控制熔体浓度三维稳定态方程的精确解.pdf_大学文库

D0I:10.13374/i.issn1001-053x.2004.01.015 第26卷第1期北京科技大学学报 Vol.26 No.1 2004年2月 Journal of University of Science and Technology Beijing Feh.2004 控制熔体浓度三维稳定态方程的精确解廖福成”祖翠娥”郑连存》王自东)李为东” 1)北京科技大学应用科学学院，北京1000832)北京科技大学材料学院，北京100083 摘要研究了一类关于浓度的三维稳态晶体生长控制方程，这类问题由于带有远场条件，无法按常规方法给出其解析解或数值解，在复数域内利用分离变量法，得到了这类方程的级数形式的解析解，而最后的解是实数形式.结果表明，固液界面前沿浓度是指数震荡衰减的，关键词晶体生长；分离变量法；偏微分方程；Fourier级数分类号TG111.4 长期以来许多物理学家、材料学家和数学家 2方程的求解从不同角度来研究稳态下晶体生长过程中浓度的控制问题，取得了很大进展).文献[6~9]在固在复数域内采用分离变量法进行求解.设方液界面引入界面波，利用摄动方法解熔体浓度的程(1)有形如控制方程，得到其二阶渐近解.文献[10]确立了 C(x,y,z)=p(x)u(y)w(z) (6) 二维稳态晶体生长过程中控制熔体浓度的模型的解.将式(6)代入式(1)中，得并得出其精确解.文献[11]用分离变量法重新解 D[p"(x)u(y)w(z)+p(x)u"(y)w(z)+p(x)u(y)w(2)H+ 得了二维模型的精确解.本文把文献[11刂的方法 vp(x)u(y)w(z)+vp(x)u(y)w(z)+vp(x)u(y)w(z)=0(7) 用于解三维晶体生长过程中控制熔体浓度方程，即「p2g+v2g+Dg+vg p(x) p(x)u(y)uy) 求出其三角级数形式的精确解. 088 -Dw"(e) 这个式子左边是关于x,y的函数，右边是关于z的 1控制方程函数，又x,y,z是三个相互独立的变量，因此要使稳态下三维晶体生长的熔体浓度控制方程上式对所有x,y,z都相等，只有它们恒等于某一为：个常数时才有可能.设 08股8+8}8股+-0ω 爱器88 u的0 =，固液界面的边界条件为： Dw"p☒ w同w=名. C(x+21y,2)=C(xy,z) (2) 于是k+k+k=0,k,k点，飞是常数，从而偏微分方 C(x,y+21z)=C(x.y,z) (3) 程被分离成三个常微分方程远场条件为： limC(xy,z)=0 (4) Dp"(x+vp'《x)-kpx)=0 (8) 初始条件为：C(xy,0)=fxy) (5) Du"(x)+v,u(y)-kzu(y)=0 (9) 其中，D是溶质扩散系数，C为溶质浓度，，和 Dw"(z)+v:w(z)-kjw(z)=0 (10) 分别为晶体沿x轴，y轴和z轴方向的生长速度，将式(6)代入式(2)(4)得： fxy)是连续函数，而且满足f+2l)=fx), p(x+2=px,u0+2=y),1imw(a)=0. f(xy+2D)=f(xy). 因此，要求偏微分方程(1)的满足边界条件(2).(3) 收稿日期200303-28 福成男，48岁，教授和远场条件()的变量分离形式的解，就要求解下 *国家重点基础研究规划项目No.G2000067206-1)和北京市例问题，科技新星计划资助课题No.954811800)

第卷第期年月北京科技大学学报】控制熔体浓度三维稳定态方程的精确解廖福成 ‘，祖翠娥 ” 郑连存 ” 王自东 ” 李为东 ‘，北京科技大学应用科学学院，北京北京科技大学材料学院，北京摘要研究了一类关于浓度的三维稳态晶体生长控制方程这类问题由于带有远场条件，无法按常规方法给出其解析解或数值解在复数域内利用分离变量法，得到了这类方程的级数形式的解析解，而最后的解是实数形式结果表明，固液界面前沿浓度是指数震荡衰减的关键词晶体生长分离变量法偏微分方程级数分类号长期以来许多物理学家、材料学家和数学家从不同角度来研究稳态下晶体生长过程中浓度的控制问题，取得了很大进展一文献一在固液界面引入界面波，利用摄动方法解熔体浓度的控制方程，得到其二阶渐近解文献【确立了二维稳态晶体生长过程中控制熔体浓度的模型并得出其精确解文献【川用分离变量法重新解得了二维模型的精确解本文把文献【川的方法用于解三维晶体生长过程中控制熔体浓度方程，求出其三角级数形式的精确解方程的求解在复数域内采用分离变量法进行求解设方程有形如，，切的解将式代入式中，得口切 ’ ，切妙〕十，切切切，切，「丝竺贝斗、，些红乏一切 ’ 切控制方程稳态下三维晶体生长的熔体浓度控制方程为这个式子左边是关于，的函数，右边是关于的函数，又，，是三个相互独立的变量，因此要使上式对所有，，都相等，只有它们恒等于某一个常数时才有可能设 · 带一 ‘’ 一、刀毛留十一丸，固液界面的边界条件为儿妙习尹远场条件为初始条件为今少习少力少力洪二必其中，是溶质扩散系数，为溶质浓度，，巧和分别为晶体沿轴，轴和轴方向的生长速度，刀方砂是连续函数，而且满足依户二月工户，尹乃二刃收稿日期一刁廖福成男，岁，教授国家重点基础研究规划项目一和北京市科技新星计划资助课题于是么棍丸，么，棍，棍是常数，从而偏微分方程被分离成三个常微分方程 ” 十甲，一，，叨如一几切 ” ，，，一将式代入式卜得乃一，份。一切，煦一 · 因此，要求偏微分方程的满足边界条件，和远场条件的变量分离形式的解，就要求解下例问题， DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．2004．01．015

54 北京科技大学学报 2004年第1期 Dp"x+vp《x)-kpx)=0 (11) 特征方程的根为 p(x+20=px) 1=- 和六+a.tb-id=-六ta-bai [Du"(y)+v,u(x)-kzu(y)=0 71 +20=uy) (12) 其中，a-√atv 的非零解. b=sgn(nv,+mv,) V2-tv+5. 下面讨论问题式(11)的求解问题.方程（⑧）的 a=(mitw vi +4ǒ，b=mtmyx DP 特征方程为：所以对固定n,m的方程(10)的通解是 4-=0， Wa(z)=cme+de 解得因w()满足mw(=0,而且a一》0，所以c0, 六√凫品品√品因此方程(10)的满足条件(4)的解是因为px)是周期为21的周期函数，所以，和2不 w(z)=dct (15) 能任意取值.讨论如下：这里d是常数.这样就得到方程(10)的满足条件 (①若=则有==一六，这时方程的两的可数无穷多个解：个线性无关的解e与xe均不是周期的，从而得 w(z广de,n,m=0,土l,t2,… 不到周期解.因此必须入+2. 将(13)，(14)，(15)代回(6)，就求得方程(1)的满足条 ()设≠2，这时方程的两个线性无关的解为件(2)(3)，(4)的一系列变量分离形式的解. e“和，而且只有当，或2中至少一个是纯虚数 C.(xy,z)-p.(x)u.(y)w(z)= 时，方程才会有周期解，由于+=一》为实数， d-expl-(o-+》xpm吧-b- 故与不会同时为纯虚数，故但以上每个解都不满足原方程的初始条件 (a若无为纯虚数，如，-”01±比，则 (5).为了寻求满足(5)的解，把所有的Cm(xy,z)迭加起来，即令 k=k=-DT+y,7im0,1,2, cv=三三d-exp-a六}l (b)若2为纯虚数，同样求得 (16) k-k=-D俨y+uim0,1,+2,… cwp吧7-b-j 由迭加原理，式(16)也方程(1)的满足条件(2)，(3)，由于对于k的每一个值，都能求出方程(11) (4)的解. 的解，于是得问题(11)的一列线性无关的解为了求式(16)中的系数d,对式(16)应用初 .c)-exp ，n=0,±1，±2，… (13) 始条件式（⑤），得对问题(12)，类似可得k的可能值为 f-三三d.ep[匹"] (17) =-07书mim012 利用指数形式的Fourier级数的有关知识，式从而方程(12)的一列线性无关的解为 17)两边分别乘以-{俨"吧小再在矩形 0)=emm0+1,2,- (14) 区域-lsx≤，-Isysl上积分，即得由于k+k+k=0,所以k=-(k+k),即k的可 d∫Jxp-匹"mla 能值为 n,m-0肚1，t2,… %=k=-D俨+D严-π-严1 代入式(16)，就得到所论问题的解： n,m=0,±1，t2,… cva)=三三.exp-a+-瑞抖对固定的n,m,将其代入常微分方程(10)并在两边都除以D得 werw-0俨i-各"严 (18) 由于ak-n=a(-m,a-a-m-0m,bd-nF-b-n, wz)=0 b-w-=-b(m,-±1，±2，…)，所以式(18)右边虚部它的特征方程为为0，它为实数.即所讨论问题的解是： 4-〔俨-”严0

