(1)z=a是0()()的m+m级极点 (2)对于q(=)v(=),当m<n时,a是n=m级零点:当m>n时,a是m-m级极点;当m=n时, a是可去奇点。 (3)当m≠n时,点a是(二)+(=)的maxm,n级极点,当m=n时,点a是(=)+v(二)的极点。 (可退化为可去),其级不高于m,点a也可能是()+v(=)的可去奇点(解析点) 7.函数f(=)= 在z=1处有一个二级极点,这个函数又有下列洛朗展开式 (=2-1) ,|=-1|>1.,|z-21 所以“二=1又是()的本性奇点”,又其中不含(-2幂项,因此Res[f(-,1]=0,这些说法对 解不对,z=1不是∫(=)的本性奇点,这是因为函数的洛朗展开式是在|二-21内得到的,而不是在 z=2的圆环域内的洛朗展开式。 Res[(=), 1]=lim d d (=-1 孤立奇点的分类必须根据在这个奇点邻域内洛朗展开式来决定 8.求下列各函数f()在有限奇点处的留数 3)-1+ 4) cos二 5)cOs 6)=sin- zsln二 解1)Res[(),9]=lm:+1=-1,Re()2=lm(=-2)2+1=3 2)f(=)= z=0为分母的四级零点,是分子的一级零点,所以是f(=)的三级极点 Rs()=12=12 或展开洛朗级数 知Res/(]=c= 3)Res[()]=mn( 1+二（1） z = a 是ϕ ψ ( )z z ⋅ ( )的 m + n 级极点。 （2）对于ϕ ψ ( )z / (z) ，当 m < n 时，a 是 n − m 级零点；当 m > n 时，a 是 m − n 级极点；当 m = n 时， a 是可去奇点。 （3）当 m ≠ n 时，点 a 是ϕ ( )z z +ψ ( ) 的 max{m, n}级极点，当 m = n 时，点 是 的极点。 （可退化为可去），其级不高于 m，点 也可能是 a ϕ ( )z +ψ (z) a ϕ (z) +ψ (z) 的可去奇点（解析点）。 7．函数 ( ) ( )2 1 1 f z z z = − 在 z =1处有一个二级极点，这个函数又有下列洛朗展开式 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 5 4 3 1 1 1 1 ,| 1| 1. 1 1 1 1 z z z z z z = + − + − > − − − − " ，| z − 2 |>1 所以“ z =1又是 f (z) 的本性奇点”，又其中不含 ( ) 1 2 − z − 幂项，因此 ，这些说法对 吗？ Res⎡ f z( ),1⎤ = 0 ⎣ ⎦ 解 不对，z =1不是 f (z) 的本性奇点，这是因为函数的洛朗展开式是在| z − 2 |>1内得到的，而不是在 z = 2 的圆环域内的洛朗展开式。 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 Res ,1 lim 1 1 2 1 ! 1 z d f z z dz z z → ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ = − 孤立奇点的分类必须根据在这个奇点邻域内洛朗展开式来决定。 8．求下列各函数 f (z) 在有限奇点处的留数： 1） 2 1 2 z z z + − ； 2） 2 4 1 z e z − ； 3） 4 2 1 ( 1) z z + + 3 ； 4） cos z z ； 5） 1 cos 1− z ； 6） 2 1 z sin z ； 7） 1 z z sin ； 8） sh ch z z 。 解 1） ( ) 2 0 1 1 Res ,0 limz 2 2 z f z z → z z + ⎡ ⎤ = = − ⎣ ⎦ − ， ( ) 2 2 1 3 Res ,2 lim( 2) z 2 2 z f z z → z z + ⎡ ⎤ = − = ⎣ ⎦ − 2） ( ) 4 2 1 z e f z z − = ， z = 0 为分母的四级零点，是分子的一级零点，所以是 f (z) 的三级极点。 [ ] ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⋅ → 4 2 3 2 2 0 1 2! 1 Res ,0 lim z e z dz d f z z z = 3 4 − 或展开洛朗级数 ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 4 − − − 2 − 8 3 " 3! 1 4 2! 1 1 1 2 1 z z z z f z 知 [ ] ( ) 3 4 Res f z ,0 = c−1 = − 3） ( ) 2 4 3 2 2 3 i 1 1 Res ,i lim ( i) i z 2! ( 1) 8 d z f z z → dz z ⎡ ⎤ + ⎡ ⎤ = − ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ + 3 = − ， - 3 -