定积分应用
定积分应用
上一章,已经系统地介绍了定积分的基本 理论和计算方法。在这一章中,将利用这些知 识来分析解决一些实际问题。定积分的应用很 广泛,在自然科学和生产实践中有许多实际问 题最后都归结为定积分问题。本章不仅对一些 几何物理量导出计算公式,更重要的是介绍运 用“微元法”将所求的量归结为计算某个定积 分的分析方法 重点 微元法,面积,弧长,旋转体的体积,定 积分在物理方面的应用
上一章，已经系统地介绍了定积分的基本 理论和计算方法。在这一章中，将利用这些知 识来分析解决一些实际问题。定积分的应用很 广泛，在自然科学和生产实践中有许多实际问 题最后都归结为定积分问题。本章不仅对一些 几何物理量导出计算公式，更重要的是介绍运 用“微元法”将所求的量归结为计算某个定积 分的分析方法。 重点 微元法，面积，弧长，旋转体的体积，定 积分在物理方面的应用
难点微元法,参数方程确定的曲线所围的 面积,定积分在物理方面的应用 基啐要求 ①正确理解和掌握微元法的基本思想,并 会灵活运用它。 ②会用直角坐标、极坐标、参数方程所给出 的三种求积公式求出一些常见图形的面积。 ③会求旋转体的体积 ④会求平面曲线的弧长 ⑤会用定积分解决物理方面的实际问题
微元法，参数方程确定的曲线所围的 面积，定积分在物理方面的应用。 基本要求 ①正确理解和掌握微元法的基本思想，并 会灵活运用它。 ②会用直角坐标、极坐标、参数方程所给出 的三种求积公式求出一些常见图形的面积。 ③会求旋转体的体积 ④ 会求平面曲线的弧长 ⑤会用定积分解决物理方面的实际问题。 难点
定积分的微元法 通过对不均匀量(如曲边梯形的面积, 变速直线运动的路程)的分析,采用“分 割、近似代替、求和、取极限”四个基本 步骤确定了它们的值,并由此抽象出定积 分的概念,我们发现,定积分是确定众多 的不均匀几何量和物理量的有效工具。那 么,究竞哪些量可以通过定积分来求值呢? 我们先来回顾一下前章中讲过的方法和步 骤是必要的
通过对不均匀量（如曲边梯形的面积， 变速直线运动的路程）的分析，采用“分 割、近似代替、求和、取极限”四个基本 步骤确定了它们的值，并由此抽象出定积 分的概念，我们发现，定积分是确定众多 的不均匀几何量和物理量的有效工具。那 么，究竟哪些量可以通过定积分来求值呢？ 我们先来回顾一下前章中讲过的方法和步 骤是必要的。 定积分的微元法
设量U非均匀地分布[a,b上求U的步骤 分用分点Ⅱ=x<x1<…<xn1<xn=b将 区间分成n个小区间[x1:x,4x;=x;-x1 粗把U在小区间上的局部量AU 用某个函数f(x)在5:(5∈[x1,xD 的值与Ax;之积代替AU1≈∫(5)Ax; 和把局部量的近似值累加得到总量 的近似值即 U=∑U1≈∑f(5)4k
求Ｕ的步骤 分 用分点 a x x x x b n n = = 0 1 −1 将 区间分成n个小区间 1 1 [ , ], i− i i = i − i− x x x x x 粗 把Ｕ在小区间上的局部量 Ui 用某个函数 f ( x) 在 ( [ , ]) i i i 1 i x x − 的值与 xi 之积代替 i i i U f ( )x 和 把局部量的近似值累加得到总量 的近似值 即 = = = n i i i n i i U U f x 1 1 ( ) 设量Ｕ非均匀地分布[ a ,b ]上
精元= max/x I<isn U=lm∑(5)A;=(x)d 由此可知,若某个非均匀量U在区间[a,上 满足两个条件: (1)总量在区间上具有可加性,即把区间 分成几个小区间时总量就等于各个小区间上 的局部量之和, (2)局部量可用f(5)4x1近似表示 它们之间只相差一个4x;的高阶无穷小 不均匀量U就可以用定积分来求得
xi i n max 1 = = → = = n i b a U f i xi f x dx 1 0 lim ( ) ( ) 由此可知，若某个非均匀量Ｕ在区间[a,b]上 满足两个条件： （1） 总量在区间上具有可加性，即把区间 分成几个小区间时总量就等于各个小区间上 的局部量之和， （2）局部量可用 i i f ( )x 近似表示 它们之间只相差一个 xi 的高阶无穷小 不均匀量Ｕ就可以用定积分来求得 精
这是建立所求量的积分式的基本方法 分析其实质,不难将四步简化为两步 第一步“分割取近似 含“分”、“粗”两步即将区间分成子区间 在其上用均匀变化近似代替非均匀变化 求得局部量的近似值LU1≈f(4)1 它对应着积分表达式中的被积式∫(x)x 第二步“求和取极限” 含“和”、“精”两步:各局部量的近似 值相加并取极限得到总量的准确值
分析其实质，不难将四步简化为两步 第一步 “分割取近似 ”含“分”、“粗”两步即将区间分成子区间 在其上用均匀变化近似代替非均匀变化 求得局部量的近似值 i i xi U f ( ) 它对应着积分表达式中的被积式 f (x)dx 第二步“求和取极限” 含“和”、“精”两步: 各局部量的近似 值相加并取极限得到总量的准确值 这是建立所求量的积分式的基本方法
即对被积式作积分U=f(x) I。求徼元 写出典型小区间[x,x+dx]∈{a,b 上的局部量AU的近似值 dU=∫(x)x 这就是局部量的微元 Ⅱ。求积分 即把微元dU在区间[a,b]上
即对被积式作积分 = b a U f (x)dx Ⅰ。求微元 写出典型小区间 [x, x + dx] [a,b] 上的局部量 U 的近似值 dU = f (x)dx 这就是局部量的微元 Ⅱ。求积分 即把微元 dU 在区间 [ a , b ] 上
“无限积累”起来相当于把f(x)dt 作积分表达式求它在[a,b上的定积分 即U=|f(x)dx 这就是微元法
相当于把 f (x)dx 作积分表达式 求它在 [ a , b ] 上的定积分 即 = b a U f (x)dx 这就是微元法 “无限积累”起来