={x,y)x2+y2s1(x,y)∈D), D2=(x, 2)x2+y2>1,(x,y)ED 于是』x2+y2-1=-jx2+y2-l)d小+(x2+y2-1)d e def ()rdr+ro =2+a(x2+y2-1-2do(r2-1)t=x1 43 【评注】形如积分∫/(x,y)、』mxf(x,y2g(x,p)d ∫jmtf(xy)g(xy)do、J(x,y)、g1f(x,y)-g(x,y)d等的被积函 数均应当作分区域函数看待,利用积分的可加性分区域积分 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P193【例818】 (18)(本题满分9分) 求幂级数∑(1-1)x2在区间(1内的和函数S) 【分析】幂级数求和函数一般采用逐项求导或逐项积分,转化为几何级数或已知函数的 幂级数展开式,从而达到求和的目的

文登学校 8 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 2 2 2 2 2 2 y x f y x y x f y x y x f y x x y f y x g =  −  +  +    ， 所以 2 2 2 2 2 2 y g y x g x   −   = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 y x f y x y x f x y x y f x y  +  +  ( ) ( ) 2 2 2 y x f y x x y f x y −  −  = ( ). 2 x y f x y  【评注】 本题属基本题型，但在求偏导数的过程中应注意计算的准确性. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.171【例 7.18】 （17）（本题满分 9 分） 计算二重积分 x y d D  + −1 2 2 ，其中 D ={(x, y)0  x 1,0  y 1}. 【分析】 被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积 分即可. 【详解】 记 {( , ) 1,( , ) } 2 2 D1 = x y x + y  x y  D ， {( , ) 1,( , ) } 2 2 D2 = x y x + y  x y  D ， 于是 x y d D  + −1 2 2 =  − + − 1 ( 1) 2 2 D x y dxdy  + + − 2 ( 1) 2 2 D x y dxdy =   − − 2 0 2 1 0 ( 1)  d r rdr  + + − D (x y 1)dxdy 2 2  − + − 1 ( 1) 2 2 D x y dxdy = 8  +     + − − − 2 0 1 0 2 2 1 0 2 1 0 ( 1) ( 1)  dx x y dy d r rdr = . 3 1 4 −  【 评 注 】 形如积分 f x y d D  ( , ) 、  D max{ f (x, y), g(x, y)}d 、  D min{ f (x, y), g(x, y)}d 、  D [ f (x, y)]d 、  − D sgn{ f (x, y) g(x, y)}d 等的被积函 数均应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.193【例 8.18】 （18）（本题满分 9 分） 求幂级数   = − 1 + 2 1) 2 1 1 ( n n x n 在区间(-1,1)内的和函数 S(x). 【分析】幂级数求和函数一般采用逐项求导或逐项积分，转化为几何级数或已知函数的 幂级数展开式，从而达到求和的目的

学校 【详解】设 S(x S1(x)= x, S,(x) 则 由于 S2(x)=∑ ((y=∑x=-xx ∈(-1,1) 1+ 因此xS(x)= d t 又由于S(0) f(a)g(D) 【分析】可用参数变易法转化为函数不等式证明,或根据被积函数的形式,通过分 部积分讨论 【详解】方法一:设

文登学校 9 【详解】 设   = − + = 1 2 1) 2 1 1 ( ) ( n n x n S x ，   = + = 1 2 1 2 1 1 ( ) n n x n S x ，   = = 1 2 2 ( ) n n S x x ， 则 ( ) ( ) ( ) 1 2 S x = S x − S x ， x  (−1,1). 由于   = = 1 2 2 ( ) n n S x x = 2 2 1 x x − ， , ( 1,1) 1 ( ( )) 2 2 1 2 1  − −  =  =  = x x x x S x x n n , 因此  − + = − + − = x x x dt x t t x S x 0 2 2 1 1 1 ln 2 1 1 ( ) ， 又由于 S1 (0) = 0 ，故 0. 1, 0, , 1 1 ln 2 1 1 ( ) 1 =      − + − + = x x x x x S x 所以 ( ) ( ) ( ) 1 2 S x = S x − S x 0. 1, 0, , 1 1 1 1 ln 2 1 2 =      − − − + = x x x x x x 【评注】 而幂级数求和尽量将其转化为形如   n=1 n n x 或   = − 1 1 n n nx 幂级数，再通过逐项求 导或逐项积分求出其和函数. 本题应特别注意 x=0 的情形. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.216【例 9.18】 （19）（本题满分 8 分） 设 f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且 f(0)=0, f (x)  0 , g (x)  0 .证明：对任何 a [0,1], 有    +   a g x f x dx f x g x dx f a g 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1). 【分析】 可用参数变易法转化为函数不等式证明，或根据被积函数的形式，通过分 部积分讨论. 【详解】 方法一：设

