第三章短阵的初等变换 与 线性方程组
第三章 矩阵的初等变换 与 线性方程组
知识点回顾:克拉默法则 a1x1+a12X2+…+a1 nn a21x+a2r x2+.+a2,n=b2 设 anx,+an2x2+.+annx=b 结论1如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零,则该 线性方程组一定有解而且解是唯一的.(P.24定理4) 结论1如果线性方程组无解或有两个不同的解,则它的 系数行列式必为零.(P.24定理4 用克拉獸法则解线性方程组的两个条件:线性方程组的 (1)方程个数等于未知量个数; 解受哪些因素 的影响? (2)系数行列式不等于零
知识点回顾：克拉默法则 结论 1 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该 线性方程组一定有解,而且解是唯一的.（P. 24定理4） 结论 1′如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的 系数行列式必为零. （P.24定理4'） 设 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (1) n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = 用克拉默法则解线性方程组的两个条件： (1) 方程个数等于未知量个数； (2) 系数行列式不等于零. 线性方程组的 解受哪些因素 的影响？
§1矩阵的初等变换 初等变换的概念 矩阵之间的等价关系 三、初等变换与矩阵乘法的关系 四、初等变换的应用
§1 矩阵的初等变换 一、初等变换的概念 二、矩阵之间的等价关系 三、初等变换与矩阵乘法的关系 四、初等变换的应用
矩阵的初等变换 引例:求解线性方程组 2x, x1+x2-2x3+x4=4,② 4x1-6x2+2x3 2x4=4,③ 3x1+6x2-9x3+7x4=9.④
引例：求解线性方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2, 2 4, 4 6 2 2 4, 3 6 9 7 9. x x x x x x x x x x x x x x x x − − + = + − + = − + − = + − + = ① ② ③ ④ 一、矩阵的初等变换
2 2,④ 1+x2-2x3+x4=4,② 4kx1-6x2+2x3-2x4=4,③ 3x,+6x,-9x3+7x=9.④ ①→② 2 x1+x2-2x3+x4=4,① 2x, +x4=2,②
①②③④ 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 4, 2 2, 2 3 2, 3 6 9 7 9. x x x x x x x x x x x x x x x x + − + = − − + = − + − = + − + = 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2, 2 4, 4 6 2 2 4, 3 6 9 7 9. x x x x x x x x x x x x x x x x − − + = + − + = − + − = + − + = ① ② ③÷ 2 ①②③④
x1+x2-2x3+x4=4,① x3+x4=2,② 2x1-3x2+x3-x4=2,③ 3x1+6x2-9x3+7x4=9.④ 2-③ 自·2x④ ④-3x① +x,-2x2+
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 4, 2 2, 2 3 2, 3 6 9 7 9. x x x x x x x x x x x x x x x x + − + = − − + = − + − = + − + = ② － ③ ③ － 2×① 1 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 4, 2 2 2 0, 5 5 3 6, 3 3 4 3. x x x x x x x x x x xxx + − + = − + = − + − = − − + = − ④ － 3×① ①②③④①②③④
十2 2x, 2x2-2x3+2x4=0,② 5x,+5x3-3x4=-6,③ 3. 3x2+4. ②÷2 ③+5×② ④-3×② +x,-2x,+
1 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 4, 2 2 2 0, 5 5 3 6, 3 3 4 3. x x x x x x x x x x xxx + − + = − + = − + − = − − + = − ② ÷ 2 ③ ＋ 5×② 1 2 3 4 2 3 444 2 4, 0, 2 6, 3. x x x x x x xxx + − + = − + = = − = − ④ － 3×② ①②③④①②③④
2. 2x4 -3, 2. ④ ②
1 2 3 4 2 3 444 2 4, 0, 2 6, 3. x x x x x x xxx + − + = − + = = − = − ④ － 2×③ 1 2 3 4 2 3 44 2 4, 0, 3, 0 0. x x x x x x xx + − + = − + = = − = ③ ④ ①②③④①②③④
2 2x2+ 3 3,③ 恒等式 0=0.④ 取x3为自由变量,则 C+4 c+3 3 令x3=c,则X 3
1 2 3 4 2 3 4 4 2 4, 0, 3, 0 0. x x x x x x x x + − + = − + = = − = 取 x3 为自由变量，则 1 3 2 3 4 4, 3, 3. x x x x x = + = + = − 令 x3 = c ，则 1 2 3 4 4 3 3 x c x c X x c x + + = = − 恒等式 1 4 1 3 . 1 0 0 3 c = + − ① ② ③ ④
三种变换: √交换方程的次序,记作⑦→⑦; 以非零常数k乘某个方程,记作⑦×k √一个方程加上另一个方程的k倍,记作⑦+k①. 结论: 其逆变换是: 1.由于对原线性方程组施行的变 O-①口o-0换是可逆变换,因此变换前后 的方程组同解 ①xk→O*k2在上述变换过程中,实际上只 ①xk④Ok0对方程组的系数和常数进行运 算,未知数并未参与运算
三种变换： ✓交换方程的次序，记作 ； ✓以非零常数 k 乘某个方程，记作 ； ✓一个方程加上另一个方程的 k 倍，记作 . 其逆变换是： 结论： 1. 由于对原线性方程组施行的变 换是可逆变换，因此变换前后 的方程组同解. 2. 在上述变换过程中，实际上只 对方程组的系数和常数进行运 算，未知数并未参与运算． i j i ×k i ＋k j i j i ×k i ×k j i j i ÷k i －k j