线性常微分方程的幂级数解 86.2方程常点邻域内的解 首先,不加证明地介绍下面的定理 定理61如果p(2)和q(z)在圆|z-=0<R内单值解析,则在此圆内常微分方程初值问题 du az+p(2)2+q(=0 (co,c1为任意常数) 有唯一的一个解(2),并且m(2)在这个圆内单值解析 根据这个定理,可以把w(2)在20点的邻域|2-20<R内展开为 Taylor级数 (2)=∑(2-20) 显然,这里(2-20)0与(z-20)1的系数c与c1正好和初值条件一致 将这个形式的级数解代入微分方程,比较系数,就可以求出系数∝k.定理说明,系数 (k=2,3,…均可用co,cn表示 例6.3求 Legendre方程 (1 dx2 (+1)y=0 在x=0点邻域内的解,其中l是一个参数 解x=0是方程的常点,因此,可令解 代入方程,就有 (1-2)∑ck(k-1) l(l+1) 整理合并,得到 ∑{k+2(k+1/+2-[(+1)-1(+1]4} 根据 Taylor展开的唯一性,可得 (k+2)(k+1)ck+2-[(k+1)-l(l+1)ck=0 k(k+1)-l(+1)(k-1)( k+2 k+2)(k+1 k+2)(k+1)k￾✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞✌✍✎✏✑ ✒ 3 ✓ §6.2 ❁❂✾➯➲➳➵❃➸ ➺➻❯➃➼➽ ➾➚➪➶➹➘❍❘➴❑ ➷➬ 6.1 ❷❸ p(z) ❈ q(z) ❹ ➮ |z − z0| < R ➱✃❐▲❱❯❻❹➥ ➮➱❼❒❮❋●❰❐ÏÐ d 2w dz 2 + p(z) dw dz + q(z)w = 0, w(z0) = c0, w0 (z0) = c1 (c0, c1 ❊ÑÒ❼❏) ➀Ó➁❍➁➂▲ w(z) ❯ÔÕ w(z) ❹Ö➂ ➮➱✃❐▲❱❑ ×ØÖ➂❘➴❯Ù➏Ú w(z) ❹ z0 ❺❍ÛÜ |z − z0| < R ➱ÝÞ❊ Taylor ß❏ w(z) = X∞ k=0 ck(z − z0) k . àá❯Öâ (z − z0) 0 ã (z − z0) 1 ❍■❏ c0 ã c1 äå❈❰❐➫➭➁æ❑ ç Ö➂èé❍ß❏▲êë❒❮❋●❯ìí■❏❯îÙ➏ïð■❏ ck ❑❘➴ñ ➾❯■❏ ck(k = 2, 3, · · ·) òÙó c0, c1 ôõ❑ ➅ 6.3 ï Legendre ❋● ￾ 1 − x 2
d 2y dx 2 − 2x dy dx + l(l + 1)y = 0 ❹ x = 0 ❺ÛÜ ➱❍▲❯➓ ❽ l ▼➁➂ö❏❑ ➸ x = 0 ▼❋●❍❼❺❯ ➤➥❯Ù÷▲ y = X∞ k=0 ckx k . êë❋●❯î➀ ￾ 1 − x 2
X∞ k=0 ckk(k − 1)x k−2 − 2x X∞ k=0 ckkxk−1 + l(l + 1)X∞ k=0 ckx k = 0, ø ➴ùÔ❯úû X∞ k=0 n (k + 2)(k + 1)ck+2 − k(k + 1) − l(l + 1) ck o x k = 0. ×Ø Taylor ÝÞ❍Ó➁❲❯Ùú (k + 2)(k + 1)ck+2 − [k(k + 1) − l(l + 1)] ck = 0, ➩ ck+2 = k(k + 1) − l(l + 1) (k + 2)(k + 1) ck = (k − l)(k + l + 1) (k + 2)(k + 1) ck.