文登学校 F(x)=g()/(oh+(g(0-(x(0) 则F(x)在0,1上的导数连续,并且 F'(x)=g(x)f(x)-f(x)g(1)=f(x[g(x)-g(1) 由于x∈[0,1时,f(x)≥0,g(x)≥0,因此F(x)≤0,即F(x)在[O,1上单调递减 注意到 F(=C)(+(o-/)g0), =f(1)g(1)-f()g()ldt 故F(1)=0 因此x∈[0,1]时,F(x)≥0,由此可得对任何a∈[0,1],有 L g(x)f(x)dx+f(x)g(x)dx2f(a)g(D) 方法二:8(x)f(x)dx=g(x)(x) C/()g'(x)dx f(a)g(a)-0/(x)g(x)ar g(x)f'(x)dx+f(x)g(x)dx f(a)(a)-C(xg(x)t+(xg(x)k f(a)g(a)+ f(x)g(x)d 由于x∈[0,1时,g(x)≥0,因此 f(x)g'(x)≥f(a)g'(x),x∈[a,1, f(x)g(x)tx2f(a)g(xt=f(a)()-g(a), 从而 g(x)f'(x)dx+lf(x)g(x)dx >f(a)g(a)+f(alg()-g(a=f(ag() 【评注】对于积分不等式的证明,主要有两个途径:一是转化为函数不等式 过恒等变形,如变量代换、分部积分等,再用积分的不等式性质进行讨论 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P115【例44246】

文登学校 10 F(x) =    +  − x g t f t dt f t g t dt f x g 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1)， 则 F(x)在[0，1]上的导数连续，并且 F(x) = g(x) f (x) − f (x)g(1) = f (x)[g(x) − g(1)] ， 由于 x [0,1] 时， f (x)  0, g (x)  0 ，因此 F(x)  0 ，即 F(x)在[0，1]上单调递减. 注意到 F(1) =    +  − 1 0 1 0 g(t) f (t)dt f (t)g (t)dt f (1)g(1)， 而     = = −  1 0 1 0 1 0 1 0 g(t) f (t)dt g(t)df (t) g(t) f (t) f (t)g (t)dt =  −  1 0 f (1)g(1) f (t)g (t)dt ， 故 F(1)=0. 因此 x [0,1] 时， F(x)  0 ，由此可得对任何 a [0,1] ，有    +   a g x f x dx f x g x dx f a g 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1). 方法二：    = −  a a a g x f x dx g x f x f x g x dx 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =  −  a f a g a f x g x dx 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ，    +  a g x f x dx f x g x dx 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) =   −  +  1 0 0 f (a)g(a) f (x)g (x)dx f (x)g (x)dx a  +  1 ( ) ( ) ( ) ( ) . a f a g a f x g x dx 由于 x [0,1] 时， g (x)  0 ，因此 f (x)g (x)  f (a)g (x)， x [a,1]，      = − 1 0 1 0 f (x)g (x)dx f (a)g (x)dx f (a)[g(1) g(a)] ， 从而    +  a g x f x dx f x g x dx 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( )  f (a)g(a) + f (a)[g(1) − g(a)] = f (a)g(1). 【评注】 对于积分不等式的证明，主要有两个途径：一是转化为函数不等式，二是通 过恒等变形，如变量代换、分部积分等，再用积分的不等式性质进行讨论. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.115【例 4.42~46】