O(x,r)cE.由引理,O(x,n)为开集,故其中每一点z∈O(x0,r)是O(x,r)的内点,从而为 E的内点,即O(x)cE°,E为开集 若G为开集,GcE,显然G°cE°,由以上所证G=G°cE°. 2°对于任一集合EcX,由定义可以得出,E的外点等于E的余集的内点,即 (X\EP=X\E.若E闭,则X\E开,由1°知道X\E=(X\E)=X\E,从而E=E 反之若E=E,则X\E=X\E=(X\E)是开集,从而E是闭集 3°定理中的(3)由(2)和命题4(3)得出 可以直接验证,闭球S(x,r)是闭集 定义5设X为线性空间,若p:X→R是一个映射,使得x,y∈X,a∈φ (1)p(x)≥0 (2)p(ax)=a|p(x) (3)p(x+y)≤p(x)+p(y) 则称p是X上的半范数.若还有 (4)p(x)=0,则x=0 称P是X上的范数.此时记p(x)=|,称(XD是线性赋范空间.在不至于混淆时记 (X,·为X 定理5(1)线性赋范空间是度量空间,并且 d(x,y)引x-y‖l 是此空间上的度量函数 (2)范数关于变元x是连续函数,即若x→x,则 ‖xn‖xl‖ (3)若xn,y,xy∈X,,∈Φ,并且x→x,yn→y,λn→,则 证明1°(1)由直接验证得出 2°在定义(2)中令a=-1得出‖-x|=x‖.再由定义中(3)的不等式得出 lxn‖≤‖x‖‖x-x‖l 或者 xn‖-‖x‖≤‖xn-xl, 同样地O(x0 ,r) ⊂ E ．由引理， ( , ) 0 O x r 为开集，故其中每一点 ( , ) 0 z ∈O x r 是 ( , ) 0 O x r 的内点，从而为 E 的内点，即O(x ,r) ⊂ E° 0 ， E°为开集． 若G 为开集，G ⊂ E ，显然G° ⊂ E° ，由以上所证G = G° ⊂ E° ． 2°对于任一集合 E ⊂ X ，由定义可以得出， E 的外点等于 E 的余集的内点，即 (X \ E)° = X \ E ．若 E 闭，则 X \ E 开，由 1°知道 X \ E = (X \ E)° = X \ E ，从而 E = E ． 反之若 E = E ，则 X \ E = X \ E = (X \ E)°是开集，从而 E 是闭集． 3°定理中的（3）由（2）和命题 4（3）得出． 可以直接验证，闭球 ( , ) 0 S x r 是闭集． 定义 5 设 X 为线性空间，若 p : X → R 是一个映射，使得∀x, y∈ X ，α ∈Φ ． （1） p(x) ≥ 0 ， （2） p(αx) =|α | p(x) ， （3） p(x + y) ≤ p(x) + p( y) ． 则称 p 是 X 上的半范数．若还有 （4） p(x) = 0 ，则 x = 0 ． 称 p 是 X 上的范数．此时记 p(x) = x ，称 (X ,|| ⋅||) 是线性赋范空间．在不至于混淆时记 (X ,|| ⋅||) 为 X ． 定理 5 （1）线性赋范空间是度量空间，并且 d(x, y) =|| x − y || 是此空间上的度量函数． （2）范数关于变元 x 是连续函数，即若 x x n → ，则 || x || || x || n → ． （3）若 xn , yn , x, y ∈ X ，λn ,λ ∈Φ ，并且 x x n → ， y y n → ，λn → λ ，则 x y x y n + n → + ， x x λn n → λ ． 证 明 1°（1）由直接验证得出． 2°在定义（2）中令α = −1得出|| −x ||=|| x || ．再由定义中（3）的不等式得出 || || || || || || n n x ≤ +− x xx ， 或者 || || || || || || n n x − ≤− x xx ， 同样地