下面定理可以仿照实数轴上的情况证明之,这里将具体的证明略去 定理3设X是度量空间,则 (1)空集②与X是开集, (2)任意多个开集之并是开集, (3)有限个开集之交是开集 设有集合X的子集族{B,∈A},若空集⑧与X都属于该集族,并且该集族中的集合 对于任意并和有限交封闭,则称{B2∈A是X上的拓扑,称X是拓扑空间.每个B2都称 为是该空间中的一个开集 定理3表明度量空间中由全体开集构成的集族是它的拓扑,从而每个度量空间是一个拓 扑空间 定义4设X是度量空间,EcX,x∈X (1)若存在r>0使得O(x,r)cE,称x是E的内点.E的内点全体称为E的内部, 记为E°. (2)若存在r>0使得O(x,r)∩E=②,称x0是E的外点,E的外点全体记为E (3)若vE>0,O(x,E)∩E≠⑧,称是E的接触点.E的接触点全体称为E的闭包, 记为E. (4)若vE>0,O(x,E)n(E\{x})≠②,称x是E的聚点.E的聚点全体记为E 下面命题容易由定义直接验证,这里将具体的验证留给读者 命题4 (1)EUE=X,E∩E=②,E=EUE (2)x∈E当且仅当存在xn∈E,xn→x (3)x∈E'当且仅当存在xn∈E,x≠x使得xn→x, 定理4设X是度量空间,EcX (1)E为开集当且仅当E=E°,E°是包含在E中的最大开集 (2)E为闭集当且仅当E=E,E是包含E的最小闭集 (3)E为闭集当且仅当任何xn∈E,x→x,则x∈E 证明1°若E是开集,Vx0∈E,存在r>0,使得O(x,r)cE.从而 x∈E, 故 EcE°.显然E°cE,所以E=E 反之若E=E°,只须证明E°为开集.x∈E°,x为E的内点,故存在r>0,下面定理可以仿照实数轴上的情况证明之，这里将具体的证明略去． 定理 3 设 X 是度量空间，则 （1）空集∅ 与 X 是开集， （2）任意多个开集之并是开集， （3）有限个开集之交是开集． 设有集合 X 的子集族{ } Bλ,λ ∈ Λ ，若空集∅ 与 X 都属于该集族，并且该集族中的集合 对于任意并和有限交封闭，则称{ } Bλ,λ ∈ Λ 是 X 上的拓扑，称 X 是拓扑空间．每个 Bλ都称 为是该空间中的一个开集． 定理 3 表明度量空间中由全体开集构成的集族是它的拓扑，从而每个度量空间是一个拓 扑空间． 定义 4 设 X 是度量空间， E ⊂ X ， x0 ∈ X ． （1）若存在 r > 0 使得O(x0 ,r) ⊂ E ，称 0 x 是 E 的内点． E 的内点全体称为 E 的内部， 记为 E°． （2）若存在 r > 0 使得O(x0 ,r) ∩ E = ∅ ，称 0 x 是 E 的外点， E 的外点全体记为 e E ． （3）若∀ε > 0 ，O(x0 ,ε )∩ E ≠ ∅ ，称是 E 的接触点． E 的接触点全体称为 E 的闭包， 记为 E ． （4）若∀ε > 0 ，O(x0 ,ε ) ∩ (E \ {x0}) ≠ ∅ ，称 0 x 是 E 的聚点． E 的聚点全体记为 E′． 下面命题容易由定义直接验证，这里将具体的验证留给读者． 命题 4 （1） E E X e ∪ = ， = ∅ e E ∩ E ， E = E ∪ E′． （2） x0 ∈ E 当且仅当存在 xn ∈ E ， 0 x x n → ． （3） x ∈ E′ 0 当且仅当存在 xn ∈ E ， 0 x x n ≠ 使得 0 x x n → ． 定理 4 设 X 是度量空间， E ⊂ X ． （1） E 为开集当且仅当 E = E° ， E°是包含在 E 中的最大开集． （2） E 为闭集当且仅当 E = E ， E 是包含 E 的最小闭集． （3） E 为闭集当且仅当任何 xn ∈ E ， 0 x x n → ，则 x0 ∈ E ． 证明 1°若 E 是开集， ∀x0 ∈ E ，存在 r > 0 ，使得 O(x0 ,r) ⊂ E ．从而 x ∈ E° 0 ，故 E ⊂ E°．显然 E° ⊂ E ，所以 E = E° ． 反之若 E = E° ，只须证明 E° 为开集． x ∈ E° 0 ， 0 x 为 E 的内点，故存在 r > 0