4)Resf(=),k丌+ 2」(cos=)l=xt =(-1)(k丌+2),k=0,±1, 卜0,知Res[f(-,1 6)2sin ==2 2a2-m1=0,知ReD()=c 7)Res[(),0]=lim 0,Res[().kz]= =+1+2 (〓Sinz) k丌 8)Resf(z),(k+)m/≈sh =1,k为整数 (ch=) 9.计算下列各积分(利用留数;圆周均取正向) (1) (2) F-少4:(3)手-0s2,(其中m为整数) (4) th =d (5)∮m(z):(6)∮ dz(其中n为正整数, (-a)”(-b 且|a|≠1,|b|≠=1,|ab|) 解(1)()==2,()=1故x=0为()的可去奇点则 es/(=)]=c1=0 故原积分=0。 (2)在C内,八2-):=1为其二级极点,则RS[f(=)]=m(ey-=2由留数基本 定理有原积分=4m2i (3)(-)=1-c 故以:=0为其m=2级极点。设1=[/( 当m≤2时,Res/(=c1=0,1=0 当m=2n>2时,ReU()]=c1=0,I=0 当m=2n+1>2时,Re(-)]=(-1y2/2n=(-1)2/(m-1)! 由此=(-1)22ri(m-1)或说m为大于或等于3的奇数时,I=(-1)22i(m-1) 41)t出25-(4为其一级极点(=0)0时号2在(:-21内,则 R=:h51故/=/k=2x()2=21( ) 2 4 3 2 2 3 i 1 1 Res , i lim ( i) i z 2! ( 1) 8 d z f z z →− dz z ⎡ ⎤ + ⎡ ⎤ − = + = ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ + 3 4） 1 2 Res ( ), ( 1) ( ) 2 (cos )' 2 k z k z f z k k z π π π π π π + = + ⎡ ⎤ + = = − + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ， k = 0,± ± 1, 2," 5） 2 0 1 ( 1) cos ,| 1| 0 1 (2 )!( 1) n n n z z n z ∞ = − = − > − − ∑ ，知 Re ( ) 1 s f z ,1 c 0 ⎡ ⎤ = − = ⎣ ⎦ 6） 1 2 2 2 1 1 1 ( 1) sin ,| | 0 (2 1)! n n n z z z z n z ∞ − − = − = > − ∑ ，知 ( ) 1 1 Res ,0 6 f z c ⎡ ⎤ = − = − ⎣ ⎦ 7） [ ] 2 0 1 Res ( ),0 lim 0 z sin d f z z → dz z z ⎡ ⎤ = = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ， [ ] 1 ( 1) Res ( ), , 1, 2, ( sin )' k z k f z k k z z k π π π = − = = = ± ± " 8） 1 ( ) i 2 1 sh Res ( ),( ) i 1, 2 (ch )' z k z f z k k z π π = + ⎡ ⎤ + = = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 为整数。 9．计算下列各积分（利用留数；圆周均取正向） （1） 3 | | 2 sin z z dz z = v∫ ； （2） ( ) 2 2 | | 2 1 z z e dz = z − v∫ ； （3） 3 | | 2 1 cos m z z dz z = − v∫ ，（其中 m 为整数）； （4） ； （5） | 2i| 1 th z zdz − = v∫ ( ) | | 3 tan z π z dz = v∫ ； （6） | | 1 1 ( ) ( ) n n z dz z a z b = − − v∫ （其中 为正整数， 且| | ）。 n a b ≠ ≠ 1,| | 1,| | a <| b | 解（1） ( ) z z f z sin = ，lim ( ) 1故 0 = → f z z z = 0 为 f (z) 的可去奇点则 Res[f (z),0] = c−1 = 0 故原积分=0。 （2）在C 内， ( ) ( )2 2 −1 = z e f z z 以 z = 1为其二级极点，则 ( ) 2 1 1 Res ,1 lim( ) 2 z z z 2 f z e = → ⎡ ⎤ = ′ = ⎣ ⎦ e 由留数基本 定理有原积分=4 i. 2 πe (3) f (z) = ...) 2! 4! 6! 1 ( 1 cos 1 2 4 2 = − + − − − z z z z z m m 故以 z = 0 为其 m − 2 级极点。设 ( ) ∫ = C I f z dz 当 m ≤ 2时， Res[ ] ( ),0 0 f z = c−1 = ， I = 0 ； 当 m = 2n > 2时， Res[ ] ( ),0 0 f z = c−1 = ， I = 0 ； 当 m = 2n +1 > 2 时， Res[ ] ( ),0 ( ) 1 / 2 ! ( 1) 2 /( ) 1 3 1 = − = − − − − f z n m m n ！ 由此 ( 1) 2 i/( 1)! 2 3 = − − − I m m π 或说 m为大于或等于 3 的奇数时， 3 2 ( 1) 2 i/( 1)! m I m π − = − − （4） ( ) i 1 , ch sh th ⎟π ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = = + z z k z z f z z k 为其一级极点(k = 0,±1,") k = 0时， i 2 0 π z = 在| z − 2i |= 1内，则 Res[ ] ( ), sh 1 f z z0 = z0 = 故 ( ) ( ) 2 i 2 i 2 iRes , π π π =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = = ∫ I f z dz f z C - 4 -