同济大学：《线性代数》课程PPT教学课件（第五版）第五章 相似矩阵及二次型（5.5）二次型及其标准形

§5二次型及其标准形

§5 二次型及其标准形

例2阶方阵 投影变换 对应x1 P(x,y) 0. P1(x1,y1) 例2阶方阵 对应 cosp -sIn p x=xcosp-yisin p, Sing cos p y=x sin p+ V, cos p. P(x,y) 以原点为中心逆时针 旋转q角的旋转变换 P(xi, yu) b

1 0 0 0       对应 1 1 , 0. x x y  =   = y 0 x P x y ( , ) 111 P x y ( , ) 投影变换 例 2阶方阵 cos sin sin cos       −     对应 1 1 1 1 cos sin , sin cos . x x y y x y      = −   = + 以原点为中心逆时针 旋转 角的旋转变换 例 2阶方阵 P x y ( , )111  P x y ( , )  y 0 x

解析几何中,二次曲线的一般形式 ax2+ bxy +cy2=0 通过选择适当的的旋转变换 x=x cosp-y sin p, y=xsmnφ+yc0s9. 使得mx2+my2=0 定义:含有n个变量x1,x2,…,xn的二次齐次函数 f(x1,x23…,Xn)=a1x1 十ax+…+ax nn n +2aux x,+2ai3x x3+.+2an-I,, tm- m 称为二次型

◼ 解析几何中，二次曲线的一般形式 ax2 + bxy + cy2 = 0 通过选择适当的的旋转变换 使得 mx' 2 + ny' 2 = 0 ． 定义：含有 n 个变量 x1 , x2 , …, xn 的二次齐次函数 称为二次型． cos sin , sin cos . x x y y x y      = −    = +    2 2 2 1 2 11 1 22 2 12 1 2 13 1 3 1, 1 ( , , , ) 2 2 2 n nn n n n n n f x x x a x a x a x a x x a x x a x x − − = + + + + + + +

令a=,则2anxx=xx+anxx,于是 f(x1,x2,…,xn)=|1x2+a2x2+…+an un- +2a2x1x2+2a13x1x3+…+2a

2 2 2 1 2 11 1 22 2 12 1 2 13 1 3 1, 1 2 11 1 12 1 2 1 1 2 21 2 1 22 2 2 2 2 1 1 2 2 , 1 2 2 2 ( , , , ) n nn n n n n n n n n n n n n n nn n n ij i j i j f x x x a x a x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x − − = = + + + + + + + = + + + + + + + + + + + + =  令 aij = aji，则 2 aij xi xj = aij xi xj + aji xi xj ，于是

, 12X )=x1(a1x1+a12x2+…+a1nxn) +x2(a21x1+a2x2+…+a2nxn) fx x1+a.x++.x n n1 +ax 122 …a, 21X1+2x+十,nX , 19299n 对称阵 n1x1+an2x2+…+amCn 12 22 n , 1~255叫n =x Ax

2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 2 21 2 1 22 2 2 2 2 1 1 2 2 ( , , , ) n n n n n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x = + + + + + + + + + + + + 1 11 1 12 2 1 ( ) n n x a x a x a x + + + 2 21 1 22 2 2 ( ) n n + + + + x a x a x a x 1 1 2 2 ( ) n n n nn n + + + + x a x a x a x 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) n n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x x x x a x a x a x   + + +   + + +   =     + + +   11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 ( , , , ) n n n n n nn n a a a x a a a x x x x a a a x          =       T    = x Ax 对称阵

12 n 22 1~29 1929 对称阵的 二次型 11 12 n 二次型 的矩阵 对称阵A的秩也叫做二次型f的秩 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系

11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) n n n n n n nn n a a a x a a a x f x x x x x x a a a x          =          11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a       =       对称阵 A 的秩也叫做二次型 f 的秩． 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系. 对称阵的 二次型 二次型 的矩阵

