Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D.Q. Dai, 2005 f(tg(t-k)dt f, g(w)e 证明:由 ∑|f(t+2xl)‖lg(t+2xl)|dt ∑|(+2/≈ ∑l(+2r2)dt ≤(∑|f(t+2r)2d)12(∫∑lg(t+2x)2d)/2 ∫|f(t)2dt lg(t)2dt 证得前两个断言。现看 Fourier系数 ∫f(t)gy(t-k)dt 2∫f(u)9(a)edu 27L+2T 2∑∫f(u)()ekdu 4∫∑f(+2x1)(u+2r1)edu 故得证 推论:{y(t-k)}kz是标准正交系,当且仅当,)=1,a,e,即 ∑(u+27k)2=1,ae (1) 设函数φ∈L2(R)。用S(y)表示由φ生成的整平移不变子空间,即 S(9)={f:f (t-k),{ck}为有限序列 练习:设∫,g∈L2,导出S()与S(g)正交的充要条件 注意到,{9(t-k)}kez不必是标准正交系,甚至可以不是它生成的S(9)的 Riesz基。我 们有如下表示定理 定理1:空间S(y)可表示为 s()={f:∫∈2(R),=m,r()a.e.有限值,以2x为周期,使rp∈L2(R)Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D.Q. Dai,2003 3 Z +∞ −∞ f(t)g(t − k)dt = 1 2π Z 2π 0 [ ˆf, gˆ](ω)e ikωdω 证明：由 R 2π 0 P l |f(t + 2πl)||g(t + 2πl)|dt ≤ R 2π 0 µP l |f(t + 2πl)| 2 ¶1/2 µP l |g(t + 2πl)| 2 ¶1/2 dt ≤ ( R 2π 0 P l |f(t + 2πl)| 2dt) 1/2 ( R 2π 0 P l |g(t + 2πl)| 2dt) 1/2 = µ + R∞ −∞ |f(t)| 2dt¶1/2 µ + R∞ −∞ |g(t)| 2dt¶1/2 证得前两个断言。现看Fourier系数 + R∞ −∞ f(t)g(t − k)dt = 1 2π + R∞ −∞ ˆf(ω)gˆ(ω)e ikωdω = 1 2π P l 2πl R +2π 2πl ˆf(ω)gˆ(ω)e ikωdω = 1 2π R 2π 0 P l ˆf(ω + 2πl)gˆ(ω + 2πl)e ikωdω 故得证。 推论：{ϕ(t − k)}k∈Z是标准正交系，当且仅当[ ˆϕ, ϕˆ](ω) = 1, a.e., 即 X k |ϕˆ(ω + 2πk)| 2 = 1,a.e. (1) 设函数ϕ ∈ L 2 (R)。用S (ϕ)表示由ϕ生成的整平移不变子空间，即 S(ϕ) = ( f : f = X k ckϕ(t − k), {ck} 为有限序列 ) . 练习：设f, g ∈ L 2，导出S (f)与S (g)正交的充要条件。 注意到，{ϕ (t − k)}k∈Z不必是标准正交系，甚至可以不是它生成的S (ϕ)的Riesz基。我 们有如下表示定理。 定理1：空间S (ϕ)可表示为 S (ϕ) = n f : f ∈ L 2 (R), ˆf = τϕ, τ ˆ (ω) a.e. 有限值，以2π 为周期，使τϕˆ ∈ L 2 (R) o