北京科技大学学报年第期比器黯一，一念篇翼一“ 切一特征方程的根为的非零解下面讨论问题式的求解问题方程的特征方程为，，，，。人一十下言讥一井犷刀刀 “ 一分、一，儿一分崛一 ’ ，蠕汇霖张扁， · 巡书心备，，“ 些爵浑所以对固定，的方程的通解是阴鲡已件心沙解得击一分擂阁，、一命一疆畜三因为是周期为的周期函数，所以又和几不能任意取值讨论如下若又。瓜，则有又，之一寻斋， ‘ 一， ‘ ‘ 一‘ ，这时方程的两乃切门 ‘ “ “ ’ 乙 ’ ” 砂 ” 工日『’ 个线性无关的解已 ‘ 与已 ‘ 均不是周期的，从而得不到周期解因此必须又声又设又声儿，这时方程的两个线性无关的解为沙和战而且只有当又或又中至少一个是纯虚数时，方程才会有周期解由于山从一普为实数， ’ ’ ‘ 工 ‘ “ 公门产，产声盯 ‘ 川 ‘ ” ’ ‘ 叹邵人从 ’ 故又与儿不会同时为纯虚数，故粼为纯虚数，如今“ 月，士，… ，则 · 一刀刀兀、，刀兀二卞， ‘ 气十 ” ，士月， ’ · ’ 伪若儿为纯虚数，同样求得了矛犷压、，兀。 ‘ ，一” 寸， ‘ 十认学，士，士，… 由于对于么的每一个值，都能求出方程的解，于是得问题的一列线性无关的解几一呼 ‘ ，一，士 ‘ ，士，… ‘ 对问题，类似可得瓜的可能值为、一图课 ‘ ， ” 月月，… 从而方程的一列线性无关的解为因满足煦一，而且、一命习，所以 “ ，因此方程的满足条件的解是，心沙巧这里嘛是常数这样就得到方程的满足条件的可数无穷多个解呱呱沙，，，土，士，… 将，，代回，就求得方程的满足条件，，的一系列变量分离形式的解几伙少声，。价切呱 “ 卜卜喻外呼毕孚一咧但以上每个解都不满足原方程的初始条件为了寻求满足的解，把所有的几少声迭加起来，即令、一主主、一、一翻 · · 。呼毕鹦一 ”刁 ‘ “ ，由迭加原理，式也方程的满足条件，，的解为了求式中的系数嘛，对式应用初始条件式，刀加习艺嘛得月一口用二一国呼早嘿 ‘，， ·。。一 · 婴 ‘ ，由于丸鹅，能值为劝，士，土，所以丸一从，即鹅的可利用指数形式的级数的有关知识，式两边分别乘以卜呼早孚，再在矩形区域一胜 ‘ ，一匀‘ 上积分，即得 “ 箭厂，沙” 一呼旱罕、一、一回兴域兴一一漂 ‘ ，肚，士代入式，就得到所论问题的解，，士，士，… 对固定的，，将其代入常微分方程并在两边都除以得二，、认 ‘ 、服丫兀、认肌认兀 ” 片酋一厅于一芍一于一芍二尹」 ‘ 它的特征方程为， “ 命真身伽动罕嘿一粤卜一喻月华一咧玲一图图 ’ 一会平一合警一一 · 由于入一。一。，，久一联一。厂口，城一护一一，，一砍一〕一编，牡，土， … ，所以式右边虚部为，它为实数即所讨论问题的解是

Vol.26 No.1 廖福成等：控制熔体浓度三维稳定态方程的精确解 ·55· Cwya=三三cxn-a+ ing directional solidification [J].J Crys Growth,1987, ∫∫uco+"吧m-ba A39(5):2772 5 Karma A.Oscillatory instability of deep cells in directional solidification [J].Phys Rev A,1989,39(8):4162 3结论 6 Xu J J.Generalized needle solutions,interfacial instabili- ties,and pattern formation [J].Phys Rev E,1996,53(5): 本文应用分离变量法在复数域内得出了三 5031 维稳态下晶体生长控制熔体浓度的常系数方程 7 Xu JJ.Interface wave theory of solidification-dendritic 的解析解，对于非稳态下常系数方程和变系数方 pattern formation and selection of tip velocity [J].Phys 程还有待于进一步研究和探讨. RevA,1991,43:930 