对于二次型,寻找可逆的线性变换 1=c11+c1y2+…+C1ny 简记为x=Cy, 21y1+c2y2+…+ 于是f=xAx (Cy)A(Cy) xn=cnlbitcm2V2t.cuny y(CAC 使二次型只含平方项,即 f∫=k1y12+k2y2+…+kn 定义:只含平方项的二次型称为二次型的标准形(或法式) 如果标准形的系数k1,k2,…,kn只在-1,0,1三个数中取值, 卩f∫=k1y12+…+k 2 P p+1p+1 则上式称为二次型的规范形 说明:这里只讨论实二次型,所求线性变换也限于实数范围

对于二次型，寻找可逆的线性变换 使二次型只含平方项，即 f = k1 y1 2 + k2 y2 2 + … + kn yn 2 定义：只含平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）. 如果标准形的系数 k1 , k2 , … , kn 只在−1, 0, 1三个数中取值, 即 f = k1 y1 2 + … + kp yp 2 − kp+1 yp+1 2 − … − kr yr 2 则上式称为二次型的规范形． 说明：这里只讨论实二次型，所求线性变换也限于实数范围. 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 , , . n n n n n n m nn n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y  = + + +   = + + +     = + + + 简记为 x = C y ， 于是 f = x TAx = (C y) T A (C y) = y T (CTAC) y

定义:设A,B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P满足 P-AP=B 则称矩阵A和B相似.(P121定义7) 定义:设A,B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵C满足 CAC =B 则称矩阵A和B合同.(P129定义9) 显然, D B=(C AC)=C A(C=CAC=B 即若A为对称阵,则B也为对称阵 R(B)=R(4) 经过可逆变换后,二次型f的矩阵由A变为与A合同的矩阵 CTAC,且二次型的秩不变

定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足 P −1AP = B ， 则称矩阵A 和 B 相似．（P.121定义7） 定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 C 满足 CTAC = B ， 则称矩阵A 和 B 合同．（P.129定义9） 显然，  BT = (CTAC) T = CTAT (CT) T = CTAC = B 即若 A 为对称阵，则 B 也为对称阵．  R(B) = R(A) ． 经过可逆变换后，二次型 f 的矩阵由 A 变为与 A 合同的矩阵 CTAC，且二次型的秩不变．

若二次型∫经过可逆变换x=Cy变为标准形,即 f∫=xAx 问题:对于对称阵A,寻找可逆矩阵C,使CTAC为对角阵, (把对称阵合同对角化)

若二次型 f 经过可逆变换 x = C y 变为标准形，即 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( , , , ) T T T T n n n n n f x Ax Cy A Cy y C AC y k y k y k y k y k y y y y k y = = = = + + +          =          问题：对于对称阵 A，寻找可逆矩阵 C，使 CTAC 为对角阵, （把对称阵合同对角化）．

定义:如果n阶矩阵4满足ATA=E, 则称矩阵A为正交矩阵,简称正交阵 定理:设A为n阶对称阵,则必有正交阵P,使得 P-lAP A 其中A是以A的n个特征值为对角元的对角阵(不唯一) (P.124定理7) 定理:任给二次型f(x)=xA4x(其中A=4r),总存在 正交变换x=Py,使∫化为标准形 ∫(Py)=1y12+A2y2+…+nyn2 其中41,2,…,λn是∫的矩阵A的特征值 推论:任给二次型f(x)=x4x(其中A=4),总存在 可逆变换x=Cz,使f(Cz)为规范形

定义：如果 n 阶矩阵A 满足 ATA = E，即 A−1 = AT ， 则称矩阵A 为正交矩阵，简称正交阵． 定理：设 A 为 n 阶对称阵，则必有正交阵 P，使得 P −1AP = P TAP = L， 其中 L 是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵（不唯一）. （P.124定理7） 定理：任给二次型 f (x) = x TAx （其中A = AT） ，总存在 正交变换 x = P y ，使 f 化为标准形 f (P y) = l1 y1 2 + l2 y2 2 + … + l n yn 2 其中 l1 , l2 , … , l n 是 f 的矩阵 A 的特征值． 推论：任给二次型 f (x) = x TAx （其中A = AT） ，总存在 可逆变换 x = C z ，使 f (Cz) 为规范形．