特殊类型的一阶方程的求解 阶方程的一般形式为F(x,y,y)=0 本节主要研究能把导数解出来的一阶方程 中y f(x,y) 的解法 这个方程虽然简单,也常常很难求 出解的有限表达式所以本节只讨论 几种特殊类型的一阶微分方程的解法
一阶方程的一般形式为 F(x, y, y) = 0 本节主要研究能把导数解出来的一阶方程 f (x, y) dx dy = 的解法 这个方程虽然简单，也常常很难求 出解的有限表达式 几种特殊类型的一阶微分方程的解法。 所以本节只讨论 特殊类型的一阶方程的求解
阶方程有时也可以写成如下的对称形式 P(x,y)dx+e(x, y)=0 它既可视为以x为自变量以y为未知函数的方程 中yP(x,y) dx e (x, y) 也可以视为以y为自变量以x为未知函数的方程 。Q(x,y) P(x,y 很重要的观点 dy 考虑方程 2x或写成=2x 两边积分得y=x+C
一阶方程有时也可以写成如下的对称形式 P(x, y)dx + Q(x, y) = 0 它既可视为以 x 为自变量以 y 为未知函数的方程 ( , ) ( , ) Q x y P x y dx dy = − 也可以视为以 y 为自变量 以 x 为未知函数的方程 ( , ) ( , ) P x y Q x y dx dy = − 很重要的观点 考虑方程 x dx dy = 2 或写成 dy = 2xdx 两边积分得 y = x + c 2
但并不是所有的一阶方程都能象上面 那样采取两边积分的方法来求它的通解 如 ar2困难就在于方程的右端含有未知函数 积分∫2xy2d求不出来 为了解决这个问题方程的两边同乘以2x 使方程变为2d=2x 这样变量x,y已经分离在等式的两端 两边积分得1_2+c或y=-1
但并不是所有的一阶方程都能象上面 那样采取两边积分的方法来求它的通解 如 2 2xy dx dy = 困难就在于方程的右端含有未知函数 积分 xy dx 2 2 求不出来 为了解决这个问题 方程的两边同乘以 dx y 2 1 使方程变为 dy xdx y 2 1 2 = 这样变量 x , y 已经分离在等式的两端 两边积分得 x c y − = + 1 2 或 x c y + = − 2 1
可以验证y= 是方程的通解 x +c 注y=0也是方程的解,但不包含在通解中 称为奇解 、可分离变量的微分方程 g(y)h=∫(x)t可分离变量的微分方程 例如=2x2y5→y5=2xh 这类方程的特点是 经过适当整理,可使方程的只含有一个变量和 其微分
可以验证 x c y + = − 2 1 是方程的通解 注 y = 0 也是方程的解，但不包含在通解中 称为奇解 一、可分离变量的微分方程 g( y)dy = f (x)dx 可分离变量的微分方程. 5 4 2 2x y dx dy 例如 = 2 , 5 2 4 y dy = x dx − 这类方程的特点是 经过适当整理，可使方程的只含有一个变量和 其微分
解法设函数g(y)和f(x)是连续的, g(y)dy=lf(x)dx 分离变量法 设函数G(y)和F(x)是依次为g(y)和f(x)的原函 数,G(y)=F(x)+C为微分方程的解 求解步骤 分离变量两边积分 得到隐式通解或通积分
解法 设函数g( y)和 f (x)是连续的, g( y)dy = f (x)dx 分离变量法 设函数G( y)和F(x)是依次为g( y)和 f (x)的原函 数, G( y) = F(x) + C 为微分方程的解. 求解步骤 分离变量 两边积分 得到隐式通解或通积分
二、典型例题 例1求解微分方程=2x的通解 解分离变量=2xkx, 两端积分∫ rdx In y=x +Cl cex为所求通解
二、典型例题 例1 求解微分方程 2xy的通解. dx dy = 解 分离变量 2xdx, y dy = 两端积分 2 , = xdx y dy 1 2 ln y = x + C . 2 y = ce x 为所求通解
例2求方程∫(xy)y+g(x)x=0通解 解令Ⅱ=x,则Ⅶ=xd+ydx, f∫(u)ydhx+g()x du-ydx =0 lf(u-g u)I-dx+g(udu=0, g(u du=o x ulf(u-g(u)l 通解为m|x|+ g(u) du= c ulf(u)-g(u)
例2 求方程 f (xy) ydx + g(xy)xdy = 0 通解. 解 令u = xy, 则du = xdy + ydx, ( ) ( ) = 0, − + x du ydx f u ydx g u x [ ( ) − ( )] dx + g(u)du = 0, x u f u g u 0, [ ( ) ( )] ( ) = − + du u f u g u g u x dx 通解为 . [ ( ) ( )] ( ) ln | | du C u f u g u g u x = − +
例3衰变问题衰变速度与未衰变原子含量M成 正比,已知M1=0=M2求衰变过程中铀含量M(t) 随时间t变化的规律 解衰变速度 dM d,由题设条件 dM dM M(>0衰变系数) 入dt dt 「-^d,lmM=-+Ⅷmc,即M=ceM 代入M10=M得M0=ce=C, M=Mo 衰变规律
例 3 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量M 成 正比,已知M t=0 = M0 ,求衰变过程中铀含量M(t) 随时间t 变化的规律. 解 , dt dM 衰变速度 由题设条件 = −M ( 0衰变系数) dt dM dt M dM = − , = − dt M dM ln M = −t + lnc, , t M ce− 即 = 代入M t=0 = M0 0 0 得 M = ce = C, t M M e − = 0 衰变规律
例5某车间体积为12000立方米,开始时空气中 含有01%的CO2,为了降低车间内空气中CO2 的含量,用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机 通入含0.03%的CO,的新鲜空气,同时以同样的 风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动6分 钟后,车间内CO的百分比降低到多少? 解设鼓风机开动后时刻CO2的含量为x() 在[t,t+d内, CO2的通入量=2000.t.0.03, CO,的排出量=2000.d.x(t)
例5 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中 含有 的 , 为了降低车间内空气中 的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机 通入含 的 的新鲜空气, 同时以同样的 风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分 钟后, 车间内 的百分比降低到多少? 1% CO2 0. CO2 CO2 CO2 0.03% 解 设鼓风机开动后 t 时刻 CO2 的含量为 x(t)% 在 [t, t + dt] 内, CO2 的通入量 = 2000 dt 0.03, CO2 的排出量 = 2000 dt x(t)
CO的改变量=CO,的通入量-CO的排出量 12000dx=2000.d.0.03-2000·dtx(t), d x 1 (x-0.03),→x=0.03+Ce x|=0=0.1,C=0.07,→x=0.03+0.07e6, x=6=0.030.07e≈0.056, 6分钟后,车间内CO2的百分比降低到0.056%
CO2 的改变量 = CO2 的通入量 −CO2 的排出量 12000dx = 2000 dt 0.03− 2000 dt x(t), ( 0.03), 6 1 = − x − dt dx 0.03 , 6 1 t x Ce − = + | 0.1, x t=0= C = 0.07, 0.03 0.07 , 6 1 t x e − = + | 0.03 0.07 0.056, 1 6= + − = x e t 6分钟后, 车间内 的百分比降低到 0.056%. CO2