8 Xu JJ.Global instability of viscous fingering in a hele- 参考文献 shaw cell:formation of oscillatory fingers [J].Eur J Appl 1 Mullins WW,Sekerka R F.Morphological stability of a Math,1991,2:l05 particle growing by diffusion or heat flow []JAppl Phys, 9 Xu JJ.Interfacial wave theory for oscillatory fingers for- 1963,24:323 mation in a hele-shaw cell:a comparison with experi- 2 Pelce,Pumir A.Cell shape in directional solidification in ments [J].Eur J Appl Math,1996,7:169 the small peclet number limit [J].J Cryst Growth,1985, 10孙仁济，王自东，陈明文，等.铝合金晶体生长稳态 73:337 时的控制方程及解析解).中国有色金属学报， 3 Weeks J D,Van S W.Directional solidification cells with 2002,12(专辑1：2 grooves for a small partition coeffcient [J].Phys Rev A, 1】陈琛，郑连存，廖福成，等.二维稳态晶体生长控制 1989,39(5):2772 方程的分离变量求解.北京科技大学学报，2003， 4 Billia B,Jamgotchian H,Capella L.Pattern selection dur- 25(增刊)：4. Analytical Solution of Governing Equations for Three-dimension Steady State Crystal Growth LIAO Fucheng,ZU Cuie,ZHENG Liancun,WANG Zidong,LI Weidong", 1)Applied Science School,University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China 2)Materials Science and Engineering School,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China ABSTRACT A class of partial differential equations(PDE)which describe three-dimension steady state crystal growth for concentration were studied.Because there exists far-field condition,their exact solution or numerical solution can not be derived based on known results about PDE.By using variables separation in the complex num- ber field,the real analytical solution in the form of Fourier series was obtained.The result shows that the concen- tration in the solid-liquid interface is exponentially damped oscillation. KEY WORDS crystal growth;detached variable method;partial differential equation;Fourier series