D0I:10.13374/i.issn1001-053x.2004.01.015 第26卷第1期 北京科技大学学报 Vol.26 No.1 2004年2月 Journal of University of Science and Technology Beijing Feh.2004 控制熔体浓度三维稳定态方程的精确解 廖福成”祖翠娥”郑连存》王自东)李为东” 1)北京科技大学应用科学学院，北京1000832)北京科技大学材料学院，北京100083 摘要研究了一类关于浓度的三维稳态晶体生长控制方程，这类问题由于带有远场条件， 无法按常规方法给出其解析解或数值解，在复数域内利用分离变量法，得到了这类方程的级 数形式的解析解，而最后的解是实数形式.结果表明，固液界面前沿浓度是指数震荡衰减的， 关键词晶体生长；分离变量法；偏微分方程；Fourier级数 分类号TG111.4 长期以来许多物理学家、材料学家和数学家 2方程的求解 从不同角度来研究稳态下晶体生长过程中浓度 的控制问题，取得了很大进展).文献[6~9]在固 在复数域内采用分离变量法进行求解.设方 液界面引入界面波，利用摄动方法解熔体浓度的 程(1)有形如 控制方程，得到其二阶渐近解.文献[10]确立了 C(x,y,z)=p(x)u(y)w(z) (6) 二维稳态晶体生长过程中控制熔体浓度的模型 的解.将式(6)代入式(1)中，得 并得出其精确解.文献[11]用分离变量法重新解 D[p"(x)u(y)w(z)+p(x)u"(y)w(z)+p(x)u(y)w(2)H+ 得了二维模型的精确解.本文把文献[11刂的方法 vp(x)u(y)w(z)+vp(x)u(y)w(z)+vp(x)u(y)w(z)=0(7) 用于解三维晶体生长过程中控制熔体浓度方程， 即「p2g+v2g+Dg+vg p(x) p(x)u(y)uy) 求出其三角级数形式的精确解. 088 -Dw"(e) 这个式子左边是关于x,y的函数，右边是关于z的 1控制方程 函数，又x,y,z是三个相互独立的变量，因此要使 稳态下三维晶体生长的熔体浓度控制方程 上式对所有x,y,z都相等，只有它们恒等于某一 为： 个常数时才有可能.设 08股8+8}8股+-0ω 爱器88 u的0 =， 固液界面的边界条件为： Dw"p☒ w同w=名. C(x+21y,2)=C(xy,z) (2) 于是k+k+k=0,k,k点，飞是常数，从而偏微分方 C(x,y+21z)=C(x.y,z) (3) 程被分离成三个常微分方程 远场条件为： limC(xy,z)=0 (4) Dp"(x+vp'《x)-kpx)=0 (8) 初始条件为：C(xy,0)=fxy) (5) Du"(x)+v,u(y)-kzu(y)=0 (9) 其中，D是溶质扩散系数，C为溶质浓度，，和 Dw"(z)+v:w(z)-kjw(z)=0 (10) 分别为晶体沿x轴，y轴和z轴方向的生长速度， 将式(6)代入式(2)(4)得： fxy)是连续函数，而且满足f+2l)=fx), p(x+2=px,u0+2=y),1imw(a)=0. f(xy+2D)=f(xy). 因此，要求偏微分方程(1)的满足边界条件(2).(3) 收稿日期200303-28 福成男，48岁，教授 和远场条件()的变量分离形式的解，就要求解下 *国家重点基础研究规划项目No.G2000067206-1)和北京市 例问题， 科技新星计划资助课题No.954811800)第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 】 控制熔体浓度三维稳定态方程 的精确解 廖福 成 ‘， 祖翠娥 ” 郑连存 ” 王 自东 ” 李为 东 ‘， 北 京科技 大学 应用 科学 学 院 ， 北 京 北 京科技大学材料学 院 ， 北京 摘 要 研究 了一类 关于浓度 的三 维稳 态 晶 体生 长控 制方程 这类 问题 由于 带有远场 条件 ， 无 法 按 常规方 法 给 出其解 析解 或数值解 在 复数域 内利用 分 离变量 法 ， 得 到 了这类方 程 的级 数形式 的解 析解 ， 而 最后 的解 是 实数形式 结果表 明 ， 固液界 面前沿浓度是指数 震 荡衰减 的 关键 词 晶体生 长 分 离变量 法 偏微分方程 级 数 分 类号 长 期 以来 许 多物 理 学 家 、 材 料 学 家 和 数 学 家 从 不 同角度 来研 究 稳 态 下 晶体 生 长 过 程 中浓 度 的控 制 问题 ， 取 得 了很 大进 展 一 文 献 一 在 固 液 界面 引入 界 面 波 ， 利用 摄 动 方法解熔 体浓度 的 控 制 方 程 ， 得 到 其 二 阶渐 近 解 文 献 【 确立 了 二 维 稳 态 晶体 生 长 过 程 中控 制 熔 体 浓 度 的模 型 并 得 出其 精 确解 文 献 【川 用 分 离变 量 法 重 新 解 得 了二 维模 型 的精确 解 本文 把 文 献 【川 的方 法 用 于解三 维 晶体 生 长过 程 中控 制熔 体 浓度 方 程 ， 求 出其 三 角 级 数 形 式 的精确 解 方 程 的求解 在 复 数域 内采用 分 离变量法进 行 求 解 设方 程 有 形 如 ，， 切 的解 将 式 代 入 式 中 ， 得 口 切 ’ ，切 妙 〕 十 ， 切 切 切 ， 切 ， 「丝竺贝 斗 、 ， 些红乏 一 切 ’ 切 控 制 方 程 稳 态 下 三 维 晶 体 生 长 的熔 体 浓 度 控 制 方 程 为 这 个 式 子 左 边 是 关 于， 的 函 数 ， 右 边 是 关 于 的 函 数 ， 又 ， ， 是 三 个 相 互 独 立 的变 量 ， 因此 要 使 上 式对 所 有 ， ， 都相 等 ， 只 有 它 们 恒 等 于 某 一 个 常 数 时才 有 可 能 设 · 带 一 ‘’ 一、 刀毛留 十 一 丸 ， 固液 界 面 的边 界 条 件 为 儿 妙习 尹 远 场 条件 为 初 始 条 件 为 今 少习 少力 少力 洪 二 必 其 中 ， 是 溶质 扩 散 系 数 ， 为溶 质浓 度 ， ， 巧 和 分 别 为 晶 体 沿 轴 ， 轴 和 轴 方 向 的 生 长 速 度 ， 刀方砂 是 连 续 函 数 ， 而 且 满 足依 户二月 工户 ， 尹 乃二 刃 收稿 日期 一 刁 廖福成 男 ， 岁 ， 教授 国家重 点基础 研究规 划项 目 一 和 北京市 科技新星 计划 资助课题 于 是么 棍 丸 ， 么 ， 棍 ， 棍 是 常 数 ， 从 而 偏 微 分 方 程 被 分 离成 三 个 常 微 分 方 程 ” 十甲，一 ，， 叨如 一 几 切 ” ， ， ，一 将 式 代 入 式 卜 得 乃一 ， 份 。 一 切 ， 煦 一 · 因此 ， 要 求偏微 分 方程 的满 足 边 界 条件 ， 和 远场条件 的变量 分 离形 式 的解 ， 就要 求解 下 例 问题 ， DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．2004．01．015